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1、第7节 离散型随机变量及其分布列 最新考纲1.理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，了解分布列对于刻画随 机现象的重要性；2. 理解超儿何分布及其导出过程，并能进行简单应用. 基础诊断 知识梳理 1.离散型随机变量 如果随机变量才的所有对能的取值都能一一列举出来, 则称才为离散型随机变量. 2.离散型随机变量的分布列及性质 (1)离散型随机变量的分布列：若离散型随机变量/ 所有可能取的值为蔺，出，益，? ? , Xn,尤取每一个值池( /=1, 2,，/?) 的概率为 Q, p,，必，则表 X ? ? ? Xi ? ? ?Xn PPlPl. ? ? ?Pi? ? ?A 称为离散型随机
2、变量尤的概率分布或称为离散型随机变量尤的分布列. (2)离散型随机变量分布列的性质： 20(/=1, 2, 3,，/?)；Q+R- 6=1； P(xWxWx) =Q+Q+I - PJ. 3.常见离散型随机变量的分布列 (1)二点分布：如果随机变量*的分布列为 X10 P PQ 其中0/Xl, o=l Q,则称离散型随机变量才服从参数为Q的二点分布 . (2)超几何分布：设有总数为艸件的两类物品，其中一类有件，从所有物品中任取刀件 SWA),这刀件中所含这类物品件数X是一个离散型随机变量，当X=m时的概率为P(X= 加)=违 工(0刃 W厶/ 为刀和中较小的一个 ) ，称离散型随机变量尤的这种形
3、式的概率分布为超几何 分布，也称X服从参数为M必刀的超几何分布 . 常用结论与微点提醒 1?求离散型随机变量的分布列，首先要根据具体情况确定才的取值情况，然后利用排列、组 回归教材，夯实基础 合与概率知识求出 / 取各个值的概率 . 2.耍会根据分布列的两个性质來检验求得的分布列的正误. 3.超几何分布是一种常见的离散型随机变量的概率分布模型，要会根据问题特征去判断随机变 量是否服从超几何分布，然后利用相关公式进行计算. 诊断自测 1 ?思考辨析( 在抄号内打“厂或“ X ” ) (1)离散型随机变量的概率分布列中，各个概率之和可以小于1.() (2)对于某个试验，离散型随机变量的取值可能有明
4、确的意义，也可能不具有实际意义.() (3)如果随机变量尤的分布列由下表给出， 2 5 P0.30.7 则它服从两点分布 .() (4)一个盒中装有4个黑球、3个白球，从中任取一球，若是白球则取出来，若是黑球则放冋 盒中，直到把白球全部取出来，设取到黑球的次数为匕则尤服从超儿何分布.() 解析 对于 仃) ，离散型随机变量所有取值的并事件是必然事件，故各个概率Z和等于1, 故(1)不正确；对 于(2),因为离散型随机变量的所有结果都可用数值表示，其中每一个数值都有明确的实际的意 义，故(2)不正确；对于(3),才的取值不是0和1,故不是两点分布， (3)不正确；对于(4),因为超几何分布是不放
5、回抽样，所以试验中取到黑球的次数*不服从 超儿 何分布，(4)不正确 . 答案 X (2) X (3) X (4) X 2.袋中有3个白球、5个黑球，从中任取两个，可以作为随机变量的是() A.至少取到1个白球B.至多取到1个白球 C.取到白球的个数D.取到的球的个数 解析 选项A, B表述的都是随机事件，选项D是确定的值2,并不随机；选项C是随机变量，可 能取值为0, 1, 2. 答案C 3.( 教材练习改编 ) 设随机变量 *的分布列如卜?： X12345 P 1111 72 636 P 则“为（） 1 1 1 1 A *6 B.C 盲D.- 解析 由分布列的性质，吉+ +2+右+円， 答
6、案C 4.一盒中有12个乒乓球，其中9个新的、3个旧的，从盒中任取3个球來用，用完后装回 盒中，此吋盒中旧球个数才是一个随机变量，则戶（才=4）的值为（） 答案C 5.（2018 ?大连双基口测）设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量X去描述1次 试验的成功次数，则PCT=0）= _ . 解析 由已知得才的所有可能取值为0, 1, 且PCr=i)=2PCr=o),由AA r=D+/? (z=o) = i, 得P(X=O) =|答案I 考点一离散型随机变量分布列的性质 【例1】设离散型随机变量尤的分布列为 X 012 34 P0.20. 10. 10.3 m 求n = I x 11的分布列
