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1、第 9 节 随机变量的数字特征 最新考纲1.理解取有限个值的离散型随机变量的均值、方差的概念；2.能计算简单离散塑 随机变量的均值、方差，并能解决一些简单实际问题. I基础诊断I 回归教材，夯实基础二 知识梳理 1.离散型随机变量的数学期望与方差 设一个离散型随机变量尤所有可能取的值是山，血，X“,这些值对应的概率是灿，?, Pn. (1)数学期望：称E3 = 山4 +血72+?+如0为离散型随机变量尤的均值或数学期望( 简称期 望) ，它刻I田i了这个离散型随机变量的半均取值水半. (2)方差：称 ( 力=(疋一以力 ) + ( 上上、 ( 力)2Q+bEWn叫做这个离散型随机变量才的 方差
2、，即反映了离散型随机变量取值相对于期望的平均波动大小( 或说离散程度 ) ，D?的算术平方 根、/ ( 才) 叫做离散型随机变量才的标准差. 2.均值与方差的性质 .12 111 p( =40) =_X_+_X_= ? z 7 4 3 2 6 ? c/ 1 1.1 2,1 1 5 P( =80) =4X 6 +2X3+4X 6 =12; Af = 120)=-X-+-X-=-; z 、1 1 1 P( = 160) =$X (2)若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率 . 解( 1)随机变量尤的所有可能取值为0, 1, 2, 3, / .1111 A/=3)=-X-X-=
3、- 所以，随机变量 / 的分布列为 0123 P 11111 424424 随机变量才的数学期望E3 =0X+1 X-+2x|+3X=y|. (2)设卩表示第一辆车遇到红灯的个数，刁表示第二辆车遇到红灯的个数，则所求事件的概 率为 /?(K+Z=l)=/ ?(K=0, /=!)+/“(K=l, Z=0) =P( Y= 0) P(Z= 1)+/9(K=1)/?(Z= 0) 1 11 . 11 1 11 刃+x旷屈. 所以，这2辆车共遇到1个红灯的概率为磊 . 命题角度2均值与方差的应用问题 【例3 2】某投资公司在2018年年初准备将1 000万元投资到“低碳”项目上，现有两 个项目供选择： 项
4、目一：新能源汽车 ?据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利30%,也可能亏损15%, 7 9 且这两种情况发生的概率分别为和 项目二：通信设备 . 据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利50%,可能损失30%,也 可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为|，g和右. 针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由. 解 若按“项目一”投资，设获利为必万元?则尤的分布列为 X1300-150 P 72 99 7 2 ?g(X) =300X-+ (-150) X-=200(万元). 若按“项目二”投资，设获利駁万元， 则花的分布列为： X2500-3000 311 P
5、 53Is 31 ( 晁) =500X-+( 300) X-+0X =200(万元). o 3 15 7 9 ( 和=(300-200) 2X-+ (-150-200)2xj=35 000, 3 11 0(左)=(500-200) 2 XT+ (-300-200) 2X-+ (0-200)2X=140 000. 5 3 15 所以 =化 ),P() 2 ( )=(1制?尹( 2勺 答案罟 7. （2017 ?全国II卷）一批产品的二等品率为0.02,从这批产品中每次随机取一件，有放回 地抽取100次，才表示抽到的二等品件数，则D3= _ . 解析 有放回地抽取，是一个二项分布模型，其屮门=0.
6、02, /7=100,则D=npp） = 100X0. 02X0. 98=1.96. / 八4 5 20 PU=4) =gX-=, 答案1.96 (2)为分析乙厂产品的等级系数尤，从该厂生产的产品中随机抽取30件，相应的等级系数组 成一个样本，数据如下 : 3533 8 55 6 34 6347534853 8343447 L 67 用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率 , 求等级系数乐的数学期望; 在 的条件下，若以“性价比”为判断标准，则哪个工厂的产品更具可购买性？并 说明理由 . “性价比”大的产品更具可购买性. 解 =5X0. 4 + 6日+7b+8X0? 1 =6, 即6
7、臼+7=3.2, 由尤的分布列性质得0.4+a+Z+0. 1 = 1,即白+6=0. 5, 日=0. 3, 两式联立，解得仁 o b=0. 2. (2)由己知得，样本的频率分布如下表: 等级系数尤345678 样本频率f0. 30. 20.20. 10. 10. 1 用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，可得等级系数显的分布列为 注：产品的“性价比”= 产品的等级系数的数学期望 产品的零售价 Xpe (0, 1),所以pw Xz34678 P0. 30.20.20. 10. 10. 1 所以 铤)=3X0. 3 + 4X0. 2 + 5X0. 2 + 6X0. 1+7X0. 1+8X0. 1=4.8, 即乙厂产品的等级系数的数学期望为4. 8. (3)乙厂的产品更具可购买性，理由如下： 因为甲厂产品的等级系数的数学期望为6,零售价为6元/ 件，所以其性价比为：=1, 6 4 8 因为乙厂产品的等级系数的数学期望为4. 8,零售价为4元/ 件，所以其性价比为一厂=1? 2, 据此，乙厂的产品更具可购买性.