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1、第三单元基本初等函数(I)及应用 过双基 一、根式与幕的运算 1.根式的性质 ( 脈”=仏 (2)当“为奇数时，娠 =么 nta (a MO), (3)当为偶数时，娠 = |a|= /小 a (a0, m, wN*,且n 1). 负分数指数幕：a号=宅=(a0, mf且n 1). 0的正分数指数幕等于0,0的负分数指数幕没有意义. (2)有理数指数幕的运算性质. ?a-a s=a.(aQ f r, sEQ). 丁=犷(00, r, 5EQ). ?(ab) r =a r b r (af 0, rQ). 二、对数及对数运算 1.对数的定义 一般地，如果a x=N(a0, 且aHl),那么数兀叫作以
2、a为底N的对数，记作x=loM 其中a叫 作对数的底数，N叫作真数 . 2.对数的性质 (1) log?l=0, Iog? a=l. (2) aogaN= N, log jV =M (3)负数和零没有对数 . 教材复习课“基本初等函数 (I) ”相关基础知识一课过 知识点一 指数与对数的基本运算 3.对数的运算性质 如果a0,且aHl, M0, N0,那么 (l) lo 色(M =lo 珈M+lo 坯N? M (2 )10爲亓=log/ lo N. (3)lodM“= lo 珈MG W R)? 换底公式log?=；：?“：( “0且“Hl,方U,加0,且加Hl)? 小题速通 2 1 (a ?方
3、 T) 2 *a 2 *b 、 1.化简一- 0,方0)的结果是 () A.aB. ab C. (TbD.- a n b 丄 a 2 b 一丄一丄一丄1 解析：选D原式=“ t =a 3 2 6?方2 3 6 =1 2.若兀=log43,则(2 “一2 *)2=() c ?罟 解析：选D 由x=log43,得4“=3,即4“ x=|, (2X -2 _X)2=4X -2+4“ X =3-2+|=| 3.yj (log23) 241og23+4+log 2|=( ) A.2 B? 2-21ogz3 C?一2 D. 21og23-2 解析：选B yj (log23)241og23+4+log2=/
4、 (Iog232)2Iog23=2log23log23=2 21og23 ? 4.已知f(x)=2 x+2x f若f(a)=3f则 f(2a)=( ) A.H B. 9 C?7 D?5 解析：选C 由题意可得fia)=2 a+2a=3 f则介2 )=2加+2=(2“+2一“)22=7? 清易错 1.在进行指数幕的运算时，一般用分数指数幕的形式表示，并且结果不能同时含有根号和 分数指数幕，也不能既有分母又含有负指数. 易忽视字母的符号 . 2.在对数运算时，易忽视真数大于零. 1.化简年丘的结果是 () A. C. yx D.yj x 解析：选A 依题意知xvO,故“f =yx. 2.若lg x
5、+lg=21g(x 2y), 贝!) ；的值为 _ ? 解析:Vlgx+lgj=21g(x 2j), .xy=(x 2y) 2, 即x 25+42=0, 即(xj)(x 4j)=0,解得x=y 或x=4y?又x0, j0, x 2y0, 故x=y不符合题意，舍去 . 所以x=4yf即;=4. 答案：4 二次函数 过双基 1.二次函数解析式的三种形式 (1)一般式：幷兀 )=处2+方工+c(dHO). 顶点式：f(x)=a(x m) 2+n(aQ). 零点式： f(x)=a(x Xi)(x X2)(a0). 2.二次函数的图象和性质 解析式 f(x)=ax 2+bx+c(a 0) fix)=ax
6、 2+bx+c(a 0, 解析：由已知得0, ac=4 幕函数 过双基 1.幕函数的定义 a0, ac4=0. 知识点三 一般地，形如v=x a 的函数称为幕函数，其中工是自变量，么为常数. 2.常见的5种幕函数的图象 3.常见的5种扇函数的性质 函数 特征 性质 y“1 y=xi 定义域RRR ro, +8) xlxER,且xHO 值域R0, +8)R0, +8) IvIveR,且yO 奇偶性奇 偶 奇非奇非偶奇 单调性增 ( 一8, 0减， 0, +8)增 增增 ( 一8, 0)减,(0, + 8) 减 定点(0,0)，(1,1) (1,1) 小题速通 1 .幕 函 数y = f i x
