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1、课时作业 53双曲线 授课提示：对应学生用书第255页 一、选择题 1?（2018?南昌模拟（一）若圆锥曲线C：x 2+my2= 1 的离心率为2,则加= （） A- -爭B誓 C?-* D.| 解析：本题考查双曲线的标准方程和几何性质. 圆锥曲线C的离心率为2, 知C 为双曲线，加 0, b0）的右焦点为F,点/ 在 双 曲线的渐近线上，O/F是边长为2的等边三角形（O为原点），则双曲线的方程 为（） 2 2 2 2 A.4 12-1 b.2 4 1 2 2 C./=1 D. x 2=1 解析：本题主要考查双曲线的几何性质和双曲线的方程. 不妨设点 / 在第一象限，由题意可知c=2,点力的坐
2、标为（1, 3）,所以号 = 2 3,又c 2 =a 2+h2 9所以 a 2=, & = 3, 故所求双曲线的方程为牙=1,故 选D. 答案：D 2 3.（2018-郑州第二次质量检测）己知P为双曲线亍一/=1上任一点，过尸点 向双曲线的两条渐近线分别作垂线，垂足分别为力，B,则PAAPB值为（） A. 4 B. 5 4 C.? D.与点卩的位置有关 解析：本题考查双曲线的几何性质. 双曲线的两条渐近线方程为y= 2x, 设 P （m, n）,则/_4加2=4, | 列|“| 蔦尹￥眾川=% “ 1=专, 故选c. 答案：c 2 4.（2018-合肥检测（一）已知双曲线亍一疋 =1的两条渐近
3、线分别与抛物线 = 2px（pQ ）的准线交于B两点, 0为坐标原点 . 若的面积为1,贝“ 的值为（） A. 1 B.y/2 C. 2y/2 D? 4 2 解析：本题考查双曲线、抛物线的几何性质. 由题可设双曲线曽一工=1的 渐近 线y=2x与抛物线=2px的准线x=号的交点为彳一号，一号，p）, 则AB=2p, N4OB的面积为*X2pX号=1, p0,解得p=,故选B. 答案：B 2 2 5. （2018-湖南省五市十校高三联考） 已知尺，E分别是双曲线 &旷幻 = 1（6/0, b0）的左、右焦点，过点尺口与兀轴垂直的直线与双曲线左支交于点M, N,已知 MfN是等腰直角三角形，则双曲
4、线的离心率是（） A.2 B ? 2 C?1+迈D?2+迈 解析：由已知得与=2c,即c 22aca2=0 9所以e 22e 1 =0, 解得e= 1坏吃，又 el,所以e=l+y2,故选C. 答案：C 2 2 6?（2018-湖北调考）已知点力（一1,0）, 5（1,0）为双曲线卡一*=l （Q0, b0） 的左、右顶点，点M在双曲线上，为等腰三角形，口顶角为120 ,则该双曲线的标 准方程为（） 2 V 2 2/ A. % 24 = 1 B? x2 1 2 C. x 2 -y 2=l D. ”一牙 =1 解析：本题考查双曲线的几何性质. 由题意知a=l.不妨设点M在第一象限 , 则 由题意
5、有=2, ZABM= 120。. 过点M作MN丄x轴于点N,则BN= 羽，所以M（2, V3）,代入双曲线方程得4一寻=1,解得b=l,所以双曲线的方程为x2-/=l,故选C. 根据条件求得点M的坐标是解题的关键. 答案：C 7. （2018-长沙模拟（二）给岀关于双曲线的三个命题： 双曲线卷一匸 =1的渐近线方程是尹= X； 2 2 若点（2,3）在焦距为4的双曲线卡一 =1上，则此双曲线的离心率e=2； 2 2 若点 F, B分别是双曲线京一自=1的一个焦点和虚轴的一个端点，则线段 “的屮点一定不在此双曲线的渐近线上. 其中正确命题的个数是（） A. 0 B? 1 C. 2 D. 3 2
6、2 解析：本题考查双曲线的几何性质. 对于，双曲线一务=1的渐近线方程是 y= |x,错误；对于，2c=4, c=2,且夕一活 =1，/ + 尸=4,解得a =1,则该双曲线的离心率e=2,正确；对于，F（土c,0）, 5（0, b）, FB c 2, 数是 2,故选 C. 答案：C & （2018-福州毕业班检测）已知双曲线E：京一自=1（ 0, b0）的左、右 焦点分别为F,F2, |F|Fd = 6, F是E右支上的一点，PF 、与y轴交于点PAF 2 的内切 圆在边肿 2 上的切点为Q,若羽，则E的离心率是（） A. 23 B& C.3 D.y/2 解析：本题考查双曲线的定义、几何性质
