《2019版高考数学大一轮复习第十一章计数原理、概率、随机变量及其分布第5节古典概型学.docx.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2019版高考数学大一轮复习第十一章计数原理、概率、随机变量及其分布第5节古典概型学.docx.pdf（13页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、第5节古典概型 最新考纲1.理解古典概型及其概率计算公式;2.会计算一些随机事件所包含的基本事件数 及事件发生的概率 . I基册诊断I 回归教材，夯实基础 知识梳理 1. 基本事件的特点 (1) 任何两个基本事件是互圧的. (2) 任何事件 ( 除不可能事件 ) 都可以表示成基本事件的和. 2. 古典概型 具有以下两个特征的概率模型称为古典的概率模型，简称古典概型. (1) 试验的所有可能结果只有有限个, 每次试验只出现其屮的一个结果. (2) 每一个试验结果岀现的对能性相回. 3. 如果一次试验中可能出现的结果有个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个 基本事件的概率都是如果某个事件外
2、包括的结果有/ 个，那么事件外的概率P3 =岂n n 4. 古典概型的概率公式 事件包含的对能结果数 5 _ 试验的所有可能结果数 常用结论与微点提醒 1?古典概型中的基本事件都是互斥的，确定基本事件的方法主要有列举法、列表法与树状图 法. 2. 概率的一般加法公式0 = P(A) +卩(0 0 屮，易忽视只有当加=0,即“， 互斥时，P(AU?=P(A)+P(?,此时P(Ag=O. 诊断自测 1?思考辨析( 在扌舌号内打“ J ”或“ X ”) (1) “在适宜条件下，种下一粒种子观察它是否发芽”属于古典概型，其基本事件是“发芽 与不发芽” .() (2) 掷一枚硬币两次，出现“两个正面”
3、“一正一反” “两个反面”，这三个结果是等可能事 件.() 从一3, -2, 一1, 0, 1, 2中任取一数，取到的数小于0与不小于0的可能性相同 .( ) (4)利用古典概型的概率可求“在边长为2的正方形内任取一点，这点到正方形中心距离小于或 等于1”的概率 .() 解析对于(1),发芽与不发芽不 - 定是等可能，所以(1)不正确；对于(2),三个事件不是等可能， 其中“一正一反”应包括正反与反正两个基本事件，所以(2)不正确；对于(4),应 利用儿何概型 求概率，所以(4)不正确 . 答案 X (2)X (3) V (4)X 2. (教材习题改编 ) 掷两颗均匀的骰子，则点数之和为5的概
4、率等于 () 1 1 1 1 A - R C ) - 18 9 6 12 解析 所有基本事件的个数为6X6 = 36，点数之和为5的基本事件有(1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1)共 4 个. 4 1 故所求概率为 /=. 答案B 3. (2016 ?北京卷 ) 从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为() 1 2 8 9 A R C - D - 5 5 25 25 4 9 解析 甲被选中的概率为宀吉=忆=亍 答案B 4. (2018?长沙模拟)在装有相等数量的白球和黑球的口袋屮放进一个白球，此时由这个口袋 中取出一个白球的概率比原来由此口袋屮取出一个白球的概
5、率大吉，则口袋屮原有小球的个数 为() A. 5 B. 6 C. 10 D. 11 解析 设原来口袋中白球、黑球的个数分别为刀个，依题意佥吕总=寺，解得心5. 所以原来口 袋中小球共有2/7=10个. 答案C 5. (2018 ?盘锦调研) 在集合尸牛心1, 2, 3, io|中任取一个元素，则所取元 素恰好满足方程cos 勺概率是 _ . I 2 I 解析 基本事件总数为10,满足方程cos 二的基本事件数为2,故所求概率为宀需 =丘 考点一简单的古肌概型的概率 【例1】（1）（2017 ?山东卷）从分别标有1, 2,，9的9张卡片屮不放回地随机抽取2次, 每次抽取1张，则抽到的2张卡片上的
6、数奇偶性不同的概率是（） 5 4 5 7 A?亟 B-9 C-9 -9 （2） （2018 ?沈阳模拟）将力,B, C,这4名同学从左至右随机地排成一排, 则“力与相邻 且昇与CZ间恰好有1名同学”的概率是（） 1 A-2 （2） J, B, C,4名同学排成一排有A!=24种排法 . 当儿C之间是时，有2X2=4种排法 , 4 + 2 1 当儿 Q之间是时，有2种排法，所以所求概率为方=孑 答案(1)C (2)B 规律方法1. 计算古典概型事件的概率可分三步：仃）计算基本事件总个数/? ； （2）计算事件A所包含的基本事件的个数/ ；（3）代入公式求出概率P. 2. （1）用列举法写出所有基