7、)的 图 象 过 点( 4 , 2 ) ,则 幕 函 数y = f i x )的 图 象 是 ( ) 解析：选C令则4“=2, 2. (2018?贵阳监测 ) 已知幕函数y=f(x)的图象经过点 当 Osvl时，y=a x 在R上单调递减，y=oga(x)在( 一8, 0)上单调递增；当al 知识点五 对数函数 时，y=a x 在R上单调递增，y=lo跖( 一兀) 在( 一8, 0)上单调递减，结合B、D图象知，B正 确. 3.函数j=log2|x+l的单调递减区间为_ , 单调递增区间为 解析：作出函数j=log2x的图象，将其关于y轴对称得到函数丿 = log2|x| 的图象，再将图象向左
8、平移1个单位长度就得到函数j=log2|x+l| 的图象 ( 如图 所示 ). 由图知，函数J = log2|x+l|的单调递减区间为 ( 一 8, -1),单调递增区间 为( 一1, +8). 答案： ( 一8, -1) (-1, +8) 4._ 函数/U)=logXv2 2x 3)(d0, dHl)的定义域为 _ ? 解析：由题意可得X 22x30,解得 x3或x3或xv 一 1? 答案:x|x3或兀v1 清易错 解决与对数函数有关的问题时易漏两点: (1)函数的定义域 . (2)对数底数的取值范围 . 1. (2018-M昌调研届数j=log|(2x-l)的定义域是 () A. 1,2B
9、. 1,2) 甫,1D?g, 1 解析：选D要使函数有意义，则环力一1) 、2兀一10, 解得舟0,且aHT)在2,4上的最大值与最小值的差是1,则a的值为 解析：当al时，函数j=logf/x在2,4上是增函数，所以10410眇2=1,即lo劭2=1, 所以a=2. 当Ovavl时，函数丿 =10场尤在2,4上是减函数，所以logfl2log?4=l,即log? *=1， 所以a=j. 故a=2或a=2- 答案：2或+ 双基过关检测. 一、选择题 2 X-1, xWO, 1?函数f （x） 1 满足血0=1的x的值为（） p x0, 解析：选B 令x=l, x-l = O,显然f （x）无意
10、义，故排除A;由| 兀一1|0可 + ）,故排除D;由复合函数的单调性可知/U）在（1, + 8）上是增函数，故排除C,选B. 解析：选D 结合二次函数y=ax 2+bx+c（a0）的图象知 : JL 当avO,且血c0时，若一茲v0,则方v0, c0,故排除A, 若一z-0,则方0, cvO,故排除B. 当40,且血c0时，若一vo,则方0, c0,故排除C, I. 若一茲0,则方v0, cvO,故选项D符合. 4.设a=0?32, =2心，c=log25, d=log2（）?3,则a, b, c, d 的大小关系是（） 解得x= 1或L 得函数的定义域为（一 8, 1）U（1, 3? （2
11、018?坤州棋拟）设abc0,二次函数f （x）=ax+bx+c的图象可能是（ A. 1 CD A B CI) C. b2, J=log20.30). ? ?函数y=(t+l) 2 在(0, +8)上递增， :.yl. ?所求值域为(1, +?).故选B. (x, xyOt 6. (2017-大连二棋 ) 定义运算：例如：=3, (=4,则函 js xy2或xvo时，y（x）e（-oo, 0）.综上可得函数/U）的最大值为4,故选D. 7.已知函数./U）=lg乍匚+?是奇函数，且在兀=0处有意义，则该函数为（） A?（一8, +8）上的减函数 B? （一8, +8）上的增函数 C?（一1,1
12、）上的减函数 D. （-1,1）的增函数 解析：选D由题意知，/（0） = lg（2+a）=0, ?a= 1,?几￥）=临6一1）=1佥 2， 兀- 2 2 令_ 兀0,则一1W1,排除A、B,又丿=_* 1 = 1+兀_ 在（一1,1）上是增函数，/./（X）在 （-1,1）上是增函数 . 选D. 8?（2018-湖北贅点亦中协作校联考）设函数f （x）=l yx+i, g（x）=ln（ax23x+l）, 若 对任意帀丘 0, +8）,都存在X2eR,使得/（X!）=g（x2）,则实数a的最大值为（） 9 A? 当a+2Wl,即aW-1 时,/(x)mi,=/(a+2)=(a+l) 2=4,
