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1、第3节 变量间的相关关系与统计案例 最新考纲1. 会作两个有关联变量的数据的散点图，会利用散点图认识变量间的相关关系; 2.了解最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程( 线性回归 方程系数公式不要求记忆) ；3. 了解独立性检验 ( 只耍求2X2列联表 ) 的基本思想、方法及其简 单应用 :4. T解回归分析的基本思想、方法及其简单应用. 知识梳理 1 ?相关关系与回归分析 回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法；判断相关性的常用统计 图是：散点图 ; 统计量有相关系数与相关指数. (1)在散点图屮，点散布在从左下角到右上角的区域, 对于两个变
2、量的这种相关关系，我们将 它称为正相关 . (2)在散点图中，点散布在从左上角到右下角的区域, 两个变量的这种相关关系称为负相关. (3)如果散点图屮点的分布从整体上看大致在_直线附近，称两个变量具有线性相关关系. 2.线性回归方程 最小二乘法：使得样本数据的点到回归直线的距离的平方和最小的方法叫做最小二乘法. (2)回归方程：两个具有线性相关关系的变量的一组数据：5, yi),( 血 ), ，( 血， ), 方是回归方稈的斜率 , 臼是在y轴上的截距 . 回归直线一定过样本点的中心?). 3.回归分析 (1)定义：对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法. (2)样本点的中心：对于
3、一组具有线性相关关系的数据(孟，yj ,匕2,必), ，Ixn, %), 其中 匕，功称为样本点的中心? (3)相关系数 基础诊斷 其回归方程为尸加 +目 L IXL x ）（力一y） L Xiyi nx y 则b= - L 3$ a=y bx.其中, xnx /=! 回归教材，夯实基础 当厂0时，表明两个变量正相关; 当风0时，表明两个变量负赵 . 厂的绝对值越接近于1,表明两个变量的线性相关性越强. 厂的绝对值越接近于0,表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系. 通常I ”大于理吋 , 认为两个 变量有很强的线性相关性. n (4) - 相关指数： #=上 . 其屮E ( 力一 A是残差平
4、方和，其值 越小，则 #越 ( 力一刃2 I 2 = 1 大( 接近1),模型的拟合效果越好 . 4.独立性检验 (1)利用随机变量 #来判断“两个分类变量有关系”的方法称为独立性检验. (2)列联表：列出的两个分类变量的频数表，称为列联表?假设有两个分类变量 *和丫，它们的 可能取值分别为屈和5, 切，其样本频数列联表(2X2列联表 ) 为 常用结论与微点提醒 1.求解回归方程的关键是确定回归系数b,应充分利用回归直线过样本中心点(2, ?). 2.根据斤的值nJ以判断两个分类变量有关的可信程度，若於越大，则两分类变量有关的把 握越大 . 3.根据回归方程计算的丿值，仅是一个预报值，不是真实
5、发生的值. 诊断自测 1?思考辨析( 在扌舌号内打“ J ”或“ X ” ) (1)“名师出高徒”可以解释为教师的教学水平与学生的水平成正相关关系.() (2)通过回归直线方程bx+以估计预报变量的取值和变化趋势.() (3)因为由任何一组观测值都可以求得一个线性回归方程，所以没有必要进行相关性检 验.() (4)事件启卩关系越密切，则由观测数据计算得到的斤的观测值越大.() 答案 J （2） V （3）X （4） V 2.（必修3P90例题改编）某研究机构对高三学生的记忆力x和判断力y进行统计分析，所得 数据如表： X681012 y2356 则y对/ 的线性回归直线方程为（） A. y=2
6、. 3%0. 7 B. y=2. 3x+0. 7 C. y=0. 7x2. 3 D. y=0. 7%+2. 3 解析 易求x=9, y=4,样本点中心（9, 4）代入验证，满足y=0. 7x2. 3. 答案C 3.两个变量y与/ 的回归模型中，分别选择了4个不同模型，它们的相关指数#如下，其中拟 合效果最好的模型是（） A.模型1的相关指数 #为0. 98 B.模型2的相关指数 #为0. 80 C.模型3的相关指数 #为0. 50 I）?模型4的相关指数 #为0. 25 解析 在两个变量y与x的冋归模型中，它们的相关指数用越近于1,模拟效果越好，在四个选 项中A的相关指数最大，所以拟合效果最好
7、的是模型1. 答案A 4. （2015?全国II卷）根据下而给出的2004年至2013年我国二氧化硫年排放量（单位：万 吨） 柱形图，以下结论不正确的是（） A.逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著 7(6(5(4(3(2(H(M9( 22222222 B. 2007年我国治理二氧化硫排放显现成效 C. 2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势 D. 2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关 解析 对于A选项，由图知从2007年到2008年二氧化硫排放量下降得最多，故A正确. 对 于B选项，由图知，rtl 2006年到2007年矩形高度明显下降，因此B正确. 对于C选项
8、，由图 知从2006年以后除2011年稍有上升外，其余年份都是逐年下降的，所以C正确. 由图知2006 年以来我国二氧化硫年排放量与年份负相关，D不正确 . 答案D 5.为了判断髙屮三年级学生是否选修文科与性别的关系，现随机抽取50名学生，得到如下 2X2列联表： 理科文科 男1310 女720 已知P（#M3? 841）0? 05, 024） 0? 025.根据表中数据 , 得到#的观测值k= 50X 23X27X20X30 7 - 844- 则认为选修文科与性别有关系出错的可能性为 _ ? 解析 斤的观测值 在该相关关系中，若用拟合时的相关指数为乩用y =必+刃拟合时的相关指数为血则用层
9、A.甲B.乙C.丙 D.T C.月收入的中位数是16,与y有正线性相关关系 D.月收入的中位数是16,x与y有负线性相关关系 y之间不能建立线性回归方程. 解析（1）从统计图表中看出，月收入的中位数是*（15 + 17）=16,收入增加，则支出也增加, x 与y正线性相关 . （2）在散点图中，点散布在从左上角到右下角的区域，因此x, y是负相关关系，故正确; 由 散点图知用y=c】es拟合比用尸加 +臼拟合效果要好，则用用，故正确；x, y之间可以建立 线性回归方程，但拟合效果不好，故错误. 答案（1）C 考点二线性回归方程及应用 【例2】（2015 ?全国I卷）某公司为确定下一年度投入某种
10、产品的宣传费，需了解年宣传费 班单位：千元）对年销售量y（单位：t）和年利润？（单位：千元）的影响，对近8年的年宣 传费乩和年销售量7/（7=1, 2,，8）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值 . 620 6(X) 5BO 560 544) 52() 500 4 （2）有多大把握认为用户对该产品是否满意耳用户性别有关？请说明理由. 5 i 解 用分层抽样的方法在满意产品的用户中抽収5人，贝IJ抽収比例为話 =疋 所以在满意产品的 用户中应抽取女用户20遥=2（人），男用户30X茶3（人）. 0. 1000. 0500. 0250.010 ko2.7063.8415. 0246.