7、. 由题意可得c=3, AFx = AF2a = |PFi| |PF2lTR| + MFi| 0F2| = |刊| + |/尸2| 尸尸2|=2|/0| = 2羽，则Q= , 答案：c 2 2 9. （2018-贵州兴义八中月考，12）设双曲线卡一方=1（Q0,b0）的右焦点 为F,过点F作与兀轴垂直的直线 / 交两渐近线于E两点，与双曲线的其屮 2 若OP=mOA+nOB(m f JL mn=g, 该双曲线的离心率为（ 32 ? 4 解析：由题意可知/（c,乡），BC,一务），代入OP = mOA+n OB得P（加 +）c,（加一町乎），把点P的坐标代入双曲线方程卡一”=1,整理得4/加=1
8、,因 为所以尸书P，故选C. 答案：C 2 2 10. （2018-青岛检测）已知双曲线C1：卡一” = l（a0,方0）, Bl C2：x 2+y2 2血+訐2=0,若双曲线G的一条渐近线与圆C?有两个不同的交点，则双曲线G的 的中点坐标（ 均不满足其渐近线方程y=A,正确，所以正确命题的个 则该双曲线的离心率故选C. ?个交点为P,设O为坐标原点 , A. 32 2 D-8 离心率的范围是（） 尸彳(x+c), . 联立3尸，所以双曲线的离心率e= 1 爭，又双曲线的离心率el,所以双曲线的离心率的取值范 围为 选A. 答案:A 二、填空题 11?(2017-北京卷，10)若双曲线 =1的
9、离心率为寸5,则实数加 = f f I- 解析：本题考查双曲线的性质. 由题意 知， 9 ci 1, b =加? /1+恳一A/1+I帀5 2. 答案：2 2 2 12. (2017-新课标全国卷III,14)双曲线卡一=1( 0)的一条渐近线方程为 3 3 解析：由题意可得专所以。=5? 答案:5 2 2 13. (2018-东北三省四市联考 ( 二) 过双曲线京一話=l(Qb0)的左焦点F 作某一渐近线的垂线，分别与两渐近线相交于B两点，若陽 =则双曲线 的离心率为 _ ? 解析：本题考查双曲线的几何性质. 由双曲线的对称性可知，A, B两点的位置关系 有两种，且对离心率无影响，不妨设过左
10、焦点F作渐近线尹 =务的垂 尸沪+c), 线，该垂线的方程为P=(x+c), A(XA9%), B(XB,血) ，联立 v b解 y=x, a 1+3 = （】, 零故 %, M整理得3尸=/, 即务=*, 所以离心率1 +乡 咎寧.3 口?3 2 2 14. (2018-石家庄模拟 ( 一) 已知尺，E分别为双曲线卡一話=l(Q0, h0) 的 左、右焦点，点P为双曲线右支上一点，M为PF1F2的内心，满足SZXMPFi = S、MPF2 + XS/MFF2 ?若该双曲线的离心率为3,贝IJ 2 = _ ( 注： S3PF, S/MPF2, S MFF2分别为 MPF, /MPF2,MF02
11、 的面积 ). 解析：本题考查双曲线的定义及几何性质. 设内切圆的半径为r, 则由题意，有 |x PFiX r=|x PF2 X r+A X|X F F2 X r,即 | 卩尺 | 一尸尸2|=刀尸02| N?2c,又由双 曲线的定义知|“i| | “2| = 2G,所以2 =入2c,即久=号=+吕? 0 匕J 答案：I 能力挑战I 2 2 15. (2018-石家庄检测 ) 已知双曲线寺一*=l(a0, b0)的左、右焦点分别为 尺，局，过点尺且垂直于兀轴的直线与该双曲线的左支交于力，B两点，AF2, 尸 2分别交尹轴于P，0两点，若P0F2的周长为12,则取得最大值时该双曲线的 离心率为
12、() A.迈B.V3 C. 2迈D.羊 解析：本题考查双曲线的概念和性质、函数的性质. 由题意易得AFi = BF L22 方2 , 则121 = 11+2=4-267；BF2 = BF +2a=+2ai则的周长4h 2 等于AF2 + AF, + BFyI + BF2 = +4a, 又由双曲线的性质易得PQ为初局 47)2 的中位线，所以+47 = 2X12,化简得b 2=6aa20, 所以00得0G0, b0）的右焦 点 为F,过点F作兀轴的垂线与双曲线交于B, C两点（点在兀轴上方）. 过点B 作 斜率为负数的渐近线的垂线，过点C作斜率为正数的渐近线的垂线，两垂线交于点 D若D到直线BC的距离小于虚轴长的2倍，则双曲线的离心率e的取 值范围是 （） A. 1 y3 C? IV*击D. ey/5 解析：本题考查双曲线的几何性质. 由题意知B（c,乌,双曲线渐近线方程1 2 为尸土糸，所以直线妙的斜率为务所以直线血的方程为y-牛无（x-c）,令 尹=0,得 由双曲线的对称性知 （c务，0）因为点D到直线BC的距离小于虚轴长 的2倍，所以弓 1,所以KeV5,故选C. 答案：C