13、 a=l( 舍去) 或a=-3; 当avlva+2,即一lsvl 时，血 ;) 丽=/(1)=0工4? 故a的取值集合为 一3,3?故选C? 3?如图是二次函数y=ax 2+bx+c 图象的一部分，图象过点4(-3,0),对称轴为x=L 给出下面四个结论： 沪4ac；a-b+c=0；5av?其中正确的结论是 ( ) A.B. C.D. 解析：选B ? ?二次函数的图象与兀轴交于两点，? ?沪一4必0,即b 24ac 9正确；对称轴 为x= 1,即一茲 =1,2a=0,错误；结合图象知，当兀=1时，j0,即ab +c0,错 误；由对称轴为兀 =一1知，b=2af又函数图象开口向下，?dv0, ：
14、.5ao, 意1,1恒成立，所以 | 2 . 解得xvl或兀3? /(_1)=工_5工+60, 5.若函数fix)=mx 2-2x+3 在 一1, +8)上递减，则实数加的取值范围为() A. ( 一1,0) B. 一1,0) C. ( 一 8, -1 D. -1,0 解析：选D 当加=0时，f(x)=-2x+3在R上递减，符合题意； 当加H0时，函数 ./( 兀)=/nx 22x+3 在 1, +8)上递减，只需对称轴x= 1,且/nAl)的解集是 () x+6, x) C?( 一1,1)U(3, +8)D?( 一 8, -3)U( 1,3) 解析：选A?V=3,?不等式fix)f(l)f即
15、,flx)3. x3 或一 3dab 解析：选D f(x) = 2 017 (x a)(x b)=x 2+(a+b)xab+2 017,又 fia)= f(b)=2 17f cf为函数几r) 的零点，且a”，cd,所以 可在平面直角坐标系中作出函数/U)的大致图 象，如图所示，由图可知cabd,故选D. 8. (2017?浙江髙考 ) 若函数fix)=x 2+ax+b 在区间0,1上的最大值是M,最小值是加 , 则 Mm( ) A.与a有关，且与方有关 C.与a无关，且与方无关解析：选B f1时，问在0,1单调递减， 与a 有关，与无关 . 综上所述，M m与a有关，但与无关 . 二、填空题
16、9.已知幕函数心 )=兀一 /+2加+3(加日) 在(0, +8)上为增函数，且在其定义域内是 偶函数，则加的值为_ ? 解析：? ?幕函数/U)在(0, +8)上为增函数， :./n 2+2/n+30, 即加 一2m 3abd B.与a有关，但与 b 无关 D.与a无关，但与 b 有关 l+a+j与a有关, m 1 要使 得函数在区间 ( 一 8, 1)上是减函数，在区间1, +8)上是增函数，则工 =一3 =1, 解得771=2. 答案：-2 11. (2018?南通一调 ) 若函数f(x)=ax 2+20x+14(a0)对任意实数 f,在闭区间tlf t+ X上总存在两实数m兀2,使得I
17、/U1) /U2)|M8成立，则实数a的最小值为 _ ? 解析：由题意可得，当t+1时，f(X)max-?X)min min8,当tl9 t+1 关 于对称轴对称时，f(x)nvdX-f(x)min取得最小值，即几+l)-/W=2m+d+20M8, fit-D-fit) =一2加 +。一20M8,两式相加，得所以实数a的最小值为8? 答案：8 x 3, xWa, 12.设函数人兀 )=, 若存在实数人使得函数y=Ax)-bx恰有2个零点，则 x xa9 实数a的取值范围为_ ? 解析：显然兀=0是y=f(x) bx的一个零点； 当xHO 时，令y=f(x) bx=0 得方 心)(X 2, xW
18、a, 令g(x)= v =则b=g(x)存在唯 - 个解. x x, xaf 当avO时，作出函数gtr)的图象，如图所示， 显然当a()时，作出函数g(x) 的图象，如图所示， 若要使b=g(x)存在唯 - 个解，则aaf即Ovavl, 同理，当a=0时，显然b=g(x)有零解或两解，不符合题意. 综上, a的取值范围是 (一8, 0)U(0,l)? 答案： ( 一 8, 0)U(0,l) 三、解答题 13. (2018-杭州棋拟 ) 已知值域为一1, +8)的二次函数人兀 ) 满足f(-l+x)=f(-l-x), 且方程/U)=0的两个实根工1，兀2满足|x(X2|=2. (1)求心) 的
