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1、 2-9对数和对数数函数陕西刘大鸣史亚鹏 【知识梳理】 1.对数的定义 如果 _ ，那么数x叫做以。为底N的对数 , 记作 _ ，其中 _ 叫做对数的底 数，_ 叫做真数 . 2.对数的性质与运算法则 (1)对数的性质(aOHal) Rogv = _ ；log ；1 = _ ； loga/ = _ ; log wa = (8) _ . (2)对数的重要公式 换底公式：log hN= (9) _ (a,方均大于零 且不等于1)； 推论：10必喘？ 推广：log “ b ? log“ c ? log。R =_ . (3)对数的运算法则 如果a0 且aHl, M0, N0,那么: logil(MN)
2、= ? _ : 10ga= ? _ ； logaNr= ? _ (neR) ； logy, M n = ? _ 3.对数函数的图彖与性质 O1时，当X1时, ?_ 当0“VI 时，0)_ 当owl时， 在(0, +) 上是 0 在(0, +8)上是 ? 4. 反函数 指数函数丿 =/ 与对数函数 _ 互为反 函数，它们的图彖关于直线?_ 对称. 答案： 1.对数的定义 a x = N x=log畀aN 2.对数的性质与运算法则 (1)对数的性质 N0N 1 对数的重要公式 (3)对数的运算法则 O logW+logJV ； ? logM lo氐N； ? wlogAY (weR) ；? 盒呃 3
3、.对数函数的图象与性质 ?(0, +8) ? R? (1,0) ? 1 ? 0 ?yo ? 严0 ?0, 解析由题意得，即x2.n.x却，故 x2fl 选C. ? logM =(1 + l)lg 2 + 21g 5 = 2(lg 2 + lg 5) = 2. 21酎）=2矽+3）=2印?23,所以, 选项D正确. 4 . (13 四川)lgj + lgj6 的值是 求值： (1) logS ； (2)(lg5)2+lg501g2；(3)|lg H |lg/8 + lg/245. 答案：1 提示：lg 诉 + lg = lgCs/2萌)=lg 10 = 1. 5 .（课木改编题）函数y=log
4、“（ x + 3 ）1 （a0且 aHl）的图像恒过点若点 / 在直线mx+ny+1 = 1 2 0上（其中如0）,贝J+的最小值为 _ . 答案8 提示：y = loga(x + 3) - 1 (a0且GHI)的图 像恒过 点A( - 2, - 1), A( - 2, - 1)在直线mx + ny + = 0 丄+ jn 2 1 答案：(l)y ； (2) 1; (3) 2 2 提示：原式 =器岭 原式 = (lg 5) 2 + lg(10X5)lg y =(lg 5) 2 + (1 + lg 5)(1 -lg 5) = (lg 5)2 + 1 (lg 5) 2 =1. 原式 =lg 字-
5、lg 4 + lg(7书)=lg +也24 + 2羽=8,当且仅当4/ = n时取等号 . n - 【课标示例题】 例1对数式的运算 计算下列各式： (1) lg25 + lg21g 50+(lg 2) 2； 的、Q(lg 3)2 lg 9 +1 ?(1 丽 + lg 8 lgVl硕) (2) lgO.31g 1.2 例2对数函数的图像及其应用 1 + T （1） （2013年合肥模拟）函数金）=_21n=的图 彖刊能是（） 2. （13新课标2 ) 设a=log 36, /=log510, c=log714,则( A. cbaB. ) bca C. acb D. abc (3) (log 3
6、2+log92)-(log43+log83). 解析：(1)原式=(lg 2) 2 + (1 + lg 5)lg 2 + lg 5?= (Ig2 + lg5 + l)lg2 + 21g5 提示： 设a = log36 = 1+1创2=1+忘 b = 原式 = (Ig3-l)-(lg3 + 21g2-l) log510= 1 + log 52 = 1 + log25, c = log714 = 1 + log72 =1+ 17 显然 3 . （13浙江）已知x, y为正实数，则A. 2，sv+lfiv=2 1当 2 a“(2) = 2_ 20 圧1, 2). 18.已知函数Xx)=lg(t/-)
7、(a 1 b0). 求y=Ax)的定义域； 在函数y=/(x)的图像上是否存在不同的两点，使得 过这两点的直线平行于X轴； (3)当 G b满足什么条件时 ,7W在(1, +8)上恒 取正值 . 解：(1)由才- 胪0,得(|) Y1, 且01方0, 得|1,所以 x0, 即Xx)的定义域为(0, +8). 任取兀 兀20, a 1b 0,则ax axz 0 hx ax2 - bx2 0, 即lg(QX - bx) lg(ax2 - bxi).故. 心】)/(x2).所以 /(x)在(0, +8)上为增函数 . 假设函数= .Ax)的图像上存在不同的两点 M(xi，”), B(X2,力), 使直线平行于X轴, 则Xix 2, y =力，这与/(X)是增函数矛盾 . 故函数y-Ax)的图像上不存在不同的两点使过两点的 直线平行于兀轴 . (3)因为加 :) 是增函数，所以当兀丘(1, +8)时， 心) 用) ，这样只需y(i)= ig(G-b)ao,即当&b+1 时， 正值.