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1、6.2二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题 E 课后作业孕谀 基础送分提速狂刷练 一、选择题 1.（2018 ?唐山模拟）己知点（一3, 1）和点（4, 6）在直线3x2ya= 0的两侧 , 则 &的取值范围为（） A.（-24, 7） B.（-7,24） C.（一 8, -7） U （24, +切 D.（一 8, -24） U （7, +8） 答案B 解析 根据题意知（一9 + 2日） ? （12+12 a） 0, 2.设关于无，y的不等式组h+/X0, 丿一仍0 足xo2yo=2,则/ 的取值范围是（） 答案C /2x-y+1=0 尸g-1 ? - ? ? 2 x . y -m x-m
2、 解析 图屮阴影部分表示可行域， 要求可行域内包含尸苏一1上的点，只需要可行域的边界点（一规刃）在y=Y 1下方, 表示的平面区域内存在点戶（m必），满 -I/O 1 2 也就是K /77 1,即K -故选C. 2x 3.（2017 ?山东日照一模）已知变量x, y满足卜2y+3$0, 、x$0, 则2=则小的最大值为（） A./2 B. 22 C. 2 D. 4 答案D 解析作出满足不等式组的平面区域，如图所示，令m=2x+ y,则当刃取得最大值时，z=（电） “取得最大值 . 由图知直线m=2x+ y经过点J（l, 2）时，刃取得最大值，所以乳=（A/2 ） 2X1+2 =4, 故选D.
3、3x+ 720, 4.已知实数 / y满足条件”+3y 13W0, 贝】J x y W0, z=|2x3y+4|的最大值为（） A. 3 B. 5 C. 6 D. 8 答案C 解析不等式组 3x+y720, r+3y13W0, 表示的平面区域如图中阴影部分所示，其屮水2, 1), 2(1, 4).设 y1W0 2 丫=2丸一3y,平移直线尸 =尹，则直线经过点时，Z = 2%-3y取得最小值一10,直线经过点 M时，t=2x-2y取得最大值1,所以一6W/+4W5,所以0WzW6?所以z的最大值为6,故 选C. /+y$l, 5.(2018 ?石家庄质检) 若乙y满足仙一応0, 且z=xy的最
4、大值为2, 一2y+2M0, 则实数刃的值为 () 1 2 人込 B-3 C. 1 D. 2 答案D 解析 若z=3-y的最大值为2,则此时目标函数为尸3x2,直线y=3-2与弘一2y+2 = 0和 分别交于J(2, 4),石，f)，加一尸0经过其中一点，所以 / =2或m =*, 当加=右时，经检验不 符合题意，故刃=2,选D. x+ y220, 6.若变量y满足约束条件 x2y+6$0, 衣2, A. 4 C. 17 答案C 则2=( -o 2+y 的最大值为 ( B-V17 D. 16 解析z= (-1) 2+/ 表示点匕，y)与点P(1,O)间距离的平方 . 画出约束条件所表示的平面区
5、域如图 中阴影部分所示，易知户(1,0)与水2,4)间的距离最大，因此 .= (2-1)2+42 = 17.故选C. 卄2_拓2, 7.(2017 ?邢台模拟) 当 满足不等式组”一40, 时，2Wkx_yW2恒成 乂一7応2 立，则实数斤的取值范围是() A. 1,1B. 2, 0 “1 3 1 1 C. 一5 5. D. 答案D 解析 作出不等式组表示的平面区域，如图屮阴影部分所示，设z= kx y,由 x+2y=2,x=2, 得 y4 = “丿=2, Y+2K=2, x=2,f y4 = x, 即0( 2,2), 由c 得即C(2,0),由 ?c 得 x-7y=2,尸0,x 7y=2 9
6、 即水一5 , - 1),要使不等式一2W滋- 恒成立，则 加一尸一2$0, 解析如图所示，不等式组px+y8W0, ”2y 120 2x-y-2=O 的斜率最大，此时 Z=+y最大，故Zmax=| ；倂 的斜率最小， Zin= 故2=-y的最大值 所表示的平面区域为图中的阴影部分, y(3x+y8 = 0, 易知“丰表示平面区域内的点与定点、P(T, )连线的斜率 . 由h_y_2“ 对得 x=2, 尸2, 3卄尸一8 = 0, 故他刃，由 l+z-AO, ￥ =3 可得 故从3, -1),数形结合知 Lr=_l ， 2 W 2k2W2, 2W2&W2, 2W5S+1W2, 1WWW1 ，
7、1 Q 二, 5 厶一y220, 8.(2018?南昌十校一模)已知不等式组 3x+y8W0, x+2y 1 0, 则？=缶的最大值与最小值的比值为() A. -2 B. C. D. 答案C 所以一 gwkWO,故选D. 0 o 与最小值的比值为一丁故选C. 9.（2017 ?江西模拟） 某农户计划种植黄瓜和韭菜， 种植面积不超过50亩，投入资金不 超 过54万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表： 年产量 / 亩年种植成本 / 亩每吨售价 黄瓜4吨1? 2万元0. 55万元 韭菜6吨0. 9万元0. 3万元 为使一年的种植总利润（总利润=总销售收入一总种植成本）最大，那么黄瓜和韭菜
8、的种植 面积（单位：亩）分别为（） A. 50,0 B. 30, 20 C. 20, 30 D. 0, 50 答案B 设种植黄瓜x亩，种植非菜y亩，因此，原问题转化为在条件 S+ y50, 1.2卄0. ”54, 、- 心0 求z=0. 55X4/+0. 3X6y 1. 2x0. 9y=%+0. 9p的最大值 . 画ill可行域如图 . 利用线 解析 x+y=50, 性规划知识可知，当”取g+0.9尸54 的交点（30, 20）时，刁取得最大值 . 故选 B. 10. （2018 ?石家庄质检）在平面直角坐标系中，不等式组yWO, 2 I 22 1% 十y WT （厂为常数）表 示的平面区域的