7、； (2)求戶(12*+19). 解( 1)易知0. 2 + 0. 1+0. 1+0. 3 +加=1, /.727=0. 3. 由x的分布列可知n = x-w的取值为0, 1, 2, 3, P( 4=0)=P(X=l)=0. 1, P(“ = l) =PCr=0) +“(42) =0. 2 + 0. 1 =0. 3, 户( =2)=PCr=3)=0. 3, P(“=3)=P(X=4)=0. 3, 所以= |X1|的分布列为 n0123 P0. 10. 30. 30. 3 (2)rfl K2J+K9,解得0*4, 故P(12X+19) =PX=) +P(/=2) +P(X=3) =0. 1 +
8、0. 1 + 0. 3 = 0. 5. 1 A - 220 27 B-55 27 C - 220 21 D-55 解析44表示从盒中取了2个IH球，1个新球 , 故戶（尤 =4）= C 叙 “cT 27 220 * I考点突破 商矯彩 ;PPT 2师讲解分类讲练，以例求法 规律方法分布列性质的两个作用 (1)利用分布列屮各事件概率Z和为1可求参数的值及检查分布列的正确性. (2)随机变量才所取的值分别对应的事件是两两互斥的，利用这一点对以求随机变量在某个范 围内的概率 . 【训练1】随机变量尤的分布列如下： X-101 Pabc 其中b, c成等差数列，则戶 (| 尤|=1)= _ , 公差d
9、的取值范圉是 _ ? 解析 因为日，b, c成等差数列，所以2b=a+c.又卄力+c=l,所以罔，所以HI川 9 1 1 12 12 =1) =a+c=.又白 =d, c= +d,根据分布列的性质，得00W+衣亍 所以W dW*. 1 r 3T 3_ 考点二超几何分布的应用( 典例迁移 ) 【例2】(2017 ?山东卷改编) 在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对 人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理昭示, 另一 组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果來评价两种心理暗示的作 用. 现有6名男志愿者川，A2f儿，仏，人和4
10、名女志愿者，5, B、,从屮随 机抽取5人接受 甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示 . (1)求接受甲种心理暗示的志愿者小包含4但不包含E的概率； (2)用Y表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求力的分布列. 解（1）记接受甲种心理暗示的志愿考中包含M：但不包含R的事件为凰 则户（胁 = （2）由题意知尤可取的值为0, 1, 2, 3, 4,则 PCr=i) = 因此力的分布列为 X 012 34 P 1 5 10 5 1 12212121 42 【迁移探究1】用尤表示接受乙种心理暗示的男志愿者人数，求尤的分布列. 解由题意可知 *的取值为1, 2, 3, 4, 5,则 因此*的分布列为 X
11、12345 P 1 5 10 5 1 12212121 42 【迁移探究2】用才表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数与男志愿者人数之差，求*的 分布列 . 解 由题意知 *可取的值为3, 1, 1, 3，5, C?1 _ C10 一 42, CeC 10 _ Cm 一 21， G1 C；o 42- P(X= 1) /?(/=3) 戶（才 =5） pg)=罟=春 Kx= = 罟=许 / 9(/=0)= Cl_1_ 0 =42 戶( 尤=2)= dCi io P(尤=3)= CeCi 5 蔬=丹 P(X=4)= c；c：_ 1 7T=42* , 戶( 才=1)= CiCs 5 户( 才=-1)=皆=
