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1、函数的应用 ，七教学目标 ) 1、利用计算工具，比较指数函数、对数函数以及幕函数增长差异；结合实例体会直线上升、指数爆 炸、对数增 t 等不同函数类型增长的含义. 2、体验指数函数等与现实世界的密切联系及其在刻画现实问题中的作用. 芟 3 知识梳理 ) 一、解应用题的策略 : 抽象概括 实际问题 推理 特别提醒： 解答应用题重点要过三关： (1)事理关：需要读懂题意，知道讲的是什么事件， 即需要一定的阅读能力 . 如教材中讲的储蓄问题， 要清楚什么是复利，各期的本利和如何变化，即变化规律是什么，只有搞清这些问题，才能准确表达本利 和 y 与利率 / 及存期 / 的关系 . ( 2)文理关：需把
2、实际问题的文字语言转化为数学的符号语言，以把实际问题 抽象为一个函数问题 . ( 3)数理关：构建了数学模型后，要正确解答出数学问题，需要扎实的基础知识和较 强的数理能力 . 二、 解决应用题的一般程序： (1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系； (2)建模：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型； (3)解模：求解数学模型，得出数学结论； (4)还原：将用数学知识和方法得出的结论，还原为实际问题的意义. 三、 几种不同增长的函数模型 (1) 指数函数模型：y=bHl,臼 HO) (2) 对数函数模型：y=/log?/+/70,曰 Hl,刃工 0) (3) 幕惭
3、数模型： : 仔典例讲练 ) 数学模型 实际问题 的解 还原说明 数学模型 的解 类型一指数函数模型 例 1：某城市现有人口总数为100万人，如果年自然增长率为1.2%,试解答下列问题： (1) 写出该城市人口总数y(万人 ) 与年份班年 ) 的函数关系式； (2) 计算 10年后该城市人口总数 (精确到 0. 1万人) ； (3) 计算大约多少年后该城市人口将达到120万人( 精确到 1年).( 取 1. 012 10= 1. 127,logi.oi2l. 20 = 15). 解析： ( 1)1年后该城市人口总数为： y=100+100X1.2%= 100 (1 + 1. 2%)； 2年后该
4、城市人口总数为： y=100X (1 + 1. 2%)+100X1. 2%(1 + 1. 2%) = 100(14-1. 2%) 2； 3年后该城市人口总数为： y=100X (1 + 1.2%) 2+1OOX (1 + 1. 2%)2 ? 1.2% = 100(1 + 1.2) 3； 无年后该城市人口总数为：尸100X(1 + 1. 2%) (2) 10年后该城市人口数为： 100X (1 + 1.2%) ,0=112.7 ( 万) ? (3) 设年后该城市人口将达到120万，即 100X (1 + 1.2%)1=120, .?.1.012= 1.20. x= logi.oi21. 20=
5、15 ( 年). 答案： ( 1) y=100X (1 + 1.2%) ”.(2) 112.7 ( 万). (3) 15 练习 1：医学上为研究传染病传播中病毒细胞的发展规律及其预防，将病毒细胞注入一只小白 鼠体内进行实验，经检测，病毒细胞的增长数与天数的记录如下表: 天数123456 病毒细胞个数12481632 已知该种病毒细胞在小白鼠体内的个数超过10沖勺时候小白鼠将死亡 . 但注射某种药物，可杀死 其体内该病毒细胞的98%. (1) 为了使小白鼠在实验过程中不死亡，第一次最迟应在何时注射该种药物？( 精确到天，辽 2 =0. 3010) (2) 第二次最迟应在何时注射该种药物，才能维持
6、小白鼠的生命？( 精确到天 ) 答案： ( 1)笫一次最迟应在笫27天注射该种药物 . ( 2)第二次最迟应在第33天注射药物 . 练习 2：已知光线每通过一块玻璃板，光线的强度就失掉10%,要使通过玻璃板的光线的强度减弱 到原来强度的 *以下，则至少需要重叠玻璃板数为() A. 8 块 C. 10 块 答案： D B. 9 块 D. 11 块 类型二对数函数模型 例 2：燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬. 研究燕子的科学家发现，2 岁燕子的飞行速度可 Q 以表示为函数 i/=51og2，单位是 m/s,其中 0表示燕子的耗氧量 . (1) 求燕子静止时的耗氧量是多少个单位； (2) 当一只