9、面积为若y y满足上述约束条件，则 x+y+1 x+3 的最小值为（ 解析 作出不等式组表示的平而区域，如图中阴影部分所示，由题意，知扌兀斥=兀，解得厂 = 表示可行域内的点与点A-3, 2）连线的斜率加上1,由图知当可行 域内的点与点P的连线与圆相切吋斜率最小. 设切线方程为y2 =斤匕+3）,即滋一y+3 I Q - 9 I 1 9 1 9 7 + 2 = 0,则有厶+ =2,解得 =彳或 &=0（舍去），所以知n=l才=丁，故选D. 二、填空题 卄y7W0, 11.（2018 ?银川质检）设x, y满足约束条件x3y+lW0, y50, 则z=2xy的最大值为 答案8 A. -1 5边+
10、 7 答案 解析画出不等式组 卄y7W0, “ x3y+lW0, 表示的可行域，如图中阴影部分所示，将存2xy化为尸2*刁, 3xy50 一？是直线尸2/Z的纵截距，由 ?的坐标为（5,2）,则y=2xz过点（5,2）时,z=2xy有最大值10-2=8. 2xy+2N0, 12.（2018 ?广州模拟）已知池y满足约朿条件 / 一2y2W0, ,x+ y 2W0, 若z=x妙（白0）的最大值为4,则a=_ . 答案3 x+y7 = 0, %-3y+l=0 解析 作岀不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，则水2,0）, （一2, -2）.显 然直线Z=x日F过/ 时不能取得最人值4,若直线%
11、 ay过点时取得最人值4,则一2 + 2=4,解 得臼=3,此时，目标函数为z=x-3y,作出直线%-3y=0,平移该直线，当直线经过点时，截距最小， 此时，2的最大值为4,满足条件 . f y 120, 13.（2017 ?山西五校3月联考）不等式组ry+230, 表示的平面区域为Q,直 &+4y-8W0 线x=ala 1）将平而区域。分成而积Z比为1 ：4的两部分，则目标函数的最大值为? 答案9 解析 如图，平面区域參为及其内部，作直线=a（lx f则 、yV2x+l, 寻学的取值范围为 答案（电， 1 y2x-y+1=0 9 / x-)=0 P(“ 9 4(1) ? ? ? ；/ / ?
12、 :7 / / 汨 “ / ? / 0 V 其中 ( 一1, -D, c( o, 1). ? . ?励?赫 x+y, 7)P =y7+? f . _OAOP_ x+y ， cos | 乔迈2 由图可知Z/10CW OCSOB, 即45 W &V180 , .2%-v+l=0 c. 9 Pg)* 用一 ) 二() /Hi 解法二：作出不等式组 1), c(o, 1), ()= ZPOx,则 ro =COS 0, 7= sin 0. 0 G yx 解析解法一：作出不等式组s y x, 、yx. V2卄1 表示的平面区域 , 如图中阴影部分所示 , 其中 ( 一 1, 设P(x, y丫才十y j=c
13、os +sin 0 =A/2sin - yx + y ?$ yx+y ( 迈，1 ? 三. 解答题 15.某客运公司用4 两种型号的车辆承担甲，乙两地间的长途客运业务，每车每天往返一 次.A,两种车辆的载客量分别为36人和60人，从甲地去乙地的营运成本分别为1600 元/ 辆和 2400元/ 辆，公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队，并要求型车不多于型车7辆. 若每 天运送人数不少于900,且使公司从甲地去乙地的营运成本最小，那么应配备/ 型车、型车各多 少辆？ 解 设昇型、型车辆分别为X、y辆，相应营运成本为z元，则2=1600*+2400/由题 、+yW21, * X, yGN. 作可行
14、域如图所示，可行域的三个顶点坐标分别为 P(5,0(7,14), Ml5, 6) ? 由图可知当直线1600+2400/经过可行域的点戶时，直线1600+2400/在y轴 上的截距命最 小，即Z取得最小值? 故应配备外型车5辆、型车12辆，可以满足公司从甲地去乙地的营运成本最小. 16.某化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，需要力，B, C三种主要原料 . 生产1车皮甲种肥料 和生产1车皮乙种肥料所需三种原料的吨数如下表所示： 料 肥料、 ABC 意，得 / y满足约束条件S yx+1, 36%+60y900, 甲4 8 3 乙55 10 现有昇种原料200吨, 种原料360吨,C种原料300吨，在
15、此基础上生产甲、乙两种肥料. 已知生产1车皮甲种肥料，产生的利润为2万元；生产1车皮乙种肥料，产生的利润为3万元. 分别用x, y表示计划生产甲、乙两种肥料的车皮数. (1)用尢y列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域； (2)问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？并求出此最大利润. 解( 1)由己知，胳y满足的数学关系式为 4x4-5/200, 8 卄5yW360, 3x+10jW300, 才NO, 该二元一次不等式组所表示的平面区域为图1中的阴影部分： (2)设利润为2万元，则目标函数为？=2x+3y. 9 y 9 考虑z=2x+3y t 将它变形为尸一这是斜率为一，随z变化的一族平行直线 , 彳为直线在F轴 上的截距，当彳取最大值时，z的值最大 . 又因为乩y满足约束条件，所以由图2可知，当直线？ =2卄3y经过可行域上的点时，截距彳最大，即z最大. 解方程组广 +”叽 3x+10y=300, 得点“的坐标为(20, 24).所以益=2X20 + 3X24 = 112. 答：生产甲种肥料20车皮、乙种肥料24车皮时利润最大，且最大利润为112万元