19、表达式； (2)函数g(x)=f(x)-kx在区间1,2的最大值为爪2),最小值为几一1),求实数k的 取值范 围. 解：(1)由f(-l+x)=f(-l-x)t可得/U)的图象关于直线兀 =一1对称， 设f(x) =a(x+1 ) 2+/i=ax2+2ax+a +力(aH 0), 由函数几r)的值域为1, + ),可得h = l, 根据根与系数的关系可得xi+x2=2, xix2=l +彳， A xi x2=yl(x l+x2)24xix2 =寸一乎=2, 解得a = 1, .f(x)=x 2+2x ? (2)由题意得函数g(Q在区间-1,2上单调递增， 又(-v) = fix) kx=x
20、2(k 2)x. 2 /.g(x)的对称轴方程为x= 2 2 则一W 1,即RWO,故A:的取值范围为 ( , 0. 14. (2018*成都诊断 ) 已知函数f(x)=x 2+ax+3a f若2,2, f(x) 0 恒成立，求a的取值 范围. 解：f(x)=(x+ 2a+3 f令心) 在2,2上的最小值为g(a)? (1)当一号v-2,即a4 时，g(a)=/(2)=73。鼻0, 又a4, ：.a不存在? (2)当一2W号W2,即一4WaW4 时, g(a)=d)= _a+3M0, :.6WaW2?又一4WaW4, :.4WaW2? (3)当一号2,即abc)的图象经过点和点B( 加2, /
21、(/n2) /U) =0?若a + f(ni)+f(m2)-a+fiin=0,贝U( ) A?鼻0 B?bbcf得a+b+c0, 若cMO,则有0, ?0,此时a+b+cOf这与a+b+c= 0矛盾； 所以cvO 成立，因为a 2 + f(mi)+f(m2)- a +f(ini)-f(in2) = 0,所以(a +f(tni)(a +f(m2) =0, 所以“，牝是方程Jx)= a的两个根， A=b 24a(a+c)=b(b+4a)=b(3a c)0 f而a0, cvO,所以3dc0,所以bMQ. 2.设函数fix)=2ax 2+2bx, 若存在实数xoe(O, f),使得对任意不为零的实数a
22、, b,均 有/Uo)=a+方成立，则t的取值范围是_ ? 解析：因为存在实数xoG(0, f),使得对任意不为零的实数a, b,均有f(Xi)=a+b成立, 所以 2ax 2+2bx=a+b 等价于(2xV)b=(l 2x 2)a ? 当兀=时，左边=0,右边H0,即等式不成立，故详舟； I _ 2*2 当xH二时，(2工一1)方=(l-2/)a等价于 -=2_1 , k+1 设2xl=kf因为xH二，所以RHO,则x=9 则函数g(Q 若/XABC为钝角三角形，则存在xG(l,2),使/(x)=O. A. 3 D. 0 c“?一- 0,故正确； 令a=2f b=3, c=4,则 a, bf
23、 c可以构成三角形，但a2=4,沪=9, c2=16却不能 构成三角形， 所以正确； 已知ca0, c方0,若ZkABC为钝角三角形，则a 2+b2c2Qf f(2)=a 2+b2-c2|, 即al+ 故实数4的取值范围是(1+2，e|,故选C? c Q 关于x的方程./1 +务显然方程无解 , 所以1aWO,即aMl, 因为/1一伽 =严+务 所以f(x)=laf即fix)=a lf 所以方程/(x)=a1有三解， 当xWO时，心 ) 在( 一 8, 0)上单调递增，且当 l 8 时，几r)-号, 当x0 时，f (x)=e A_, +ax-a-l, 所以f (x)是增函数，且f (1)=0
24、, 所以ZU)在(0,1)上单调递减，在(1, +8)上单调递增， y _ / V a O 1 X 又几1)=0,当X4-00时，/(X)4-00, 作出/U)的大致图象如图所示， 因为方程几r)=a 1有三解， 所以号1 +寻， 2 解得20时，令何=e“+号得 严+討一+1)工+号=严 (2018?成都一诊 ) 设/U) = |ln(x+l)|,已知f(a)=fib)(a0 B?a+方1 C. 2a+bQ 解析由函数 /( 兀) 的解析式可确定该函数为偶函数，图象关于丿轴对称. 设g(x)= 10陽*1,先画出兀0时，g(X)的图象，然后根据g(X)的图象关于丿轴对称画出XV0时g(X)的
