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1、限时作业15导数在函数单调性、极值中的应用 一、选择题 1.函数f (x)二的单调递减区间是(). A. e, +8) B. 1, +8) C. 0, e D. 0, 1 2. f (x) =X 3-3X2+3 X的极值点的个数是 (). A. 0B. 1 C. 2 D. 3 3.设f (x) =kx 21 n x,若f(x)在其定义域内为单调增函数，则k的取 值 范围是 (). A. (8, 1 B. 1, +8) C. (-8,1 D. 1,+8) 4.已知对任意实数x,有f (-x) =-f (x), g (-x) =g (x),且x0 时,f (x) 0, g (x) 0,则x0, g
2、 (x) 0 B. f (x) 0, g (x) 0 D.f (x) 或(1-1解析：T质点的运动方程为s(t)=t 3+bt2+ct+d, .?.s (t)=3t 2+2bt+c. 由图可知，s(t)在t=l和t=3处取得极值 . 则s (1)=0, s (3)=0, 即? .?.s (t) =3t 2_12t+9=3(t_l) (t-3) ? 当tw 时,s (t)0; 当te (1, 3)时,s (t)0, 当t=l时,s (t)取得极大值4+d. 又J s (4)二4+d, ?当t e时,s (t)的最大值为4+d. ?当tw时,s(t)或d-1. 三、 解答题 10?解 : 函数f(
3、x)的导函数F (x) =x 2-ax+a-l. 令f (x)=0,解得x=l 或x=a-l. 当a-1W1,即aW2时，函数f (x)在(1, +-)上为增函数不合题意； 当a-ll,即a2 时, 函数f (x)在(-8, 1)上为增函数在(1, a-1)上为减函数在 (a-1, + )上为增函数 . 依题意应有当xe (1, 4)时,F (x)0. 所以4Wa-1W6,解得5W当xKxg时,f (x) X2 时,f (x) 0. 故f(X)分别在(0, x.), (x2, +8)上单调递增，在伉 ,x2)上单调递 (2)由知，a2?因为f(X1)-f(x2) =(X1-X2) +-a(In
4、 x-ln x2), 所以k=l+- a ?. 又由(1)知,XiX2=l,于是 k=2-a ?. 若存在a,使得k=2-a,贝lj=l?即In x-ln x 2=xi-x2.亦即x2-21n x2=0(x2 1). (*) 再rtl知，函数h(t)=t21n t在(0, +8)上单调递增 , 而x2l, 所以 X2-21n x2l-21n 1=0?这与 (*) 式矛盾 . 故不存在a,使得k=2-a. 12.解：(1)由f (c)=2 得b二2. (2)由可得f (x)二-ax+2+axln x. 从而f (x)=aln x. 因为aHO,故： (1)当a0 时，由f (x) 0 得xl,
5、由f (x)0 得0l. 综上，当a0时，函数f (x)的单调递增区间为(1, +8),单调递减 区间为(0,1); 当a0时, 函数f(x)的单调递增区间为(0, 1),单调递减区间为 (1, + )? (3)当a二1 时,f (x)二-x+2+xln x, f (x)=ln x. 由可得，当x在区间内变化时 ,f (x)、f(x)的变化情况如下 表: X 1 (1, e) e f (x) 0 + f(x) 2- 单调 递减 极小 值1 单调 递增 2 又2-2, 所以函数f(x)的值域为1,2. 据此可得，若 则对每一个t E m, M,宜线y=t与曲线y二f (x)都有公共点 . 并且对每一个t e (-oo, m) U (M, +8), 直线y二t与曲线y二f (x)都没有公共点 . 综上，当a=l时, 存在最小的实数m=l,最大的实数M=2,使得对每 一个t e m, M,直线y=t与曲线y=f (x)都有公共点 .