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1、第2节直接证明与间接证明 最新考纲1. 了解直接证明的两种基本方法一一分析法和综合法；了解分析法和综合法的思 考过程和特点 ;2. 了解间接证明的一种基本方法一一反证法；了解反证法的思考过程和特点. 基础诊斷I 回归教林，夯实基础 知识梳理 1. 直接证明 内容综合法分析法 定义 从已知条件出发，经过逐步的推理，最 后达到待证结论的方法，是一种从原因 推导到结杲的思维方法 从待证结论出发，一步一步寻求结论成立 的充分条件，最后达到题设的已知条件或 已被证明的事实的方法，是一种从结果追 溯到产生这一结杲的原因的思维方法 特点 从“己知”看“可知” , 逐步推向“未 矩”，其逐步推理，实际上是要寻
2、找它 的必要条件 从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已 勉”，其逐步推理，实际上是要寻找它的 充分条件 步骤的 符号表 示 尤（己知） n P戸 2 P 戸 P.（结论）（结论） u BU Bi 匕必 u / （己知） 2.间接证明 间接证明是不同于直接证明的又一类证明方法，反证法是一种常用的间接证明方法. （1）反证法的定义：一般地，由证明RQ转向证明： t 与假设矛盾，或与某个真命题汙盾，从而判定絲q为假，推出g为真的方法，叫做反证法. （2）用反证法证明的一般步骤：分清命题的条件和结论；做出与命题结论相矛盾的假定; 由假定11!发，应用正确的推理方法，推出矛盾的结果；断定产生矛盾结果的原因
3、，在于开 始所做的假定不真，于是原结论成立，从而间接地证明命题为真. 诊断自测 1.思考辨析（在括号内打“ J ”或“ X ” ） （1）分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的充要条件.（） (2)用反证法证明结论“Qb”时，应假设“Kb” .() (3)反证法是指将结论和条件同时否定，推出矛盾.() (4)在解决问题吋，常用分析法寻找解题的思路与方法，再用综合法展现解决问题的过程.() 解析(1)分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的充分条件. (2)应假设“ aWb” . (3)反证法只否定结论 . 答案 X (2) X (3) X (4) V 2.若日，b, c为实数
4、，且a0, aab. ? 又ab != ba 0,:, rh 得a 2cibb. 答案B 3.要证扌 +方2_1 /WO,只要证明 ( ) A. 2M1 /川WO B.扌+F-l-耳 D. (a-l) (F-l)20 解析 /+ 方 2_/ FWOO2_) ( 方2一)20. 答案D 4.用反证法证明：若整系数一元二次方程臼#+滋+。=0(臼H0)有有理数根，那么b, c 屮至少有 一个是偶数 . 用反证法证明时，下列假设正确的是() B.假设日，b, c都不是偶数 C.假设创b, c至多有一个偶数 解析 “至少有一个”的否定为“都不是”，故B正确. ( 臼+方) 1一/ 化0 D.假设a,
5、b,c至多有两个偶数 答案B 5. （教材例题改编）在中，三个内角弭，B, C的对边分别为方，c,且昇，B, C成等 差数列，白，b, c成等比数列，则力彩的形状为 _ ? 解析 由题意2B=A+C又A+B+C=n t：? B=+ ，又E = ac,由余眩定理得 2accos B=- a c ac, .? /+b 厂n1,1, , 1 n 又 V17+T, ?b 近2o, 又上述三个不等式屮等号不能同时成立. 上式两边同时取常用对数, 得诂字?守?刖汕认 ,a+b t b+c t c+a . , , ?lg+lg+lg_y-lg 自+lg 5+lg 10.设数列岔是公比为q的等比数列，是它的前
6、项和. 求证：数列$不是等比数列 ; 数列S是等差数列吗？为什么？ (1)证明 假设数列0是等比数列，则g = S$, 即(l + q)2=0 ? ai ? (l + g+孑), 因为/HO,所以(l + q)2=l + q+, 即q=0,这与公比 QHO 矛盾，所以数列 $不是等比数列 . (2)解 当( 7=1时，Sn=na 、,故$是等差数列； 当gHl时，$不是等差数列，否则2$=S + $, 即2臼1 (1 + g)=臼】+臼】(1 + q+ 7)， 得( 7=0,这与公比qHO矛盾. 综上，当Q=1时，数列 $是等差数列；当qHl时，数列 $不是等差数列 . 能力提升题组 ( 建议
7、用时 :20分钟) V V 7 7 X X 1L (2018 ?日照开学考试 ) 设乳y, z0,则三个数牛一+-() x z x y z y A.都大于2 B.至少有一个大于2 C.至少有一个不小于2 D.至少有一个不大于2 解析因为 ()+( 士 )+( 片) (y . x (y . z (z f =_+_ + _+_ + -+_ 26, v y) v y) v z) lg 曰+lg b+lg c. 厂2 ?飞 abc成立. c. 当且仅当x=y=z时等号成立 . 所以三个数中至少有一个不小于2,故选C. 答案C 12. (2016 ?全国II卷) 有三张卡片，分别写有1和2, 1和3,
8、2和3. 甲，乙，丙三人各取走 一张卡片，甲看了乙的卡片后说： 我与乙的卡片上相同的数字不是2” ,乙看了丙的卡片后 说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1” ，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5” ，则甲的 卡片上的数字是_ ? 解析 根据丙的说法及乙看了丙的卡片后的说法进行推理. 由丙说“我的卡片上的数字之和不是 5”，可推知丙的卡片上的数字是1和2或1和3. 又根据乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片 上相同的数字不是1”可知，乙的卡片不含1,所以乙的卡片上的数字为2和3. 再 根据甲的说法 “我与乙的卡片上相同的数字不是2”可知，甲的卡片上的数字是1和3. 答案1和3 13.设白，b, c,均为正数，且a+b=c+d,证明： 若ab cd,则y+ybyc+yd； (2)、斥+边讥+J2是abcd得( 诵“ ( 心+讥！) 1 因iy2+ybyc+ylc/. (2)若a b ( 讥+?)駕 即曰 +方+2寸五c+ 因为a+b=c+d,所以abcd,于是 (a_Z?)2= (a+ b) 24abyl:+ylc/ a Z?| | c d的充要条件 .