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1、 4.5解三角形 考纲解读 考点内容解读要求高考示例常考题型预测热度 1 ?正弦定理 和余弦定理 掌握正弦定理、余弦定理，并能 解决一些简单的三角形度昴问题 掌握 2017 山东,9;2017 浙江,14; 2017 天津，15;2017 北京，15; 2016课标 全国II ,13; 2016 天津,3;2015 天津，13 题 填空题 2 ?正、余弦 定理的应用 能够运用正弦定理、余弦定理等 知识和方法解决一些与测昴和几 何计算有关的实际问题 掌握 2017课标全国II ,17; 2017课标全国皿，17;2017江苏,18; 2016课标全国皿，8; 2016 山东,16;2016 浙江
2、，16; 2015 湖北,13 解答题 分析解读1. 利用正弦定理、余弦定理解三角形或者求解平面几何图形中有关量的问题. 需要综合应用两个定理及三角形有关知 识.2 ?正弦定理和余弦定理的应用比较广泛. 也比较灵活 . 在高考中常与面积或取值范围结合进行考查? 3.会利用数学建模思 想. 结 合三角形的知识 . 解决生产实践中的相关问题? 五年高考 考点一正弦定理和余弦定理 1. (2017山东,9,5分)ffiAABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c.若AABC为说角三角形，且满足sin B(l+2cos C)=2sin Acos C+cos Asin C,则下列等式成立的是 () A
3、.a=2b B.b=2a C.A=2B D.B=2A 答案A 2. (2016天津,3,5 分) 在ABC 中，若AB=,BC=3, ZC= 120,则AO( ) A.l B.2 C.3 D.4 答案A 3. (2017浙江,14,5分)已知 ABC, AB=AC二4, BC二2 . 点D为AB延长线上一点 ,BD=2，连接CD,则BDC的面积 是_ , cos ZBDC二 _ . 答 4. (2016课标全国11,13,5分)/XABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cos A二,cos C二，狂1,则b二 _ . 答案 5. (2017 天津,15,13 分)在AABC 中，内角
4、A,B,C所对的边分别为ab,a=5,c=6,sin B=. (1)求b和sin A的值； 求sin的值. 解析(1)在AABC中，因为所以由s】n ，可得cos班. 由已知及余弦定理，有by+c2accos B=13,所以b=. 由正弦定理二，得sin A=. 所以,b的值为 ,sin A的值为 . (2)由及ab J!|ZB= （） A. B. C. D. 答案A 8.（2013 天津,6,5分）在厶叔中，ZABC二,AB=,BC二3,则sinZBAC=（） A. B. C. D. 答案C 9.（2013湖南,3,5分）在锐角AABC中，角A,B所对的边长分别为a,b.若2dsin B=b
5、,则角A等于（） A. B. C. D. 答案D 10. （2015天津,13,5分）在AABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知AABC的面积为3,b-c=2,cos A,则a的值 为 _ ? 答案8 11. _ （2015 重庆3,5 分）在AABC 中,B=120 ,AB=,A 的角平分线AD=,则AC= _ . 答案 12. （2015广东,11,5分）设AABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若*,sin B=,C=,则b二_ . 答案1 13. （2015福建，12,4分）若锐角AABC的面积为10,且AB=5,AC=8,则BC等于 _ . 答案7 14. （
6、2014广东,12,5分）在AABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知bcos C+ccos B=2b,则二 _ . 答案2 15. （2014天津,12,5分）在AABC中，内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.已知b? m,2sin B=3sin C,则cos A的值为 _ 答案- 16. （2014 福建，12,4 分）在AABC 中,A=60 ,AC=4,BC=2,则AABC 的面积等于 _ . 答案2 17. （2013安徽,12,5分）设AABC的内角A,B,C所对边的长分别为a,b,c.若b+c二2a,3sin A=5sin B,则角O _ . 答案兀 18. （2