25、 图 象，最后由函数g(x)的图象向上整体平移一个单位即得/U)的图象，结合图象知选A. (2)作出函数/)；)=|111 (x+l)|的图象如图所示，由fia)=f(b)9得一 ln(a + l)=ln +1),即ab+a+b=O.所以0=ab+a+方+a+b, 即(a+b)(a+b+4)0,显然一lvavO, b09 :.a+b+40. ：.a+b0.故选A. 答案(1)A (2)A 方法技巧 鲂数龜彖融 (1)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性( 单调区间 )、 值域( 最值) 、零点时，常利用数形结合思想. (2)些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数
26、图象问题，利用数形结合法求解. 即时演练 1.函数丿 =山詁瓦的图象大致为 () D. 2a+bl D 3 3 易知2x3H0,即xH,排除C、D.当时，函数为减函数，当 函数为增函数，所以选A. 2?若10密6d = 10g7，则4，也1的大小关系可能是 () A. abl C?albD. lab 解析：选D 作出函数J = logfiX与y = log7兀的大致图象如图所示 , 因为log6a=log7,所以由图象可得l2, 则a+方+卄的取值范围为 _ 解析：作出函数 /( 工) 的图象，如图所示，令a2ylah=2f当f(a) =.f(b) = 1 时，可得a+b=f 所以2va+方2
27、时，/U)=护一 r+5 的对称轴为x=4,又/(2)=JX2 2|X 2+5=1, fic)=f(d)9所以c+=8,所以a+b+c+d 答案：(10, y) rraa 处紳对数函数的性质及应用 对数函数的性质及应用是每年高考的必考内容之一，多以选择题或填空题的形式考查, 难度 低、中、高档都有 . 常见的命题角度有： 比较大小与求值； (2)与对数函数有关的单调性； (3)由对数的单调性求参数或自变量的取值范围； (4)对数函数性质的综合问题. 角度一：比较大小与求值 1?若a=3 3, *=Iogn3, c=log0.3e,则a, b, c 的大小关系为 ( 解析：选A B. bla C
28、. cab D. bca 解析：选A由指数函数的性质可得a=30Jl, 由对数函数的性质可得Z=logn3G(0,l), c=logo.3ebc? 1002兀，X0, log 1 (X), xVO, 若/(?) f( ?)则实数a的取值范围是 解析：由得 a0, (alog , a或log i ( ?)log2(a), 、2 I 2 a0, |aV0, 即| 或| llog2rt 10g2d log2(a) 10g2(a). 解得al或一lVaVO. 答案:(-1,O)U(1, +oo) 方法技巧 对数函数值大小比较的3种方法 单调性法 在同底的情况下直接得到大小关系，若不同底，先化为同底 中
29、间量过 渡法 寻找中间数联系要比较的两个数，一般是用“0”，“1”或其他特殊值进行 “比较传递” 图象法根据图象观察得出大小关系 角度二：与对数函数有关的单调性 3.若函数f(x)= log. 2 +|x(a0, aHl) 在区间g, +8)内恒有何 0,则兀) 的单调递增区间为 () A. (0, +oo) B. (2, +8) C? (1, + ) D?g, +8) 解析：选A 令M=x 2+x f当xeQ, +8)时，MW(1, +oo),因为/(x)0,所以al?所以函数 y=log?M为增函数，又M= ?3丿一5 z=31o嘛一51。嘛=血一轟 125 _ 310璟5 _ 51o溟3
30、 _ lo璟5彳 _ lo臥3 _ 駄243 2x. 5 z. 2x3y? 2.（2016-全国卷I ）若al,O0,所以y=x c 为增函数，又abl, 所以 a cbc t A错. 对于选项B,血 v加心份舟，又y=gy是减函数，所以B错. 对于选 项D,由对数函数 的性质可知D错，故选C? 3. （2015?全国卷U）设函数心） =111（1 +闪）一计壬，则使得立的兀的取值 解析：选A _工）=ln（ 1 +1_兀| ）_+（ 兀）2 =/U）, .I函数/ （兀）为偶函数 . 2 logU f(2x- 1)|2x- 1|(2X - 1) 2=log510, c=log714,贝J(
