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1、5.9已知三角函数值求角 教学目标 1.理解反正弦函数的意义，并会用反三角符号表示角. 2.掌握用反三角表示0,2龙中的角 . 教学重点 1.根据已知三角函数值确定0,2龙范围内的角 . 2.对反正弦函数概念及其符号的正确认识. 3.用符号arcsinx表示所求的角 . 教学难点 用符号arcsin x表示所求的角. 教学方法：启发引导式、讲解式. 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教 具：多媒体 教学过程设计： 1.设置情境 由函数f(x)的定义知，对定义域A中的任意元素x,在值域B中都有一个y使y=f (x), 我们知 道，y=f(x)存在反函数 . 到目前为止，我们已经学习了正弦、余弦
2、、正切三种重要的三角函数. 试问，三也函数是否具有 反函数属性，即能否用三角函数值反映角的人小呢？如果能，乂怎样表示呢？本节课就来讨论这个 问题. 2.探索研究 请同学们回忆一下：兀+ Q, 7i-a , 27V-a , - a的诱导公式 . 师：sinO a) = sina , cos(2 -?) = cos a , tan( + 别表示 龙一a 与a正弦 值相等，与a余弦值相等，Ti + cc与a正切值相等，能否说明它们表明的角也相等？为什么？ 牛：不能，因为在0 间已知的三角函数值一般都冇两个角度和它相对应. 师：对，同学们知道，利用诱导公式，我们可以求的任意角的三角函数值；反过來，如
3、果已知一个角的三角函数值，我们利用诱导公式也能求出0,2龙内与之对应的角. 这两个过程是 互逆的，己知角x求它的正弦值、余弦值、正切值是唯- 的，而已知角的正弦值、余弦值、正切值求 角在不同范围内可以是一个、两个、也可以是无数多个不同的解. ( 板书课题：已知三角函数值求角) 请同学们观察图像： 回答下列问题 (1)y = sinx在- 龙, 乃上的一段图像与直线y二丄的交点有几个 ? (2)在区间一龙，龙里，满足sinx = -的兀有儿个？ JT 7T (3)在区间一，一里，满足sinx = 一的兀有儿个？ L 2 22 师生共同分析 : (1)交点有两个 . JI 1 (2)我们知道：si
4、n =, 6 2 JI 1 又根据诱导公式得 :sing- 一) = -, 6 2 TT 、兀 因此，所求兀得值为工和 6 6 TT TT 1 7T 的兀只有 - 个值，它是7在区间里， 满足 gp 7C 71 Qnsinx= ILx G 71 71 T7 求兀? 解：由正弦函数在闭区间 上是增函数和叫吟，可知符合条件的角有 师生共同分析 : 且只有一个，即一 ?于是 4 71 X- 4 例2 已知且兀w0,2/r,求兀 . 师生共同分析 : 徽因为咽“亍。，所以建第一或第二象限角，由正弦两数的单调性和 ? / 兀、.71 V2 sin（7r- ） = sin = 4 4 2 7T TT3/T
5、 可知符合条件的角有且只有两个，即第一象限角丝或第二象限7T-即二上 ?于是所求的 4 4 4 角的集合是 F面给出反正弦函数的概念: 一般地，对于y = sin兀的值域-1,1中每一个元素b,在区间-咋里，只有一个 就有反苗数，记作：y = arcsinx ,称为反正弦函数 . 反正弦函数y = arcsinx的定义域是值域是，一? “ L 2 2. 注意：arcsin x表示的意义 arcsin x表示一个角，角的特点是 角的正弦值为兀，因此角的大小受兀的限制； TT TT 并不是所有满足sina=b的角都可以，只能是在aw 范围内满足 _ 2 2_ sina = b的角； 由于兀为角的正
6、弦值，所以兀的值在-1,1范围内 . 71 71 角cH吏得sincr =/?,因此，把函数j = sinx的定义域限制到区间上，这个两数 2 2 2,2 .72 . 721 arcsin ,兀一arcsin 2 2 3.巩固练习 : arcsin*是什么意思 ? （3）若 si三 参考答案 : x = arcsin0.7,这个x不是特殊角，故只能这样抽象表示了. TT TT 在区问内求角? 解:a = arcsin = 0.412. 5 TT TT 例4已知甌7.768,在区间内求角 . 解：a - arcsin(-0.768) ? -0.876 . 4.小结： 例如: 71 . V2 =a
7、rcsin 4 2 3兀.V2 =7i arcsin . 4 2 那么，例2的答案可以写成 (2)若sinx V3 2 (1) arcsin 表示 2 71 71 上正弦值等于 *的那个角 , 7T 其实应是 纟, 6 故记作 : 1 arcsin = 2 7t 6 这个兀应是送 因为-arcsin.(-T) 71 （1）反三也函数的概念值屮学数学较难理解的概念之一，它之所以难以理解是由于三 角函数在其整个定义域内并不存在反函数，只是在某一特定区域内存在反函数，因此反三角 TT TT 函数的值域也被限制在某- 区间内，这个区间常称为反角函数的主值区间，如巧,3为 反正弦的主值 区间 . 解题岀错，往往是主值区间概念不清. （2）用反三角函数表示0,2龙内的角x. 己知sinx = , 那么 7T a = 1 n寸，x = 2 JI、JI (2)0 a 1时，x = arcsina e (0，一) 或x = 7i - arcsina G ( 一，兀 ) ? 67 = 0时，X = 0或兀 =龙? 3/r 、 3TT -l a 0 时，x = 7t - arcsin a G (TT, ) 或兀=2兀 + arcsine G (，2/r). 2 2 5.板书设计 已知三角函数值求角 1 ?诱导公式3. 反正弦函数定义 2.例题 4.练习 (1) (2)