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1、第三节函数的奇偶性与周期性 回扣知识 r MHUIKOU ZHUGANZHISHI 知识整合 / / / / / 1.函数的奇偶性 奇偶性定义特点 偶函数图像关于涮对称的函数叫作偶函数（力 奇函数图像关于原点对称的函数叫作奇函数 /( A)=f(X) 2.周期性 （1）周期函数：对于函数fXx）, 如果存在一个非零常数T,对定义域内的任意一个x 值，都冇 f（x+7）=f（0,那么就称函数为周期函数，称T为这个函数的周期 . （2）最小正周期：如果在周期函数f?的所有周期中存在一个最小的正数, 那么这个虽小匸数就 叫作代劝的最小正周期. 八问题思考 1.若函数fd）在区间日，力（日工勿上有奇偶
2、性，则实数耳，bZ间有什么关系？ 2.若Hx）是奇函数且在尸0处有定义 , 那么f（0）为何值 ?如果是偶函数呢 ? 3.是否存在既是奇函数乂是偶函数的函数？若有，有多少个？ 4.若丁为 y= Ax）的一个周期，那么（胆Z）是函数/V）的周期吗 ? 牛刀小试/ / / / 1. （2013 ?广东高考）定义域为R的四个函数y=f, y=2 y=#+l, y=2sin x中，奇函数的个数是 （） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 2.（2013 ?山东高考）己知函数厂（方为奇两数，且当00时，f3 =/+-,贝IA-D = x （）A. -2 B. 0 C. 1 D. 2 3.（2013
3、?湖北髙考）x为实数，刃表示不超过x的最大整数，则函数/（%）=xx在R上 为（）A.奇函数B.偶函数C.增函数D.周期函数 扣教材扫除认知盲点练考点巩固必备知识 4. _ 若fx) = (x+w)匕一4)为偶函 数，则实数a= _ . 5-设 ( 方是周期为2的奇函数，当0W/W1时，fx) =2x(1 x),贝ij t 例1 (1)若函数f=r+3 x 与 /(劝=XX; j - 1 x /V) = In( 卄；f(x) = 其中奇函数的个数是() A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【互动探究】 若将木例中对应的函数改为“ f(x) 二 1”，试判断其奇偶性 . 判断函数奇偶性的方法
4、 (1)判断函数的奇偶性，首先看函数的定义域是否关于原点对称；在定义域关于原点对称的条件 下，再化简解析式，根据f(x)与fd)的关系作出判断 . (2)分段函数指在定义域的不同子集有不同对应关系的函数，分段函数奇偶性的判断，要分别从 丸0或 A2),则 考占二 八八 函数的周期性 例3定义在R上的函数f(0满足/U+6)=/U).当一3W/V 1吋，f(0=_(x+ 2几 当一lWx0在 1,3上的解 集为 () A. (1,3) B. (-1, 1) C? (-l,0)U(l,3) D. (-1,0) U (0, 1) 2. (2014?九江模拟 ) 已知函数/V+1)是定义在R上的奇函数
5、，若对于任意给定的不相等实数孟、 血 不等式 ( 简一卫 ) ?/U)f(QV0怛成立，则不等式Al-x)0)在区间 & 8上有四个不同的根必，Xi, Xu乂，则xi + xi+x+ X = . - 课堂归纳通法领悟- - 1条规律奇、偶函数定义域的特点 奇、偶函数的定义域关于原点对称. 函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必婆不充分条件. 2个性质奇、偶函数的两个性质 (1)若奇函数f( 劝在尸o处有定义 , 则/(0) =0. (2)设tx), gd)的定义域分别是，X 那么在它们的公共定义域上：奇+奇=奇，奇乂奇=偶，偶+偶 =偶,偶X他=偶，奇 0, $H1)?若g(2)=$,则
6、A2)= ( ) 15 17 A. 2 B. C. D. a 4 4 5.(2014 ?郑州模拟) 已知函数fd)是( 一8, +8) 上的偶函数 , 若对于心o,都有/V + 2) = f(x), 且当0, 2)时，fx) =log2( x+l),则f(2 Oil)+f(2 012)=( ) A? 1 + 10觀3 B. -l + log23 C. -1 D. 1 6.已知定义域为R的函数y=/U)在0,7上只有1和3两个零点，且y=f(2 方与y = f(7+x)都是偶函数，则函数在一2 013,2 013上的零点个数为 () A. 804 B. 805 C. 806 D. 807 7?若函数为偶函数，则实数 $= _ ? 8.奇函数fd)的定义域为一2,2,若Hx)在0,2上单调递减 , 且A1+/7) +/(/?；)0,下列函数小，在区间(0,刃上一 - 定是减两数的是 () A. fx) =nx+ b B. fx) =x C. f(x) = aD. f(/)=log”x 2.函数2)| ”在2上的最小值为一1,则实数仪的取值范围为_ ?