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1、高考达标检测（五十六）证明4方法 综合法、分析法、反证法、数学归纳法 一、选择题 1.设兀=返，y=yi_ 书, z=& 迄，则兀，y, z的大小关系是（） A. xyzB. Zxy D. xzy 解析：选D由题意知x, j, z都是正数， 又兀2/=2（84诟）=4逅一6=倔一倔 0, Axz. ?z心_迄+逅. ? ? y- 护一芋一慕第 *?my ? 2.对于定义域为D的函数）， =/ （兀）和常数C,若对任意正实数7, 3x0en,使得00,则心1）+心2）的值（） A?恒为负值B.恒等于零 C?恒为正值D?无法确定正负 解析：选A 由/U）是定义在R上的奇函数，且当工$0时，爪工）单
2、调递减，可知/U）是 R上的单调递减函数， 由Xi+x20,可知X1X2, Axi）zx QAX)=X(XGZ)；+ i(xGZ)； B? AWCWB D. CWBWA 解析：选A因为牛少亦倉，又人兀 )=&) 在R上是单调减函数，故申乎)WA価)W/備 与). 5?设WN,贝吋陀+4心+3与&+2 & + 1的大小关系是 ( ) A ?寸H+4yjn+3ln+2 寸兀+1 B .yjn+4 寸“+/ “+2 寸畀+1 Cj n+4 yj n+3=yl n+2 yl n+1 D.不能确定 解析：选B 由题意知，(yjn+4 yjn+3) (yjn+2 yjn+1) = (yjn+4+yjn+1
3、) (yjn+3+yjn+2), 因为 (寸死+4+p+l ) 2(yjn+3 +/zi+2)2 =2 晶+4)(卄1) 一昴+3)(舁+2) =2(- /I 2+5W +4/n 2+5n+6)0,则实数卩的取值范围是_ ? A. AWBWC C.力WCWA 解析：法一：（补集法） 人卩一1)=一2h+p+lW0, /(l)=_2p2_3p+9W0, 法二：（直接法） 依题意有人一1）0或f （l ）O f 即2p 2pl3. 证明：因为d, b, c为不全相等的正数， b+ca , c+a b . a+b c 所以I+z+: “ b+ca , c+ab , a+bc 即3? 11?在数列“中
4、，?i = 2, ?n+i=Y+(/N*), (1)计算血，心， % 并由此猜想通项公式a”；证明中的猜想 . 解: 在数列仏中， ?如=2,如1=命尹丘巧， 由$ sin B2=COS Bi=sin sin C2=cos Ci = sin ?_r_Z Ml 2 a2 2d3 2 ?他=2=了，42=予=3,如=匸( 石=亍血=予=刁 2 ?猜想这个数列的通项公式是如=亦台? (2)证明：法一：?. ?心 +1=￥；, ?丄 _丄 ?偽 _2?的_2 ?是以*为首项，1为公差的等差数列， 1 1 _ 2死一1 ?2 ?石=尹( 一1)0时，一弓診， / 中至少有一个不小于萌 . 解：(1)=x
5、 3ax t；?f (x)=3x 2a, ?函数fix)=x 3-ax 在兀=1处取得极小值， :.f (1)=0,即3-a=0, ? - a=3? (2)证明：假设一穿，乙严都小于厉， 2x+另+(3兀一0 时，x+2 当且仅当x=l即x=V3时等号成立 , ?假设不成立, ?-攀,中至少有一个不小于萌 . 厦力自选题 1 ?已知两个半径不等的圆盘叠放在一起( 有一轴穿过它们的圆心 ) ，两圆 盘上分别有互相垂直的两条直径将其分为四个区域，小圆盘上所写的实数分别 记为X1，工2，兀3，兀4，大圆盘上所写的实数分别记为Jp力，力，丿4， 盘逆时针旋转辺=1,2,3,4)次，每次转动90 ,记7
6、,(/=1,2,3,4)为转动i次 后各区域内两数乘积之和，例如Tx =xiy 2+x2y3+x3yii+x4yi. 若兀1+兀2+兀3+ 兀40, 即XJ1+ 兀Ly2+xj3+xLy4+ X2yi+X2y2+X2yi+兀莎4+兀屮1+兀3丿2+兀3丿3+兀3丿 4+兀01+兀妙2 +Z3+340, f-2x+0, /JGN,n2. 证明：函数Fn(x)=f n(x) 2 在伶1)内有且仅有一个零点 ( 记为切，且xn=|+|x； +1； (2)设有一个与上述等比数列的首项、末项、项数分别相同的等差数列，其各项和为g(x), 比较成 ( 工) 和g“(Q的大小，并加以证明 . 解：证明：Fn
7、(x)=f fl(x)-2=l+x+x 2+-+x, -2 9 则F/f(l)=n-l0, F )=1+ +(余+“? +3)“-2= -2=-寺0, 故 恥) 在伶1)内单调递增，所以几仗 ) 在伶1)内有且仅有一个零点心? 因为心是几(X)的需点，所以几 ( 切=0, 即I二-2=0,故xH=|+|x； +1. (2)由题设，f n(x)=l+x+x 2+-+xn 9 S+1)(F+1) gnM ，兀0? 当X=1 时，f, t(x)=gn(x) ? 当工Hl时，用数学归纳法可以证明f n(x)0), 则h r k(x)=k(k+ l)x k-k(k+ l)xk l =+l)x A: “ ,-(x-l) ? 所以当OVxVl时，h 1 &( 兀) VO,加( 兀) 在(0,1)上递减； 当*1时，h f 攵( 兀)0,加( 工) 在(1, +8)上递增 . 所以加 ( 兀)加(1)=0, . 2x k+i +(k+l)x k +k+l 从而gk+W2 ? 故fk+i(x)gk+i(x),即n=k+l时不等式也成立 . 由和知，对一切死M2的整数，都有 f,(x)g n(x).