31、) A. cba B. bca C. acb D?abc 解析：选D a=log36=1 + log32, b=log510=1+ log52, c=log714=l+log72,则只要 比较log32, log52, log72的大小即可，在同一坐标系中作出函数y=log3X, y=logsx, j=log7x 的图象，由三个图象的相 对位置关系，可知abc9故选D. 咼考达标检测. . 、选择题 1.已知lga+lg/=0 （d0,且aHl,方0,且方H1）,则函数fix ）=a x 与g（?r）=lo劭x 的 图象可能是（） 解析：选B因为lg a+lg b=0f 所以lg ab=Ot所
32、以ab=, 即 b=a9 故g（x）=logX= logr=log “x, 则/U）与g（x）互为反函数，其图象关于直线j=x对称，结合图象知B正确. 故选B. 2. （2017?西安二棋）若函数j=log2（/nx 2-2mx+3） 的定义域为R,贝IJ实数m的取值范围 是（） A. （0,3）B. 0,3） C?（0,3 D. 0,3 解析：选B 由题意知mx 22mx+3 0 恒成立 . 当加=0时，30,符合题意；当加H0 zn0, 时，只需一（_2町212=/（Iog45）, c=/（2扌），则 a, b, c满足（） C. c2log23log450,所以gave. 4.（2018
33、-张家界棋拟）已知函数fix ）=log?（2r+b-l ）（a0,且a=l ） 的图 象如图所示，则a, 满足的关系是（） A. 0l?又由图象知函数图象与j轴交点的纵坐标介于一1和0之间， 即一 lf(2) B. f(a+l)f（2）. 所以X=-QZ?O, a+b=,所以laZ? O, A. (2 迄,+8) C. (3, +8) B.22, +8) D?3, +8) 已知a方0, a+b=l,则x, y, z的大小关 所以-lfio, ?g(b)在(1, +8)上为增函数 , ?g(b)=2b+舟3,故选C? 8?设a, b, cWR 且cHO, X1.535 6 7 8 91427
34、Igx2a+ba+fc ac+ 1 b+c a+20 +c 3(ca)2(a+b)b-a3(a+b) 若上表中的对数值恰有两个是错误的，则a的值为 () A?诒B.掃 c.jigy D. lg y 解析：选B 由题意可得lg3=a+方，lg9=2(a+) ，Ig27=3(a+b)正确， lg 5=ac+1 今lg 2=c_a, lg 6=/+c=lg 2=c a, lg 8=3(ca)=lg 2=ca,故这三个都正确； 此时，lg l?5=lg3lg2=2a+一cH2a+b,所以表中lg 1.5 错误； lg 7=a+2+c=(a+方)+(b+c)=lg 3+lg 6=lg 18,显然错误；故
35、表中lg 14=ba是正确的 . 综上，lg2=ca, lg 3=a+b, lg 14=一a, 所以a=|(lg 3-lg 14)=3昂. 二、填空题 9.若log2x=Iog2(2j),则x+2y的最小值是 _ ? 解析：由log2x=log2(2j),可得2xy=l,且兀，丿均为正数，则x+2y2yx*2y=2, 当且仅当 x=2yr即x=l, y=舟时，等号成立，故x+2y的最小值是2? 答案：2 2m 1 tnx 10. (2017-湛江一棋 ) 已知函数f(x)=log a二jTj (a，且。工1)是奇函数，则函数/U) 的定义域为 _ ? 解析：因为 /( 兀) 为奇函数，所以f(