12、晋,A/=-3) 21 - 51 0 C q 6 C 1 4 因此才的分布列为 X31-1-35 P 1 5 10 5 1 12212121 42 规律方法超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数. 超几 何分布的 特征是： (1)考察对象分两类； (2)已知各类对象的个数； (3)从屮抽取若干个个体，考查某类个体数尤的概率分布. 超儿何分布主要用于抽检产品、摸不同 类别的小球等概率模型，其实质是古典概型. 【训练2】(2018 ?济南模拟) 某外语学校的一个社团中有7名同学，其中2人只会法语，2 人只会英语，3人既会法语又会英语，现选派3人到法国的学校交流访问. (1
13、)在选派的3人屮恰有2人会法语的概率；(2)在选派的3人屮既会法语又会英语的人数尤的分布 列. 解( 1)设事件儿选派的三人中恰有2人会法语，则 (2)依题意知才的取值为0, 1, 2, 3, / ￥ =0)= ?尤的分布列为 X0123 P 4 18121 35353535 考点三求离散型随机变量的分布列 【例3】(2018 ?长沙模拟) 私家车的尾气排放是造成雾霾天气的重要因素之一，因此在生 PCr=i) = cci j8 “cf =35 /KX=2) = cid 12 =35 , PCr=3) =C?=35, 活屮我们应该提侣低碳生活，少开私家车，尽量选择绿色出行方式，为预防雾霾出一份力
14、. 为此，很多城市实施了机动车尾号限行，我市某报社为了解市区公众对“车辆限行”的态度, 随机抽查了50人，将调查结果进行整理后制成下表: 年龄/ 岁15, 25)25, 35)35, 45)45, 55)55, 65)65, 75 频数510151055 赞成人数469634 (1)若从年龄在15, 25)和25, 35)这两组的被调查者屮各随机选取2人进行追踪调查，求恰有 2人不赞成的概率； (2)在(1)的条件下，令选中的4人中不赞成“车辆限行”的人数为爲 求随机变量的分 布列. 解( 1)由表知，年龄在15, 25)内的有5人，不赞成的有1人，年龄在25, 35)内的有10 人，不 赞成
15、的有4人，恰有2人不赞成的概率为 C； C.；? Cl , O Ci 4 24 , 6 6 22 宀匡?“ET +d?忑爲齐 . (2) 的所有可能取值为0, 1, 2, 3. x d d 6 is i PC = =WX4=f c/ F 八C； Co , C4 C；? C： 4 15 , 6 24 34 P( =1) =g?魂+g?一5厂=1屈+飞乂后 =看 99 “( =2) =f A=3)=4=XA= , “ J Cl c?o 10 45 75 ?的分布列是 g0123 P 13422 _ 5757575 规律方法离散型随机变量分布列的求解步骤 (1)明収值：明确随机变量的可能収值有哪些，
16、且每一个収值所表示的意义. (2)求概率：要弄清楚随机变量的概率类型，利用相关公式求出变量所对应的概率. (3)画表格：按规范要求形式写出分布列. (4)做检验：利用分布列的性质检验分布列是否正确. 【训练3】己知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检 测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结朿 . (1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率； 己知每检测一件产品需要费用100元，设X表示直到检测出2件次品或者检测出3件正 品时所 需要的检测费用（单位：元），求X的分布列 . 解（1）记“笫一次检测出的是次品月?笫二次检测出
17、的是正品”为事件 （2）尤的可能取值为200, 300, 400. &=200）=鲁=令 PCr=4oo） = ipcr=2oo）戶（尤 =300） 1 3 3 =1 = 10 10 5* 故尤的分布列为 X200300400 P 13 10105 I課时作业丨 基础巩固题组 （建议用时：40分钟） 一、选择题 1.某射手射击所得环数艮的分布列为 X45678910 P0. 020. 040. 060. 090. 280. 290. 22 则此射手“射击一次命中环数大于7”的概率为（） A. 0. 28 B. 0. 88 C. 0. 79 D. 0.51 解析“（Q7）=卩（尤=8） +PCT
