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1、选修4? 5不等式选讲 第1课时 绝对值不等式 1.解不等式l2时，不等式化为x + l+x-22x. 解：原不等式等价于X 22x+42x . 解得解集为 0， 解得解集为x|xeR且xH2. ?原不等式的解集为x|xeR且xH2. 4.解不等式X 2 | x | 2f(x)恒成立，求实数t的取值范围 . 解：(1) f(x) = 11x| 12+x|W11x+2+x| =3, 当且仅当xW 2时等号成立，.I f(x)聞x=3. (2)由12t 11 (x)恒成立得2t 1 Mf(x)? ax, 即|2t 1|33, 2t 133 或2t 1W 3, 解得t22或tW l, ?实数t的取值
2、范围是 ( 一8, -1U2, +oo). 9.已知关于x的不等式|ax11 + | ax a| 1 (a0). (1)当a=l时，求此不等式的解集； (2)若此不等式的解集为R,求实数a的取值范围 . 解：(1)当a=l 时, 得2|x 11 1,即|x 1| 昜， 3 也,+8 (2) ax 1 | + | ax a| a 11, ?原不等式解集为R等价于|a-l|l. ? ? a2或aWO. ? ? a0, ? ? a$2. ?实数“的取值范围是2, +8) . 10.设函数f (x) = |2x + l | |x 2|. (1)求不等式f(x)2的解集 ; (2) VxER, f(x)
3、t 2-yt, 求实数t的取值范围 . kx + 3, x$2, 当x2, x2, xl, ? l2, x-l, ? x22. 综上所述，不等式f (x) 2的解集为x|xl或x*时，由f(x)=x 2W0 得xW2,所以*xW2. 综上，不等式f(x)W0的解集D=x|0WxW2 ? (2) y/3x +y/2 x = A/3/X +-2 x,由柯西不等式得 ( 羽&+寸2 x)M (3+1) x+ (2 x)=8, yl+y/2 xW2y,当且仅当x=时取“ = ” ,a 的取值范围是 ( 一 8, 第2课时 不等式证明的基本方法 1.已知xdl, yNl,求证:x 2y+xy2+lx2y
4、2+x + y. 证明：左边一右边 =(y y2)x2+ (y2l)x y+l = (1 y) yx2 (1 +y)x+ 1 = (1 y) (xy 1) (x1), *.* xMl, y$l, 1 yWO, xy IMO, x 120. 从而左边一右边WO, ?：xy + xy+l Wxy + x + y. 2.(2017 ?苏州期末 ) 已知a,b,x,y 都是正数，且a+b=l,求证：(ax + by) (bx + ay) Nxy. 证 明：因为a, b, x, y都是正数， 所以(ax + by) (bx + ay) = ab (x 2+y2) + xy (a2+b2) ab ? 2x
5、y+xy (a 2+b2) = (a+b)2x) 又a+b = l,所以(ax + by) (bx+ay) Mxy. 当且仅当x = y时等号成立 . 3.已知x, y, zER,且x + 2y+ 3z + 8 = 0.求证：(x l) 2+ (y + 2)2+ (z 3)214. 证明：因 为(x-1) 2+ (y+2)2+ (z-3)2 (l2+22+32) 2(x1) +2(y + 2) +3(z 3) r = (x+2y+3z-6) 2=142, 当且仅当即x = &0, y= 4时，収等号， 所以(x-l) 2+(y+2)2+(z-3)214. 4.已知函数f (x) = |2x 1
6、1 + |x+l |,函数g(x) =f (x) + |x+l | 的值域为M. (1)求不等式f(x)W3的解集； 3 (2)若teM,求证：t2+l-+3t. 厂一3x, xW 1. Y 1 x X 1 , (1)解：依题意，得f(x) = 9 2于是得f(x)W3= 或 一3xW3 3x, ” 1 l). 2 c I 3 t 33t2 +1 3 (t 3) (t 2+1) 原不等式等价于t 2-3t + l-= - - = - - ? TtGM, /? t 320, t+1 0. .(t 3) (t+1) . 23 NO. ? ? t +lMf+3t. b? c2 a? ? - 十+F+