36、x)+f(x)=f r 2ml mx , 2m +mx 即呃兀 +1 +呃一卄1 =， 化简得(m 2 1 )x 2=4m(m 1)对定义域上的每一个 x都成立 , 答案：(-1,1) 11?(2018-武汉棋拟喏函数f(x)=oga(x 2ax+5)(a0, 且aHl)满足对任意的曲，也， 当 QgW 号时，心2)心1)l9 =x 2ax+5 r则 彳) 解得0 /(x)=lg -qj,若对任意实数 ( 丘 1 1 刁2，都有恒成立，则实数a的取值范围为 _ . 2X 1 解析：设 M= 27+T =1F+l* 其在 ( ，+8)上是增函数，则/(w) = lg W在(0, +8)上 是增函
37、数，所 以复合函数爪兀 )=仗 話了在(0, +8)上是增函数 . 又因为/U)是定义在R上的 偶函数，所以0等价 于即9对任意实数理 恒成立，两边平方化简可得2(a+l)t+(r-l0恒成立，令g(t)=2(a+l)t+a 2-l f则 、g(2)=/+4a+3ao, 答案： ( 一8, -3U0, +8) 三、解答题 13?(2018-枣庄棋拟 ) 设xe2,8时，函数f(x) =|10(?)-10(? 2)(? 0,且 “H1)的最大 值是1,最小值是一求实数a的值. 解：fix) =|(log?x+ l)(logax+ 2) =(iogxr+引ogax+2 =*叫 +|)2-+? 所以
38、m= b 此时f(x)-log a i+工. 由 1 X 1+ 解得aW3或aO. =a+a 2 f 1 3 当几r）取最小值一时，10财=一壬 Vxe2f8, Aae（O,l）. ?/ ）是关于10詁的二次函数， ?/ （x）的最大值必在x=2或x=8处取得 . 若殳10飾2+閒2_ =1,则?=2 此时/U）取得最小值时，x=（2=y2i2t8, 舍去; 若殳10飾8+）2 =1,则?=|, 此时/U）取得最小值时，x=￥ =2返丘2,8,符合题意 . 14.已知f(log 2) =ax22x+l a f aWR? 求心 ) ； (2)解关于x的方程f(x)=(a-l)-4 x； 实数a的
39、取值范围 . 解：(1)令log2x=Z,即x=2 t t 则f(t)=a- (2 1)2 一2?労 +1 a, 即几对 =4?2“ 2?2*+14? (2)由f(x)=(a-l)-4 x f化简得2肚一2?2*+14=0,即(2v-l) 2=a, 当 avO时，方程无解， 当dMO时，解得2 x=l a f 若OWavl,则x=log2(l Va), 若aMl,则x=log2(l+V)* _ a+1 方min、2 1a 由已知得，” ( 工)=?2“+ 2兀一2, A. la 令2 =r,则y=at+? , 对任意兀1，x2 1,1总有h(xi)h(x2) 牛成立 , （3）对任意Xi, x
40、2 1,1总有| 方（曲）一（X2）|W 字成立，等价于当xG-l,l时，/imax 设h(x)=2- xf(x), 当 心1时，g(f)=m+宁-2, re|, 2单调递增 , 此时ga)max = g(2) = 32 “, g(Omin=g(j)=-y, 6a3 a+1 gOmaxgOmin 2 2 ， 当软X1时，g(o=m+宁一2, 2单调递增 , 6a3 a+1 gOinax gOmin 2 2 ， 当*Wa0,故排除C； 数，因此，排除A,故选B. 法一：如图，设ZMON=af由弧长公式知x=af在RtAAOM中, AO=l t, cos号= 1 -f, /.y = cos x =
41、 2cos 2 1 = 2(/ 1 )2 l(OWtWl).故其对应的大致图象应为B? 法二：由题意可知，当Z=1时，圆O在直线厶上方的部分为半圆， 所对应的弧长为7tX l = 7t,所以COS 7T= 1,排除A, D；当f=舟时，如图 C ST 所示，易知Zoc=寸，所以COS= 20, 即函数j=sin 3上是增函 (1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置; (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势； (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性； (4)从函数的特征点，排除不合要求的图象. 利用上述方法排除、筛选选项. 即时演练 1.函数j=x 5-xex