7、013 浙江,16,4 分）在AABC 中，ZC=90“,M 是BC 的中点?若sinZBA归，则sinZBAO _ ? 答案 19. （2014辽宁,17,12分）在AABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且ac. 已知? =2,cos B=,b=3. 求： （1）a和c的值； （2）cos（B-C）的值. 解析（1）由?二2得c ? acos B=2, 又cos B=，所以ac=6. 由余弦?S,Wa 2+c=b2+2accos B. 又b二3,所以a 2+c =9+2x2= 13. 解得a=2, c 二3 或a 二3, c=2. 因ac,所以a=3 ,c=2. （2）ffiAA
8、BC 中，sin B=, 由正弦定理，得sin C=sin B=x=. 因a=bc,所以C为锐角， 因此cos C=. 于是cos（B? C）二cos Bcos C+sin Bsin C =x+x=. 20.（2013111东，17,12 分）设AABC 的内角A,B,C所对的边分别为a,b心且a+c二6,b=2,cos (1)求4工的值； (2)求sin(A-B)的值. 解析(1)由余弦定理b 2=a2+c2-2accos B 得b=(a+c)-2ac( 1+cos B), 又b=2,a+c=6,cos 3=,所以de二9,解得a二3,c二3. (2)在点中，sin B=, 由正弦定理得s
9、i n A=. 因为妇c,所以A为锐角，所以cos A=. 因此sin(A-B)=sin Ac os B-cos Asin B=. 21.(2013 重庆,20,12 分)在 ABC 中，内角A, B, C 的对边分别是a, b, c,且a 2+b2+ab=c2. (1)求C; (2)设cos Acos B=，二, 求tnn a的值. 解析(1)因为a 2+b2 +ab=c 2, 由余弦定理有cos C=-, 故C二. (2)由题意得 =, 因此(tan asin A-cos A)( tan asin B-cos B)=, tan 2a sin Asin B-tan a (sin Acos B
10、fcos Asin B)+cos Acos B= t tan 2cr sin Asin B-tan a sin(A+B)+cos Acos B= ? 因为C二,A+B二，所以sin(A+B)二， 因为cos(A+B)二cos Acos B-sin Asin B,BP-sin Asin B=，解得sin Asin B=-=. 由得taa? 5tan a +4=0, 解得tan 。二1 或tan a二4. 考点二正、余弦定理的应用 1. (2016课标全国111,8,5分)在8玩中,B=,BC边上的高等于BC,则cos A=( ) A. B. C.- D.- 答案C 2. (2017课标全国11,
11、17,12分)AABC的内角A,B,C的对边分别为sin(A+C)=8sin 2 . (1)求cos B; (2)若a+c=6,AABC的面积为2,求b. 解析本题考查了三角公式的运用和余弦定理的应用. (1)由题设及A+班C二兀得sin B=8si, 故sin B=4(l-cos B). 上式两边平方，整理得17cosB ? 32cos B+15二0, 解得cos B=l(舍去),cos B=. (2)由cos B=W s in B=，故S人収=acsin B=ac. 又Sgbc=2,则ac=. 由余弦定理及a+c=6 得bJT+c-2accos B=(a+c) 2-2ac(1+cos B)
12、=36-2xx=4. 所以b二2. 3. (2016浙江,16,14分) 在AABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知b+c二2acos B. (1)?B:A=2B; (2)若ZXABC的面积S=，求角A的大小 . 解析(1)由正弦定理得sin B+sin C二2sin Acos B, 故2sin Acos B=sin Bi-sin(A+B)=sin B+sin Acos B+cos Asin B, 于是sin B=sin(A-B). 又A,BW(0,;r),故08 B.ab(a+b)16 C.6W “bcW12 D.12WabcW24 答案A 7. (2015湖北,13,5分)
13、 如图, 一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶, 到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30的方向上 , 行驶600 m后到达B处, 测得此山顶在西偏北75的方向上，仰角为30,则此山的高度CD= _ m . 答案100 8. _ (2013福 建,13,4分)如图，在AABC中，已知点D在BC边上,AD丄AC,sinZBAC二,AB=3,A13,则BD的长为 _ 答案 9. (2017江苏,18,16分) 如图, 水平放置的正四棱柱形玻璃容器I和正四棱台形玻璃容器II的高均为32 cm,容器I的底面对角线 AC的长为10 cm,容器II的两底面对角线EG,EG的长分别为14 cm和62 cm.