18、=9） +P（尤=10） =0. 28 + 0. 29 + 0. 22 = 0. 79. 答案C 2.若随机变量X的分布列为 X-2-1 012 3 P0. 10.20. 20. 30. 10. 1 P（尤=300） = A3+C2C3A2 分层训练，提升能力 P畀 则当戶（从臼） =0.8时，实数臼的取值范围是（） C. (1, 2 解析 由随机变量X的分布列知：PCK 1）=0. 1, PO0）=0. 3, PCK1）=O. 5, P（A2）= 0.8,则当PXa） =0. 8时，实数日的取值范围是（1, 2. 答案C 3. （2018?泉州月考）设随机变量的分布列为P（=幻 =羞 解析
19、因为随机变量g的分布列为戶（ =幻= （&=1, 2, 3）,所以根据分布列的性 答案D 4.袋中装有10个红球、5个黑球 . 每次随机抽収1个球后，若収得黑球则另换1个红球放冋 袋屮，直到取到红球为止. 若抽収的次数为C则表示“放回5个红球”事件的是（） A. =4 B. =5 C. =6 解析“放回5个红球”表示前五次摸到黑球，第六次摸到红球，故 =6. 答案C 5.从装有3个白球、4个红球的箱子中，随机取出了3个球，恰好是2个白球、1个红球的 概率是（） 解析 如果将白球视为合格品，红球视为不合格品，则这是一个超几何分布问题，故所求概 12 35* 答案C 二、填空题 6.设离散型随机变
20、量 / 的分布列为 D. (1, 2) 斤=1, 2, 3,贝g &的值 为（） A. 1 B-13 11 C - 13 27 -13 所以 + 9= aX 27 = 1 * 所以 27 D. 4 A -35 12 D. 36 343 质有臼xg+ X01234 P0.20. 10. 10.3 m 若随机变量K=l-2|,则AK=2)= _ . 解析 由分布列的性质，知 0.2 + 0. 1+0. 1+0. 3+加=1, :./n=0. 3. 由K=2,即| 尤一2|=2,得尤=4或上=0, ?戶( 卩=2) =P(X= 4或力=0) =/ ?(=4)+/?(/=0) = 0.3 + 0. 2
21、 = 0. 5. 答案0.5 7. _ 从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，则所选3人中女生人数不超过 1人的概 率是 . 解析 设所选女生人数为才，则才服从超几何分布，其中A-6,财=2, /7=3,则PUW1) = m=0)+=i) =f+f4. C/6 V/6 0 4 答案5 &甲、乙两队在一次对抗赛的某一轮屮有3个抢答题，比赛规定：对于每一个题，没有抢到 题的队伍得0分，抢到题并回答正确的得1分，抢到题但回答错误的扣1分( 即得一1分) ； 若*是甲队在该轮比赛获胜时的得分( 分数高者胜 ), 则*的所有可能取值是 _ ? 解析 才 = 1,甲抢到一题但答错了 . A0,甲没抢
22、到题，或甲抢到2题，但答时一对一错 . 时，甲抢到1题且答对或甲抢到3题，且1错2对. 尤=2时，甲抢到2题均答对 . X=3时，甲抢到3题均答对 . 答案一1, 0, 1, 2, 3 三、解答题 9.有编号为1, 2, 3,，刀的刀个学生，入坐编号为1, 2, 3,，“的“个座位，每个学 生规定坐一个座位，设学生所坐的座位号与该生的编号不同的学生人数为才，已知尤=2时, 共 有6种坐法 . 求7?的值； （2）求随机变量尤的概率分布列. 解（1）因为当42时，有止种坐法，所以06,即“=6, / 一刀一12 = 0,解得刀=4或/?=-3（舍去），所以z?=4. 因为学牛所坐的座位号与该生的
23、编号不同的学生人数为X 由题意知尤的可能取值是0, 2, 3, 4, 所以/V=0) =T= / 、C?X2 8 他=3)= 所以X的概率分布列为 : X0234 P 111 3 2443 8 10. （2018 ?湖北八校联考）某手机卖场对市民进行国产手机认叮度调查，随机抽取100名市 民，按年龄（单位：岁）进行统计的频数分布表和频率分布直方图如下: 分组/ 岁频数 25, 30) X 30, 35) y 35, 40)35 40, 45)30 45, 5010 合计100 户( 尤=2)= dxi A： _丄 24 =? P(X=4)=1 1丄 _ 丄_3 _24_4_3 = 8, (1)