7、本事件时，可借助“树状图”列举，以便做到不重、不漏. （2）利用排列、组合计算基本事件时，一定要分清是否有序，并重视两个计数原理的灵活应 用. 【训练1】（1） （2018 ?湖南衡阳八中、长郡中学等十三校二模）同学聚会上，某同学从 爱 你一万年十年父亲单身情歌四首歌中选出两首歌进行表演，则爱你一万 年 未被选取的概率为（） 1 1 2 5 A-3 B -2 C 3 -6 （2） （2018 ?昆明诊断）从集合A=-2f -1, 2中随机抽取一个数记为日，从集合= 1, 1, 3中随机抽取一个数记为几则直线ax-y+b =0不经过笫四象限的概率为（） 解析（1）从四首歌中任选两首共有06种选法
8、，不选取爱你一万年的方法有03 3 1 种，故所求的概率为宀6=7 (2) (a,方) 所有可能的结果为 ( 一2, 1), ( 2, 1), ( 2, 3), (1, 1), (1,1),( 心0, 考点突破 踌精彩PPT名师讲解 1 -8 解析由题意得，所求概率 “鳥孑=|. 分类讲练，以例求法 1, 3), (2, 1), (2, 1), (2, 3),共9 种. 由ax y+ b= 0 得y= ax+ b,当| 、 时, 於0 直线不经过第四象限，符合条件的( 臼，方 ) 的结果为(2, 1), (2, 3),共2种，.? 直线臼xy 2 +方=0不经过第四象限的概率P=- 答案(1)
9、B (2) A 考点二 复杂的古典概型的概率 ( 典例迁移 ) 【例2】( 经典母题 ) 某市力，两所中学的学生组队参加辩论赛，力中学推荐了3名男生、2 名女生，屮学推荐了3名男生、4名女生，两校所推荐的学生一起参加集训. 由于集训后队员 水平相当，从参加集训的男生屮随机抽取3人、女生屮随机抽取3人组成代表队 . (1) 求/ 中学至少有1名学生入选代表队的概率； (2) 某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽収4人参赛，求参赛女生人数不少于2人的 概率. 解(1)由题意，参加集训的男、女生各有6名. 参赛学生全从3中学抽取 ( 等价于力中学没有学生 入选代表队 ) 的概率为命 =而，因此，力
10、中学至少有1名学生入选代表队的概率为1 V6V6 1 UU _J_99 _Too=w (2)设“参赛的4人中女生不少于2人”为事件外，记“参赛女生有2人”为事件，“参赛 女生有3人”为事件C. 戶(0 = 由互斥事件的概率加法公式， 3 1 4 得A) =P? +H0 4 故所求事件的概率为二 【迁移探究1】求弭屮学至多有1人入选代表队的概率 . 解 设“力中学至多有1人入选代表队”为事件A, aA 中学无人入选代表队”为爭件B宀中学有 1人入选代表队”为事件a则 厂: 厂1厂2厂3 厂1厂2厂3 Q Z V/3S 1 ( 八 U3C3U4“I C2C4U3 O M0= =25? 1 3 13
11、 由互斥事件的概率加法公式得戶( 力)=“( 砂+“(0=而+亦=而，故所求事件的概率为 13 Too* 【迁移探究2求中学入选代表队的女生人数多于男生人数的概率. 解 设“中学入选代表队的女生人数多于男生人数”为事件力，则P(A) = z3 I z31 z-0z-n2 I q ；I 厂2厂丨I f2. i c2c() c】c3 i /“*2厂 Ci ? Ca ? C2C3 十C4C3C2C3 十C4C3C2C3 十C1C3 ? C2C3 十C1C3C2C3 十C，iC： ? C2C Ce ? Ce 即中学入选代表队的女生人数多于男生人数的概率为* 规律方法1.求较复杂事件的概率问题，解题关键
12、是理解题目的实际含义，把实际问题转化为概 率模型，必要时将所求事件转化成彼此互斥事件的和，或者先求其对立事件的概率，进而再用 互斥事件的概率加法公式或対立事件的概率公式求解. 2. 注意区別排列与组合，以及计数原理的正确使用. 【训练2】(1) (2018 ?亳州模拟) 已知集合M=, 2, 3, 4, N=(af A) |a, bw孤，力是 集合艸中 任意一点，0为坐标原点，则直线创与y=/+1有交点的概率是 () A -2 (2018 ?兰州模拟) 如图，在平行四边形個中，。是M 与血的交点，P, Q, A分别是线段创，OB, 0C,的中点 . 在力，P,见C中 任取一点记为E,在B, 0
