《43任意角的三角函数(一).docx.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《43任意角的三角函数(一).docx.pdf（6页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、4? 3停凄绻的三缩鬲数（一） 教学目的： 1.理解并掌握任意角三角函数的定义. 2.理解三角两数是以实数为口变量的函数. 3.掌握正弦、余弦、正切函数的定义域. 教学重点：任意角三角函数的 定义. 教学难点：正弦、余弦、正切函数的定义域. 一、复习引入 : 1.在初中我们学习了锐角三角函数，它是以锐角为自变量，边的比值为函 数值的三角两数： . b a sma = cosa = c c b a tan = cota = a b 2.前面我们对角的概念进行了扩充，并学习了弧度 制，知道角的集合与实数集是对应的，在这个基础上，今 天我们来研究任意角的三角函数. 二、讲解新课： 对于锐角三角函数，
2、我们是在直角三角形中定义的，今天，对于任意角的三角函 数，我们利用平面直角坐标系來进行研究. 1.设Q是一个任意角，在。的终边上任取（异于原点的）一点P （x,y） 则P与原点的距离r = J|才+| f =+尸 0. 2.比值丄叫做a的正弦 r x 比值送叫做a的余弦r 比值丄叫做Q的正切 兀 X 比值丄叫做Q的余切y 比值工叫做a的正割 X 记作：sin a 二 :2 r 记作： cos a X r 记作：tana r =2 X Pd, y) 记作：cot a X y / 记作：sec ar X 根据相似三角形的知识，対于终边不在坐标轴上确定的角a,上述六个比值都不 会随P点在a的终边上的
3、位置的改变而改变. 当角a的终边在纵轴上时，即a = k7T + -伙wZ)时，终边上任意一点P的横坐标x都为0,所以tana、seca无意义；当角a的 终边在横轴上时，即a = k JT (r 轴的非负半 轴重合 . (2)是角Q的终边，至于是转了几圈，按什么方向旋转的不清楚，也只有这样，才能说明 角a是任意的 . (3) sina是个整体符号，不能认为是“sin ”与“Q ”的积. 其余五个符号也是这样. (4)定义中只说怎样的比值叫做a的什么函数， 并没有说。 的终边在什么位置( 终边在坐标轴 上的除外 ) ，即函数的定义与a的终边位置无关 . (5)比值只与角的大小有关. (6)任意角
4、的三角函数的定义与锐角三角函数的定义的联系与区别： 任意角的三角函数就包含锐角三角函数，实质上锐角三角函数的定义与任意角的三角 函数的定义是一致的，锐角三角函数是任意角三角函数的一种特例. 所不同的是，锐角三角 函数是以边的比來定义的，任意角的三角函数是以坐标与距离、坐标与坐标、距离与坐标 的比來定义的 . 即正弦函数值是纵坐标比距离，余弦函数值是横坐标比距离，正切函数值是 纵坐标比横坐标，余切函数值是横坐标比纵坐标，正割函数值是距离比横坐标，余割函数 值是距离比纵坐标 . (7)为了便于记忆， 我们可以利用两种三角函数定义的一致性，将直角三角形置于平面直角 坐标系的第一象限，使一锐角顶点与原
5、点重合，一直角边与x轴的 非负半轴重合，利用我们 熟悉的锐角三角函数类比记忆. 三、讲解范例： 例1已知角a的终边经过点“(2, a的 六个三角函数值 . 解：*/ x= 2, y = 3 ? ? r = 72 2+(-3)2 = 713 于是sina = r % 22V13 cosa = = = = r V13 13 3 tana = - - X 2 sec a =: X2 x 2 cola = = y 3 r V13 csca = = - y 3 例2求下列各角的六个三角函数值. 3兀 0(2) 71(4) 22 解:(1)因为当Q =0时，x= r, y =0,所以 sin0=0cos0
6、=ltan0=0 cotO不存在 secO二1cscO不存在 (2)因为当a =只时，x= r, y =0,所以 sin =0 cos 刀=1 tan =0 cot 乃不存在 sec “ = 1 esc 不存在 时，x=0, 例4己知角a的终边经过P( 久-3),求2sina+cosa的值 己知角a的终边经过P(4a, -3a),( 狞0)求2sina+cosa的值 、3 4 2 解：( 1)由定义 :r = 5 sina=cosa=.e.2sina+cosa= 5 5 5 a030 456090120135150180270360 弧度 sin a cos a fga ctga sec a
7、esc a sec 不存在 2 例3填表： 3乃 1 sin二-1 2 sec不存在 2 (4)当ot二壬 时 3龙 cos 2 1 2 吨不存在 =0 CSC x = 0.y = r,所以 sin 二1 tan 不存在 2 cot =0 2 cos =0 2 71 esc =1 2 cosxHO.x的终边不在x轴上解：定义域： 又? tanxO ? x的终边不在y轴上 当x 是笫I 象限角时，X 0, y 0 cosx二 | cosx | tanx= | tanx | /? y=2 当x 是第II 象限角时，x 0 | cosx | 二一cosx | tanx | =-tanx /.y=-2 当x 是第III象限角吋，X 0, y 0r = 5a贝1si not cosa= /2sina+cosa=- 555 若a 0 r 3 =5a贝I 4 cosa 二 2 .2s in a+cosoF 555 求函数y = 的值域 凹+止 cos x tan x 答案: 65 “y - 域，任意角的三角函数实质上是锐角三角函数的扩展，是将锐角三角函数中边的比变为坐标与 距离、坐标与坐标、距离与坐标的比，记忆方法可用锐角三角函数类比记忆，至于三角函数的 定义域可由三角函数的定义分析得到 .