24、求频率分布表中X, y的值，并补全频率分布直方图； (2)在抽取的这100名市民中，按年龄进行分层抽样，抽取20人参加国产手机用户体验问卷 调查，现从这20人中随机选取2人各赠送精美礼品一份，设这2名市民中年龄在35, 40) 内的人数为尢求尤的分布列. 解(1)由题意知，25, 30)内的频率为0.01X5 = 0. 05,故x=100X0. 05 = 5.因30, 35) 内的频率为1 (0. 01+0. 07+0. 06+0. 02) X 5= 10. 8=0. 2,故卩=100X0. 2 = 20,且30, 频率 0.2 35)这组对应的益=0. 04. 补全频率分布直方图略 . (2
25、)因为年龄从小到大的各层人数之间的比为5 ： 20 ： 35 ： 30 ： 10=1 ： 4 ： 7 ： 6 ： 2,且 共抽 取20人, 则尤可取0, 1, 2, 故/ 的分布列为 01 2 P 789121 190190190 能力提升题组 ( 建议用时：20分钟) 所以抽取的20人中, 年龄在35, 40)内的人数为7. “(40)=护= So 78 PCr=i) = C；：G 91 190 11.(2017 ?长沙质检 ) 一只袋内装有 / 个片球，77-/7/个黑球，连续不放冋地从袋中取球，直 （nA 到取出黑球为止，设此时取出了/ 个白球，下列概率等于一-1:的是（） A./X/=
26、3 ）B? /?Q2） CWW3) 解析 当尤=2时，即前2个拿出的是白球，第3个是黑球，前2个拿出白球，有呛申取法, 再任意拿出1个黑球即可，有Ch、种収法，而在这3次拿球中可以认为按顺序排列，此排列 A? 顺序即可认为是依次拿出的球的顺序，即尤，P（X=2）=弋 答案D 12. （2018 ?石家庄调研）为检测某产品的质量，现抽収5件产品，测量产品中微量元素乙y 的 含量（单位：毫克），测量数据如下: 编号12345 X 169178166175180 y 7580777081 如果产品中的微量元素尢y满足175且y$75时，该产品为优等品 . 现从上述5件产品中，随机抽取2件，则抽取的2
27、件产品中优等品数才的分布列为解析5件抽测 品中有2件优等品，则才的可能取值为0, 1, 2. 戶（尤=0）=匡=0.3, 旳=1）=響=0.6, 戶（/=2） T70. 1. Co 故优等品数 / 的分布列为 答案 X 012 P0. 30.60. 1 13.随着人口老龄化的到来，我国的劳动力人口在不断减少，“延迟退休”已经成为人们越来越 关注的话题，为了了解公众对“延迟退休”的态度，某校课外研究学习小组从某社区随机抽取了 50人进行调查，将调查情况进行整理后制成下表： D? PCT=2) （一刃）A： X 012 P0.30.60. 1 年龄20, 25)25, 30)30, 35)35,
28、40)40, 45) 人数4 F* 0 853 年龄45, 50)50, 55)55, 60)60, 65)65, 70 人数67354 年龄在25, 30), 55, 60)的被调查者中赞成人数分别是3人和2人，现从这两组的被调查者中 各随机选取2人，进行跟踪调查 . (1)求从年龄在25, 30)的被调查者中选収的2人都赞成的概率； (2)求选屮的4人屮，至少有3人赞成的概率； (3)若选中的4人中，不赞成的人数为尤，求随机变量才的分布列. p2 O 解( 1)设“年龄在25,30)的被调查者中选取的2人都赞成”为事件儿所以PU)=W=応. (2)设“选屮的4人屮，至少有3人赞成”为事件必 广2广1厂1 介1厂1厂2 广2广2 所以P( 莎r2r2 + r2r2 + r2r2=7 - U5C3 厶 (3)才的可能取值为0, 1, 2, 3, 所以随机变量尤的分布列为: X0123 P 12 13 1 10 53015 所以m=o) = dd 1 clcI =To ,m=i) = /r=2) = dd+clciclc：13 30J z 、C2C2C； /?(J=3) =_dcT 丄 15 *