7、燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度是多少？ 解析： ( 1)当燕子静止时，它的速度c0. 代入题中所给公式可得0 = 51og2箱，解得 0=10, 即燕子静止时的耗氧量是10个单位 . (2)将耗氧量片 80代入题屮所给公式得 80 / /、 V 51 51 og28 = 15 (m/s), 即当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度为15 m/s. 答案： ( 1) 10 (2) 15 m/s. 练习 1：大西洋鮭鱼每年都要逆流而上2 000 m,游冋产地产卵 . 研究鮭鱼的科学家发现鮭鱼的 1 V 游速可以表示为函数尸二log：，而，单位是 m/s,其中表示鮭鱼的耗氧量的单位
8、数. (1) 当一条鮭鱼的耗氧量是8 100个单位时，它的游速是多少？ (2) 计算一条鮭鱼静止时耗氧量的单位数； (3) 若鮭鱼力的游速大于鮭鱼的游速，问这两条鮭鱼谁的耗氧量较大？并说明理由. 答案： (1) 2 m/s. (2) 100 (3) A 练习 2：某地为了抑制一种有害昆虫的繁殖，引入了一种以该昆虫为食物的特殊动物. 已知该动物繁 殖数量 y( 只) 与引入时间无 ( 年) 的关系为 y=log2d+l),若该动物在引入一年后的数量为100,则到第 7年它们 的数量为 () A. 300 B. 400 C. 600 D. 700 答案： A 类型三函数模型的选取 例 3：某工厂今
9、年 1月、2 月、3 月生产某产品分别为1万件、 1.2万件、1.3万件，为了估计以后每个 月的产量，以这三个月的产品数量为依据，用一个函数模拟该产品的月产量y 与月份数/ 的关系，根 据已有的知识经验模拟函数可选用二次函数或函数y=ab x+c其中日、 b、q 为 常数) ，已知 4 月份该产 品的产量为 1.37万件，请问用以上哪个函数作为模拟函数较好，并说明你的理由 . 解析：设y = =px + qx+ 2(p#0), / 二 # + q +厂二 则 v 于(2) = 4p+ 2q +厂=1.2 , /(3) = 9# + 3q + 厂=1.3 解得 p=-0. 05, g=0? 35
10、, r=0. 7, ? f(4) =-0. 05X4 2+0. 35X4+0.7 = 1.3. 再设y2=g（x） = ab+ c 9 g（l） = ab + c = l 则 g（2） = ab2 + c = 1.2, g（3） = ab3 + c = 1.3 解得臼 =0.8,方=0.5, c=l. 4, ?g（4） =0? 8X0. 5“+1.4=1. 35, 经比较可知，用 y=-0. 8X （0. 5） A +1. 4作为模拟函数较好 . 答案： y=-0.8X（0. 5） r+1.4 练习 1：某公司拟投资 100万元，有两种投资方案可供选择：一种是年利率10%,按单利计算 , 5年
11、后 收回本金和利息；另一种是年利率9%,按每年复利一次计算， 5年后收回木金和利息 . 哪一 种投资更有 利？这种投资比另一种投资5 年后可多得利息多少万元（结果精确到0. 01万元）？ 答案：按复利投资更划算，利息多得3. 86万 练习 2：某山区为加强环境保护，绿色植被的面积每年都比上一年增长10. 4%,那么，经过 x 年， 绿 色植被面积可以增长为原来的y 倍，则函数y=f3的图象大致为（） 答案： D 心当堂检测） 1、某工厂第三年的产量比第一年的产量增长44%,若每年的平均增长率相同（设为0,则下列 结论中正确的是（） A. Q22% C. x=2澡 D. x 的大小由第一年产量确
12、定 答案： B 2、某种细菌在培养过程中，每15 min分裂一次（由 1个分裂成 2个），则这种细菌由1 个繁殖 成 旷个需经过（） A. 12 h C. 3 h 答案： C 3、某工厂生产两种成本不同的产品，由于市场销售发生变化，力产品连续两次提价20%, B产品连 续两次降价 20%,结果都以 23. 04元出售，此时厂家同时111售/ 、/? 产品各 1件，盈亏情况是（ ） A.不亏不赚 C.赚 5. 92元 B. *22% B. 4 h D. 2 h B.亏 5. 92元 D.赚 28.96 元 答案： B 4、 某企业的产品成本前两年平均每年递增20%,经过改进技术，后两年的产品成本
