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1、课时作业45空间向量及其运算 授课提示：对应学生用书第245页 一、选择题 1.空间直角坐标系中，力(1,2,3), B(2, 1,6), C(3,2,l), (4,3,0),则直 线 AB与CD的位置关系是 () A.垂直 B.平行 C.异面 D.相交但不垂直 ?A 解析：由题意得人B=( 3, 3,3), CD=(1,1, 1), :?AB=3CD、 ? ? ? :.AB与CD共线，又/与CD没有公共点.:.AB/CD. 答案：B ? 2.已知空间四边形OABC屮，OA=a, OB=b, OC=c,点M在Q4上, OM=2MA, N为 BC 中点，则M7V=( k ” k “ 厂 解析：显
2、然MN= ON-OM=OB+OC)-joA. 答案：B 3. (2018-H照调研)已知M(4丄3), BQ, 5,1), C为线段AB k一点，且篦 =y则C点的坐标为( 解析：由题意知2AC=CB,设 C(x, y, z),则 2(兀一4, y1, z3) = (2x, 5 v, 1 z), A. q i r B. C. ( 学 -1 ，|) D 2, I) A.如-詁 ( ，-3,2) (1 ， 2x_8 = 2_x, .?. 2y2=5y, ?2z6= 1 z, 答案：C ? ? 4.在空间四边形ABCD中，AB-CD+ACDB+AD-BC=( A. 1 B? 0 C. 1 D? 不确
3、定 则AB- CD+AGDB+ADBC =a(cb)+b(ac)+c(ba) =acab-babc+cbca 答案：B 5.对于空间一点O和不共线的三点力，B, C,有6OP=OA+2OB+3OC, 解析：由6OP=OA+2OB+3OC9 得OPOA = 2(OB-OP) + 3(OC-OP) 9 AP=2PB+3PC,故/P, PB, PC 共面，又 它们有公共点P,因此，P, A, B, C四点共面，故选B. 答案：B 6.在空间四边形ABCD中，若/=(3,5,2), CQ=( 7, 1, 一4),点 E, F分别为线段BC, 4D的屮点，则EF的坐标为 () 则() A. O, A,B
4、, B?P, AfB, C?O, P, B, D. 0, P, A, C四点共面 C四点共面 C四点共面 B, C五点共面 10 7 A. (2,3,3) B. (一2, 3, 3) C. (5, -2,1) D. (一5,2, -1) 解析：因为点E, F分别为线段BC, /Q的中点，O为坐标原点, 所以EF=OFOE, OF=OA + OD) 9 OEpOB+OC). 所以EF=OA + OD) *(OB + OC) =BA + CD) =*(3, 5, 2) + ( 7, 1, 4) =*(_4, 6, _6) = ( 2, 3, _3)? 答案：B 二、填空题 7._ 已知 PA垂直于
5、正方形ABCD所在的平面，M, N分别是CD, PC的中 点，并且 PA=AD=.在如图所示的空间直角坐标系中，则|M“= _ . 解析：连接PD, ?:M,N分别为CD, PC的中点， ?|加|=如忆|,又 P(O,O,1), D(0 丄 0), 嗾案?亚 口? 2 8.若a=(0,l, -1), 6=(1,1,0),且(a+肋)丄a,则实数久的值为 ? 解析：因为(a+肋)丄a, 所以(a+Abya=a 2+/a=(y2)2+XX (0+ 1 +0)=0, 解得 z= -2. 答案：-2 9.已知P为矩形ABCD所在平面外一点，刃丄平面ABCD，点M在线段 ? PC 上，点 N在线段 PD
6、 上，且PM=2MC, PN=ND,若MN=xAB+yAD+zAP, 贝!J x+y+z= _ . 1 ? 解析：如图，MN= PN-PM=PDPC =j(AD-AP)(B4 +AC) =AD-AP+AP-AB+AD) 2 | | 所以x+yz= _ _&+&= 答案:g 三、解答题 10.设a = 2ij+kf a2=i+3j2k, a3=-2i+j3k, a4=3i+2j+5k,试 问是否存在实数 2、“、V使心=加1+心2 + “3成立？如果存在，算出久、“、V 的值，如果不 存在，请给出证明. 解析：假设偽=加1+“。2 + “3成立. *?*?! = (2, 1,1),血=(1,3,
7、 一2), 3=(2,1, 3),血=(3,2,5), ? ：(2久+一2v, 2 + 3“+。， A2/3。)= (3,2,5), 故有“4=2。+ 2 3?3， 11.已知空间三点力(0,2,3), 5(-2,1,6), C(l, -1,5). (1)求以AB, MC为边的平行四边形的面积； ? ? (2)若=羽，分别与MC垂宜，求向量a的坐标. ? 解析： (1)由题意可得：肋=(一2, 一 1,3), AC=(19 -3,2), ABAC -2+3 + 6 7_丄 _ _ _ _知你_14刁 AB AC 所以sin羸二=% 所以以力伏/C为边的平行四边形的面积： S=2X訥B|/lC|
8、sinAB, AC) =14X*=7书. (2)设a=(x9 y9 z), fx 2+2+z2=3, 由题意得 -2x-y+3z=0, 、x3y+2z=0, 所以 4 = (1,1,1)或 4 = (1, 1, 1)? 能力挑战 “2久+一2e=3, ? ；S 久+3+0=2, 、久一2“一3o=5, z=-2, 解之得v =1, 卫=_3? 所以 cos (AB, AC) fx=l, 解得v y=l9 &=1 或尹=_1, 、Z=_1 ? A 12.如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1,点 E, F, G分别是力3, AD, CQ的中点，计算： ? EFB4；EF DC； (3) EG的长. ? 解析：设AC=b, AD=c. 则a = b = c = l,a, b) =，c=c, a) =60 , I 2 1 _1 =2a 2a e=4f f f 1 (2) EF? DC p(ca)?(bc) 1 ? 1 = 2(bcabc+ac)=皋 -? - AA - ?| (3) EG=EB+BC+CG=7；a+b-a EF=BD=