42、 的图象大致为 () 解析：选B 令x=2,可得j=322e 20,故选 B? 2.函数丿 =芒的图象大致为 () 儿 y 1:1 :1 r 0时，y=x?|cosx|NO,故 图象是第四个图， 因此j=x-cosx的图象是第三个图，故正确的排列为. 答案： 图象的应用 函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提 供了 “形”的直观性? as塑三 常见的命题角度有： (1)确定方程根的个数； (2)求参数的取值范围； (3)求不等式的解集； (4)研究函数的性质； (5)利用函数对称性求值 . 角度一：确定方程根的个数 解析：方程护( 兀) 一?U)+1=O
43、的解为爪兀 )=* 或1 ?作出y=f(x) 的 图象，由图象知方程解的个数为5? 答案：5 角度二：求参数的取值范围 2.已知函数的图象与函数y=kx的图象恰有两个交点，则实数的取值范围 x+1,兀工1或xW 1 解析：由题意，尸心 )=仁_, _ 心1, 处的图象恰有两个交点，则OV 当朋(3,4)时，心 )=3一? 其中所有正确命题的序号是_ ? 解析：由已知条件得f(x+2)=f(x)t则y=f(x)是以2为周期的周期函数，正确; 当一兀wo 时，ow-xwi, /U) =A-K) =(+X, 函数y=f(x)的部分图象如图所示 . y 7 Illia -1 L O12 3 45 x
44、结合图象知正确，不正确. 当30)的图象 与g(x)=cos x+log2(x+?)的图 象有交点，则方程2一*=log2(x+a)(x0) 有解, 令丿=2_x=iog2(x +a)f则这两个函数的图象有交点，分别作出两个函数的图象如图所 示，由图象可知当aWO 时，两函数在(0, +8)上必有一个交点，当。 0时，要满足题意，贝? Iog2a0, ：.g(x)在(0,2)内至少存在一个极值点， ? ?. 心)=2工21在(0,2)内至少存在一个极值点，排除C?故选D. 2. (2015?全国卷I)设函数y=/U)的图象与y=2 x+a 的图象关于直线尸一兀对称，且爪一 2)+人一4)=1,
45、则a=( ) B?1 C?2 D?4 解析：选C 设( 工，刃为y=f(x) ?象上任意一点，则( 一丿，一兀 ) 在y =2x+a 的图象上， 所以有 _ x=2 y+a f 从而有一j+fz=log2(-x)(指数式与对数式的互化 ), 所以J = ? IOg2( X), 即J(x)=alog2(X), 所以2)+/(4) = (a10亞2)+(0Iog24)=(a l)+(a2) = 1,解得a=2. 3.(2015-全国卷U)如图，长方形ABCD的边AB=2 f BC=lf O是 A的中点，点P沿着边BC, CD与D4运动，记ZBOP=x?将动点P到 A, B两点距离之和表示为 x的函
46、数./U),则y=Ax)的图象大致为 () y / 2 丿 2 x A O 8 解析：选B 当兀丘0,予时，/（x）=tan x+/4+tan 2x,图象不会是直线段，从而排除 A、C? 当x e _4*竽时，居）=/（节）=1+诟，/=2迈?2迈1+托，?点）勺 ）=X 节）, 从而排除D,故选B. 4. （2014-全国卷L）如图，圆O的半径为1, A是圆上的定点，P是圆 上的动 点，角x的始边为射线OA,终边为射线OP,过点P作直线04的 垂线，垂足为 M?将点M到直线OP的距离表示成兀的函数血: ），贝IJj=/ （x） 在0, TT 的图象大致为（） 解析：选B 由题意知，/(x)=
47、|cosxpsin x,当兀 W 0,号时，f(x)=cos x-sin x=pin 2x; 咼考达标检测 、选择题 1.函数/U）=Xsin*|在一2.2上的图象大致为（） 解析：选B函数/lx）=x 2-sin|x| 在一2,2上显然是偶函数 , 令x=2,可得/(2)=4-sin 23,故排除C、D; 是减函数，在?2 ）上是增函数，故排除A,故选B. 当x0 时，f (x)=2x cos x,显然存在/G 使f (0=0,则函数/U)上(0, t) ABC D A C 故选B ? 2?已知函数y=f（x）的图象如图所示，若/（x2+2x+l）-/Ilg （x 2+10）0, 则实数兀的取值 范围是（） b +8) X 2+2X +1