13、平均每年递减 20%,那么该企业的产品成本现在与原来相比（） A.不增不减B.约增 8% C.约增 5% D.约减 8% 答案： D 5、 为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒. 已知药物释放过程屮，室内每立方米空 气中的含药量 y 血）与时间方 （h）成正比；药物释放完毕后，卩与广的函数关系式为尸（令） 一 气 日为常数），如图所示 ?根据图中提供的信息，回答下列问题： （1） 从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y （mg）与时间 Z （h）之间的函数关系式； （2） 据测定，当空气屮每立方米的含药塑降低到0. 25 mg以下时，学生方可进教室，那么从药物 释放开始，至少需要经
14、过多少小时后，学生才能回到教室？ ( 一 1 10 r 0 /? 答案： (1) 1 t -7 1 ?6 10 To 衣事当堂总结 ) 匹家庭作业） 基础巩固 1.据报道，全球变暖使北冰洋冬季冰雪覆盖面积在最近50年内减少了5%,如果按此速度，设2010 年的冬季冰雪覆盖面积为加从2010年起，经过 x 年后，北冰洋冬季冰雪覆盖面积y 与 x 的函 数关系式 是（） X X .(2) 0.6 小时 A. y=0. 9550 ? mB?y=（1 0. 05和）? m C. y=0. 95 ：n_， ? m 答案： A 2. 某种型号的手机自投放市场以来，经过两次降价，单价由原来的2 000元降到
15、 1280元，则 这种 手机平均每次降价的百分率是（） A. 10% C. 18% 答案： D 3. 抽气机每次可抽出容器内空气的60%,要使容器内的空气少于原来的0. 1%,则至少要抽（参 考数据： lg20. 3010）（） A. 6 次 D. 9次 答案： C 4.某商品的市场需求量 / （万件）、市场供应量乃（万件）与市场价格*元/ 件）分别近似地满足 关系： yi = %+70,2=2*20.必=刃时的市场价格称为市场平衡价格，则市场平衡价格为_ 元/ 件. 答案： 30 5.某池塘屮野生水葫芦的面积与时间的函数关系图象如图所示. 假设其函数关系为指数函数, 并给出下列说法： 此指数
16、函数的底数为2； 在第 5个月吋，野生水葫芦的面积就会超过30】亿 野生水葫芦从 4点蔓延到 12 n?只需 1.5个月； 设野生水葫芦蔓延至2 3 6 i所需的时间分别为如如 如 则有力 +直=加 野生水葫芦在第 1到第 3 个月之间蔓延的平均速度等于在第2 到第 4个月之间蔓延的平均速 答案： 能力提升 6. 如图，由桶 1向桶 2输水，开始时，桶1 有日 L 水，t min 后，剩余水 y L 满足函数关系 y = 才, 那么桶 2的水就是y=Q 宀假设经过 5 min,桶 1和桶 2 的水相等，则再过 min, D. y= (10. 05 ；0_A ) ? m B. 15% D. 20
17、% B. 7 次 其中，正确的是（填序号） . 桶 1中的水只有 #L? 答案： 10 7. 一种产品的成本原来是 $元，在今后刃年内，计划使成本平均每年比上一年降低册，则成 本 y 随经过的年数 x 变化的函数关系为_ . 答案： y=a(l砒) “(xEN*, 且 xWz) 8. 某乡镇目前人均一年占有粮食360 kg,如果该乡镇人口平均每年增长1.2%,粮食总产量平均每年 增长 4%,那么 x 年后人均一年占有y kg 粮食，求函数 y 关于 x 的解析式 . 答案： y= 360(諜) ： 9. 对于 5 年可成材的树木，在此期间的年生长率为18%,以后的年生长率为10%.树木成材后 , 即可 出售，然后重新栽树木；也可以让其继续生长?问：哪一种方案可获得较大的木材量( 注：只需考虑 10 年的情形 ) ？ 答案：生长 5 年后重新栽树木可获得较大的木材量. 10.己知函数fx)=日玄一 2 日 x+3w4在区间 ( 1, 1)上有一个零点 . (1) 求实数日的取值范围； 32 (2) 若, 用二分法求方程fx) =0在区间 (-1, 1)上的根 . 答案： 9.0 级地震释放的能量是7. 1级地震的 708倍. 课程顾问签字 : 教学主管签字 :