14、分别在容器I和容器II中注入水，水深均为12 cm.现 有一根玻璃棒1,其长度为40 cm.(容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计) 将1放在容器I中J的一端置于点A处，另一端置于侧棱X上，求1没入水中部分的长度 ; (2)将1放在容器U中J的一端置于点E处，另一端置于侧棱GG上，求1没入水中部分的长度? D 、 容器 U :d 1 1 / / / ? / 心 容器1 解析（1）由正棱柱的定义 ,CC1丄平面ABCD,所以平面Al ACCil平面ABCD, CG丄AC. 记玻璃棒的另一端落 在CO上点M处. 因为AC=10,AM=40, 所以MC=30,从而s 1 n ZMAC二. 记AM与水面的交
15、点为R,过R作PQ丄AC,Q ）为垂足， 则PQ丄平面ABCD，故RQB 12,从而APi=16. 答: 玻璃棒1没入水中部分的长度为16 cm. （如果将“没入水中部分”理解为“水面以上部分”，则结果为24 cm） （2）如图是正棱台的两底面中心. ”、K / Z 7 E0 ;0 由正棱台的定义 ,00】丄平面EFGH,所以平面EiEGGi丄平面EFGH Q0丄EG ? 同理，平面EiEGGi丄平面BF.GiHi ,0QEG ? 记玻璃棒的另一端落在GG上点N处. 过G作GK丄EG ,K为垂足，则GK=OO.=32. 因为EG二14,EGi=62,所以KGi=24,从而GGi=40. ?ZE
16、GGi=cz,ZENG=/3, 则sin cz=sin=cosZKGGi=. 因为0,所以c二3. 故 ABC的面积为besin A=. 解法二 : 由正弦定理 , 得二， 从而sin B=, 又由ab,知AB,所以cos B=. 故sin C=sin(A+B)=sin =sin Bcos+cos Bsin=. 所以AABC的面积为absin C=. 14. (2015 江苏,15,14 分)在ABC 中，已知AB=2,AC=3,A=60 . (1)求BC的长; (2)求sin 2C的值. 解析(1)由余弦定理知，BCW屈+AC-2AB ? AC ? cos A=4+9-2x2x3x=7, 所
17、以BC二. (2)由正弦定理知，二， 所以sin C= ? sin A=. 因为ABBC,所以C为锐角，则cos C=. 因此sin 2C=2sin C ? cos C=2xx=. 15. （2014安徽,16,12分）设ABC的内角A,B,C所对边的长分别是a,b,c,且b=3,c=l ,A=2B. （1）求a的值； 求sin的值. 解析（1）因为心28,所以$ in A二sin 2B=2sin Bcos B. 由正、余弦定理得a=2b ?. 因为b=3,c=l，所以a 2=12,a=2. （2）由余弦定理得cos A=-. 由于0X7i, 所以sin A=. 故sin二sin Acos+c
18、os Asin=x+x=. 16. （2014陕西,16,12分）ZXABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c. （1）若3,1 ）工成等差数列 , 证明:sin A+sin C=2sin（A+C ）; 若a,b,c成等比数歹 !J,求cos B的最小值 . 解析（1）证明:*.*a,b,c成等差数歹 !J, / .a+c=2b. 由正弦定理得sin A+sin C=2sin B. *.*sin B=sin u - （A+C ）=sin （A+C ）, /.sin A+sin C=2sin（A+C ）. （2）Td,b,c 成等比数列， 由余弦定理得 cos B=, 当且仅当a=c时等号
19、成立 ?.cos B的最小值为? 三年模拟 考点一正弦定理和余弦定理 1. （2018广东百校联盟联考,6 ）在ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,若sin A=3sin B,c二，且cos C=,H!l a=（ A.2 B.3 C.3 D.4 答案B 2. （2017安徽合肥一模 ,6）830的内角A,B,C的对边分别为d,b,c,若cos C=,bcos A+acos 3=2,则厶ABC的外接圆面积为（） A.4;r B.8;r C.9;r D.367T 答案C 3. （人教A必5, ,1 ? 1B,2,变式）在厶ABC中，已知*2,则bcos C+ccos B等于（ ） A.l
20、 B. C.2 D.4 答案C 4. （2018广东茂名二模，14）已知;a, b, c分别是 ABC内角A, B, C的对边 ,a=4 ,b=5, c=6,则二. 答案1 5 ? （ 2017江西抚州7校联考 ,15）在厶叔 中,D为线段BC上一点（不能与端点重合），ZACB=,AB=,AC二3 ,BD=1，则AD= . 答案 考点二正、余弦定理的应用 6. （2018福建德化一中、永安一中、漳平一中三校联考,8 ）在AABC中、角A,B,C的对边分别为d,b,c,若二,A二,b=l,则AABC的面 A组20162018年模拟 ?基础题组 != 积 为（） A. B. C. D. 答案B 7
21、. （2018四川泸州一诊 ,7）如图,CD是山的高，一辆汽车在一条水平的公路上从正东方向往正西方向行驶, 在点A处时测得点D的 仰 角为30 ?,行驶300 m后到达B处, 此时测得点C在点B的正北方向上且测得点D的仰角为45 ,则此山的高CD= （） A.150 m B.75 m C.150 m D.300 m 答案C 8. （2016福建厦门一中期中,5 ）如图,D,C,B在地平面同一直线上 ,DC二10 m,从D,C两地测得A点的仰角分别为30和45,则A点 离 地面的高AB等于（） A.10 m B.5 m C.5（-l ）m D.5（+l ）m 答案D 9. _ （2017 河南天
22、一大联考（） ,14 ）在厶ABC中，边AB的垂直平分线交边AC于D,若C=,BC=8,BD=7,则 ABC的面积为 _ . 答案20或24 B组20162018年模拟 ?提升题组 （满分:40分时间:30分钟） 一、选择题（每小题5分，共15分） 1. （2017安徽江南十校3月联考,9 ）?AABC的面积为SI,它的夕卜接圆面积为S2,若ZXABC的三个内角大小满足A ： B ： 03 ： 4 ： 5,则 的值为（） A. B. C. D. 答案D 2. （2017湖北武昌一模，12）在锐角AABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c.若a=2bsin C,则tan A+tan B+ta
23、n C的最小值是（） A.4 B.3 C.8 D.6 答案C 3. （2016河南开封四模,9 ）?AABC中，角A、B、C所对边的长分别为d、b、c,设AD为BC边上的高，且AD=a,则+的最大值是（ ） A.2 B. C. D.4 答案B 二 填空题（每小题5分，共15分 4. （2018吉林长春一模,15 ）在厶ABC中、三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cos A二sin Acos C,且a=2,AABC面积的最大值 为 _ ? 答案3 5. （2018河北邯郸临漳一中月考，16）我国南宋著名数学家秦九韶发现了由三角形三边长求三角形面积的“三斜求积”公式，设 ABC三个内角A
24、、B、C所对的边分别为a、b、s 面积为S,则“三斜求积”公式为S= ?若a 2sin C=4sin A, （a+c） 2=12+bJI!l 用 “三斜求积”公式求得 ABC的面积为 _ . 答案 6. （2017山西四校第一次联考 ,15）已知ABC是斜三角形，角A,B,C所对的边分另U为a,b,c,若csin A二acos C,c二，且sin C+sin（B-A）=5sin 2A,则厶点的面积为_ . 答案 三、解答题（共10分） 7. （2018湖北荆州一模 ,17）设AABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,b=. （1）若C=, ABC的面积为 , 求c的值； 若B=，求2c?