7、b + c. /1 I 1 1 111 $3碍）3訓=9（当且仅当aaz时等号成立） , 所以-+-+- 邛? I ? 3 7.已知正数x, y, zWx+2y+3z=l,求古+；的最小值 . = 1+4+9+勺+主+尹+字+糾爭 x x zy zy 3z 3z 9 Q ? +-+- 的最小值为36. x y ” 8.已知x0, y0, z0 且xyz = l, 证明： *.* x0, y0, z0, ?I x 3 + yJ + z 33xyz. 同理x3+y 3+13xy, y+z+lN3yz, x3+z3+13xz. 将以上各式相加 , 得3x“ + 3y“+3z + 323xyz + 3
8、xy + 3yz + 3zx. *.* xyz = 1,?：x 3 + y3+z3xy + yz + 9.己知a, b, c均为正数，且a+2b+4c = 3. 求士y+尙+占的最小值，并指出取 得最小值时a, b, c的值. 解：J a + 2b + 4c = 3,?(a+l)+2(b+l)+4(c+1) = 10. *.* a, b, c为正数， ?由柯西不等式得(a+ 1) +2(b+l) +4(c + l) ? J + + ) + +(、+)$ (1+迈 + 2)1 当且仅当(a+l) 2 = 2(b + l)2=4(c + l)2 时，等式成立 . ? 1 | 1 | 1 J1+M
9、?a+1 十b+1 十c + L 10 2 (c +1)(c+1)+4 (c +1) = 10, 8-52 . 15/2-17 23-10/2 ? ?c=7 ,b= 7 ,a= 7 ? 10.已知a+b+c = l, a, b, c0.求证： (1)abc 专y； 1.2. ,3 J 4 . 十1 X y h7 -l 2y 3zJ 解:(x+2y+3z) 5- （2017 ?苏、锡、常、镇二模）己知a, b, c为正实数 , 9 c： b+2c, b 证明：T a, b, c为正实数a+2b, a k2c2a 2 将上面三个式子相加得a+b+c+2a+2b+2c, a b c 12 2 2 求
10、证：-?+a + b + c. a b c 2 8 c+52a, c 6.设內，a2,加均为正数，且a. + a2+a3=l,求证：丄 +丄+丄29. 31 32 33 证明: 因为az,负均为正数，且aZ+aE,所以右 +右 =（&+十3）住+右+右 1,1,1 ai a2 a:J 31 32 33 x 2y + 2 j x 3z 当且仅 当x = y = z=时等号成立 , 12z 18y 2y 3z =%， 求证：x“+y“+z“$xy + yz + zx ? zx. 3Z 9x 卜 2 (2)a 2+b24-c2yjabc. 证明：a+b+c23 ?引abc,而a+b + c = In
11、abcW右，当且仅当a=b = c=#时取等 号. (2)由柯两不等式得a 2+b2+c2|(a+b + c)2=-, 由( 1)知守赢 W*, +b，+ c空引abc,当且仅当a = b = c=“时取等号 . 11.已知惭数f (x) =p3x+6, g(x) =yjlA_x.若存在实数x使f (x) +g(x) a成立，求实数a的 取值范围 . 解：存在实数X使f (x) +g(x) a成立， 等价于f (x) +g(x)的最大值大于a. ?/ f(x) +g(x) =y/3x + 6 + 寸14_x =y/3Xy/x + 2+ 1 Xy/14xf 由柯西不等式得，(3X7+2+l X y/14-x)(3 +1)? ( x + 2+14 x) =64, f (x) +g(x) =#3x + 6+#14 xW8,当且仅当x = 10 时取等号 . 故实数Q的取值范围是 ( 一8, 8).