11、 635 门(ad be) ( 白+ 方)(c+d)( 白+c) ( b+ c/) n=a+b+ c+d. 解析根据题意知 18 + 13+10+ (1) 4 = 40.所以臼=40_ ( 抽取的5人中，三名男用户记为日，b, Q, 两名女用户记为门s,则从这5人中任选2人, 共有10 种情况：ab, ac, ar, as, be, hr, bs, er, cs, rs. 英中恰好是男、女用户各1人的有6种情况：ar, as, br, bs, er, cs. 故所求的概率为 &鲁6. (2)由题意 , 得斤的观测值为 _ 80 (30X20 20X10) 2 _ k= (30 + 20) (1
12、0 + 20) (30+10) (20 + 20) 16 5, 3335, 024. 又P(C5. 024)=0. 025. 故有97. 5%的把握认为“产品用户是否满意与性别有关”. 10. (2018?惠州模拟 ) 某市春节期间7家超市广告费支出脸 ( 万元) 和销售额力 ( 万元) 数据如 下表： 超市ABCDEFG 广告费支出Xi1246111319 销售额y19324044525354 (1)若用线性回归模型拟合y与x的关系，求y与x的线性回归方程； (2)若用二次函数冋归模型拟合y与x的关系，可得冋归方程：y=0. 17,+5x+20,经计 算，二次 函数回归模型和线性回归模型的#
13、分别约为0. 93和0. 75,请用用说明选择哪个回 归模型更合适，并用此模型预测力超市广告费支出3万元时的销售额 . 7 7 参考数据：=8,夕=42,乞xy=2 794, Sx = 70& 2=1 /=1 ：.a=y吸=42 1. 7X8 = 2& 4, 故F关于x的线性回归方程是尸1. 7+28. 4. (2) VO. 753. 841. 由统计表戶（斤23. 841）=0. 05,?有95%的把握认为“能否缓解交通拥堵的认识与性别有 关”? 答案A 12.在2018年3月15日那天，某市物价部门对本市的5家簡场的某簡品的一天销售量及其 价格进行调查，5家商场的售价 / 元和销售量y件Z
14、间的一组数据如下表所示： 价格/ 99. 5m10.511 销售量y11n865 由散点图可知，销售量y与价格x之I可有较强的线性相关关系，其线性回归方程是3.2x 9+9. S+/7/+10. 5 + 11 m 尸5 =8+? 11Z+8 + 6 + 5卫 y 5 丁5? 冋归直线一定经过样本屮心（元?）, 3. 2/zz+ /J42 9 又因为 /?+77=20,即， 仍 + 77=20, 加=10, 解得I c故刀=1 ? /7=10, 答案10 13? （2018 ?湖南百所重点中学阶段性诊断）已知某企业近3年的前7个月的月利润（单位： 百 万元）如下面的折线图所示: （1）试问这3年
15、的前7个月中哪个月的月平均利润较高？ （2）通过计算判断这3年的前7个月的总利润的发展趋势； （3）试以第3年的前4个月的数据（如下表），用线性回归的拟合模式估计第3年8月份的 利 润? 月份1234 利润y（单位：百万元）4466 工(X ( 匕一 y) Y.xiy 2nx y 相关公式：b= - - = - a=y bx. E (x x) 2 E xnx /=1 J=1 解（1）由折线图可知5月和6月的平均利润最高 . 第1年前7个月的总利润为1+2 + 3 + 5 + 6 + 7+4=28（百万元） , 解析 即6+彳=一3. 2( 8+希+40, 即3. 2/7/+/?=42. f 第
16、1年 - ?第2年 -4 第3年 第2年前7个月的总利润为2 + 5 + 5+4 + 5 + 5+5 = 31 （百万元） . 第3年前7个月的总利润为4 + 4 + 6+6 + 7+6 + 8=41 （百万元） , 所以这3年的前7个月的总 利润呈上升趋热 . （3）Vi=2.5, y=5, 1 2 + 22 + 32 + 42 = 30, 1X4 + 2 X 4 + 3 X 6 + 4 X 6 = 54, ；544X2.5X5 ? ?“= 304X2. F =? 8 .a=5-2. 5X0. 8 = 3. 因此线性回归方程为y=0. 8+3. 当/=8 时，y=0. 8X8 + 3=9. 4. ?估计第3年8月份的利润为9.4百万元