25、 *的取值范围 . 解析（1）由三角形的画只公式 . 得absin C=. 因为C=,b=,所以a=2. 所以c=. （2）由正弦定理 , 得二=2, 故a二2sin A,c二2sin C. 因为B=，所以a=2sin=cos C+sin C. 于是2c-a=3sin C-cos C=2sin? 因为CE, 所以c-已 所以sinW , 故2c? a的取值范围为（-,2 ）. C组20162018年模拟 ?方法题组 方法1解三角形的常见题型及求解方法 1. （2017广东海珠调硏,6 ）在厶叔中，内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若c=2a,bsin B-asin A=asin C,则si
26、n B= （） A. B. C. D. 答案A 2. （2018湖南永州二模 ,15jffiAABC中. 角A,B,C所对的边分别为a,b,c, 若sin A=2sin B,且a+b=c,则角C的大小为 _ . 答案 3. （2017河北石家庄二中3月模拟 ,16）已知在AABC中，角C为直角,D是边BC上一点 ,M是AD上一点，且 CD=1, ZDB归ZDMB=ZCAB,则MA= _ . 答案2 方法2利用正、余弦定理判断三角形的形状 4. （2018江西南城一中期中,6 ）在AABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若二, 则这个三角形必含有（） A.90的内角B.60的内角 C.
27、45的内角D.30的内角 答案B 5. （2016河南郑州质检,5 ）在AABC 中，若sin C （cos A+cos B ）二sin A+sin B,则ZSABC 的形状是（） A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形或直角三角形 D.等腰直角三角形 答案B 6. （2017宁夏育才中学月考,14 ）ffiAABC中，若二，则AABC的形状一定是 _ . 答案 等腰三角形或直角三角形 方法3正、余弦定理的实际应用策略 7. （2018福建莆田月考,8 ）A在塔底D的正西面，在A处测得塔顶C的仰角为45B在塔底D的南偏东60处, 在塔顶C处测得B 的 俯角为30” ,AB间距84米，则
28、塔高为（） A.24米B.12 米 C.12 米D.36米 答案C 8. （2017山西康杰中学月考,10 ）海上有三个小岛A,B,C,测得ZBAC=135 ,AB=6 km,AC=3 km,若在连接B,C两岛的线段上建一座灯 塔D，使得灯塔D到A, B两岛距离相等，则B, D间的距离为（） A.3 km B. km C. km D.3 km 答案B 9. （2016河北邢台三模 ,17）如图, 在海岛A上有一座海拔1干米的山 , 山顶设有一个观察站P,上午11时，测得一轮船在岛北偏 东30“,俯角为30 的B处倒11时10分又测得该船在岛北偏西60 ,俯角为60的C处. （1）求船的航 又经过一段时间后，船到达海岛的正西方向的D处, 问此时船距岛A有多远？ 解析(1)在RtAPAB 中，ZAPB=60 ,PA二 在RtAPAC 中，ZAPC二30, .AC=. 在AACB 中，ZCAB=3(r+6(T=90 , j,BC=. 则船的航行速度为工2(千米/ 时). (2)在 ACD 中，ZDAC二90?- 60 “ =30 , s i n ZDCA=s i n( 180“? ZACB)=s i n ZACB=, sinZCDA二sin(ACB?30“) 二sinZACB ? cos 30“? cosZACB ?sin 30 由正弦定理得二 . /.AD=. 故此时船距岛A干米.