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1、第七章推理与证明 第1课时合情推理与演绎推理 一、填空题 1.某种树的分枝生长规律如图所示，第1年到第5年的分枝数分别为1, 1, 2, 3, 5, 则预计第10年树的分枝数为_ - 亠丄乂L 第1年第2年第3年第4年第5年 答案：55 解析：因为2=1 + 1, 3 = 2+1, 5 = 3 + 2,即从第三项起每一项都等于前两项的和，所以第 10年树的分枝数为21+34 = 55. 2.我们把1, 4, 9, 16, 25,这些数称为正方形数，则第n个正方形数是 _ . 答案：n2 解析： *.* 1 = 12, 4=22, 9=32, 16=42, 25=52, ?由此可推得第n个正方形
2、数是 3.观察( X 2) =2x, ( X4) =4x (cos x) = sin x,由归纳推理得：若定义在R 上的函数f(x)满足f (x) =f (x),记g(x)为f(x)的导函数，则g( x) = _ . 答案：一g (x) 解析：由已知得偶函数的导函数为奇函数，故g(-x)=-g(x). 4.如图是网格工作者经常用来解释网络运作的蛇形模型：数字1出现在第1行；数字 2,3出现在第2行，数字6, 5, 4(从左至右 ) 出现在笫3行；数字7, 8, 9, 10出现在第4行， 依此类推，则第20行从左到右第4个数字为 _ . 答案：194 解析：前19行共有酥(+19)=190(个)
3、数字=第 19行最左端的数为190=第20 行从左到右第4个数字为194. sin a +sin B a + B cos a +cos B tan 2 解析：等式屮左端三角函数式中两角之和的一半的正切值恰好等于右端的数值，故sin a +sin B a + B cos a +cos B t ari 2 ? 6.己知命题：在平面直角坐标系xOy中，ZABC的顶点A( p, 0)和C(p, 0),顶点B 在椭 圆話+*=1册0, p=从而增加的两项为(2k+l) (2k + 2)，减少的一项为k (9L4- 1 )(少k + 2) + 1.故左边应增乘的因式 .-=2 (2k +1). 2.用数学
4、归纳法证明不等式占+士+?+士 W 的过程中，由n=k推导n = k + 1时，不等式的左边增加的式子是 1 _ (2k+l) (2k+2) ? 3.若f(n) = l 2 + 22 + 32 +-+ (2n)2,贝 U f(k+ 1)与f(k)的递推关系式是 答案:f(k+1) =f(k) + (2k + l) 2+ (2k+2)2 4.设f(n)=l+*+#+* - 窃；(nN*),则f(k+1) f(k)= _ . 答案:3k + 3k + l +3k + 2 解析：f (k+1) -f (k) =1+-+-+-H 3( k+i) _1_(1+空+玄3k-J= 丄+丄+丄 3k 3k +
5、 l 3k + 2* 5.在平面上画n条直线，且任何两条直线都相交，任何三条直线都不共点. 设这n条 直线将平面分成f(x)个部分，则f (k+l) f(k)= _ . 答案：k+1 解析：一条直线分成1 + 1=2(个) 部分，两条直线分成1 + 1 + 2=4(个) 部分，三条直线分 成1 + 1+2 + 3 = 7(个) 部分,f(n)=l + l+2+3+4+ ?+n,则f(k+1) f(k) = 1 + 1 +2+3+4+ ? ? +k+(k+l) ( l + l+2+3+4+ ?+k)=k+l ? 4 I 2 6.用数学归纳法证明1+2 + 3 +?+代=七丄时，当n=k+1时左端
6、应在n = k的基础 上加上 _ . Tn = 4 (l-4 n) 1-4 4 亍一1), 答案: 1 (2k+l) (2k + 2) 解析：不等式的左边增加的式子是詁T 11 _ 1 2k + 2 _k+l= (2k+l) (2k + 2) 故应填 答案：(k 2+l) + (k2+2) + (F+3) +? ?+ (k+lF 解析： ?当n = k时，左侧 =l+2 + 3 + ? + F,当门=1-(neN*)成立，其初始值至少应取 答案：8 记cn=2(l-a1) ? (1-aJ ( l-an), 试通过计算Cl，C2, C3的值，推测Cu = _ ? 答案. 吐 口禾?卄 二、解答题
7、 11.己知数列a“ 满足当推证 n = k+l等式也成立时，用上归纳假设后需要证明的等式是_ ? k (k + 1) 2 (2k+l) (k+1) (k + 2) (2k + l) (2k + 3) 2 (2k + 3) 2 22k? 当n = k+l 时1X3 + 3X5 + + (2k-l) (2k+l) + (2k+l) (2k + 3) (k+1) $ 口中k (k+1) ( k+1) 2 2 (2k + l)十(2k + l) (2k + 3)故八血训刀2 (2k+l)十(2k + l) (2k + 3) (k+1) (k+2) “ 2 (2k + 3)即可. 答案: 解析: k
8、(k+1) (k+1) (k+1) 2 10?若数列(an)的通项公式an = 2(1ai) (1a? 2) ? (1 由得，当nWN*时等式都成立 . 12.- 是否存在常数a, b, c, 使等式1? (n 2l2)+2(n222) - n(n2n2) =an4+bn2 + c对一切正整数n成立？证明你的结论 . a + b+c = 0, 解: 分别用n=l, 2, 3代入解方稈组16a + 4b + c = 3, 81a + 9b + c=18 C 1 a=T, 下面用数学归纳法证明 . 当n = l时，由上可知等式成立； 假设当n = k时，等式成立，则当n = k+l时，左边=1?
9、(k+l) 1J +2(k+l) -2 2+- + k(k+l) 2-k2 + (k+l) (k + 1)2-(k+1)2 = 1 ? (k2-l2)+2(k2-22)+- + k(k2-k2) +1 ? ( 2k + l) +2(2k + l) + + k(2k+l) =* + + ? + k (2k+1) =(k+1)(k+1) 2,?；当门 =1(n-2)2 n+2n2. (1)解：取x = l,则=2“；取x = 2,则ao+ai + a2+a3H - an=3n, .I S,=ai + a2 +a3+ + an=3“ 2“. (2)证明：要证Sn(n2)2“ + 2rf,只需证3 n
10、(n1)2“+ 2n2, 当n=4 时,8180；假设当n=k(kM4)时, 结论成立，即3k(k-l)2 k +2k 2, 两边同乘以3 得：3k+13(k-l)2 k+2k2=k ? 2 屮+ 2(k+lT+(k 3)2“+41?410, ? 3k+1 (k+1) -12 k+l +2(k+1) 2,即 n = k+1 时结论也成立， ?当n$4时，3n(n-l)2 n+2n2 成立. 综上，原不等式成立 . 假设n=k时等式成立，即ak=Y， 贝| 当口 = 1+1 时，+1= =- 宀2 1_k+l k = k+2 k+T k+1 (k+1) +1 所以当n = k + l时等式也成立 . ( 一 # 於+(21+1)+2(21 + 1) c = 0.