13、, N,中任取一点记为F.设G为满足向量死 = 莎+ 祢的点，则在上述的点 若要从体重在 60, 70 ）, 70, 80 ）, 80, 90三组内的男生中，用分层抽样的方法选取12人参加一项活 动，再从这12个人中选两人当正副队长，则这两人体重不在同组内的概率为 解析 由频率分布直方图可知，体重在40, 50 ）内的男生人数为0. 005X10X100 = 5,同理, 体重在50, 60), 60, 70), 70, 80), 80, 90内的人数分别为35, 30, 20, 10,所以 45 X 5 + 55 X 35 + 65 X 30 + 75 X 20+85 X 10 100 取12
14、人，则从体重在60, 70 ）, 70, 80 ）, 80, 90三组内选取的人数分别为12X=6, 60 12X=4, 12X器2,则两人体重不在同一组内的概率为W+Cg+C；C；迸 “宀2 答案64.5 - 基础巩固题组 （建议用时：40分钟） 一、选择题 1 ?集合外 =2, 3,=1, 2, 3）,从儿中各任意取一个数，则这两数之和等于4的概 率是（） 2111 A *3 B-2 C -3 -6 解析从畀，中任意取一个数，共有C；?C；=6种情形，两数和等于4的情形只有（2, 2）, 2 1 （3, 1）两种, ?气=亍 答案C 2. （2018?淮南一模）从1, 2, 3, 4, 5
15、这五个数中，随机抽取2个不同的数，则这2个数的 和为偶数的概率是（） 组距 - - - 频率 0.035 ().030 0.025 0.02() 0.015 0.010 ().005 O 4() 5() 6() 70 8() 90 体重/kg 体重的平均值为= 64. 5.利用分层抽样的方法选 I課时作业 分层训练，提升能力 解析 从1, 2, 3, 4, 5这五个数中随机抽取2个不同的数有10种不同的情况，而这2个 数的和为 偶数，则2个数全为偶数，或2个数全为奇数，共有1 + 求甲取到白球的概率 . 解(1)设袋中原有刀个白球，从袋中任取2个球都是白球的结果数为止，从袋中任取2个 球的所
16、有可能的结果数为C； C 2 1 由题意知从袋中任取2球都是白球的概率P= 詁,则77(/7 1)=6,解得 =3(舍去/ 尸一 2),即袋中原有3个白球 . (2) 设事件力为“取球2次即终止” ? 即甲第一次取到的是黑球而乙取到的是白球， 一、C.5 X Ca 4X3 2 P? =C5CI=7X6 = 7- (3) 设事件为“甲取到白球”，“第f次取到白球”为事件川，7=1, 2, 3, 4, 5,因为甲 先取，所以甲只可能在第1次，第3次和第5次取到白球 . 所以Pl肉= U A.i U 4s)=“( 川)+ /?(A) + / 9 (4s) =7+7 % 6 X 5 + 7 X 6 X
17、 3 X 1 X 3=尹亦+ J_22 35 = 35* 能力提升题组 ( 建议用时 :20分钟) 11. (2018 ?西安调研 ) 安排甲、乙、丙、丁四人参加周一至周六的公益活动，每天只需一人参 加，其中甲参加三天活动，乙、丙、丁每人参加一天，那么甲连续三天参加活动的概率为 c?a (2)从6件样品中抽取2件商品的基本爭件数为d= 6X5 2X1 = 15,每个样品被抽到的机会均等, 解析rfl题意，甲连续三天参加活动的所有情况为：第1?3天，第2?4天，第3?5天, 第4? 6天，共4种. 4 ? A； 1 故所求事件的概率宀击 =丁 答案B 12. 用两种不同的颜色给图中三个矩形随机涂
18、色，每个矩形只涂一种颜色，则相邻两个矩形 涂不同颜色的概率是 解析 根据题意，每个矩形只涂一种颜色的涂色方案共有2 3 =8种，要使3个矩形中相邻 矩形颜色不同，则位于两端的两个矩形必须颜色相同，从而有C；=2种，故满足题意的概率答 案| 13. (2018 ?济宁模拟 ) 某中学组织了一次数学学业水平模拟测试，学校从测试合格的男、女生 各随机抽収100人的成绩进行统计分析，分別制成了如图所示的男生和女牛. 数学成绩的频率 分布直方图 . ( 注：分组区间为60, 70), 70, 80), 80, 90), 90, 100) (1) 若得分大于或等于80认定为优秀，则男、女生的优秀人数各为多
19、少？ (2) 在(1)中所述的优秀学生中用分层抽样的方法抽取5人，从这5人中任意选収2人，求至 少有一名男生的概率 . 解(1)由题可得，男生优秀人数为100X(0.01 +0.02)X10 = 30,女生优秀人数为 100X (0. 015 + 0. 03) X 10=45. 5 1 (2)因为样本容量与总体屮的个体数的比是齐石=為，所以样本屮包含的男生人数为30X吉=2,女 生人数为45X77=3. 15 15 则从5人中任意选取2人共有C；=10种，抽取的2人中没有一名男生有 &=3(种) ，则至少 7 有一名男生有広一幺=7(种). 故至少有一名男生的概率为/ , 即选取的2人小至少有一 7 名男生的概率为