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1、函数的奇偶性 岳 知识讲解 一.禽敎奇偶住的虧乂 1?奇函数：设函数 )=/( 兀) 的定义域为D , 如果对于D内的任意一个兀， f(-x) = -f(x), 则这个函数叫做奇函数 . 2 ?偶函数：设函数y = fM的定义域为), 如果对于D内的任意一个兀， /(-x) = /(x),则这个函数叫做偶函数 . 二.奇偶甜缺的囹彖特征 1.函数 y=f(x) 是偶函数 o“/ 的图象关于轴对称； 2.函数 y / 是奇函数 o/ ( 兀) 的图象关于原点对称 . 三.判瞬禽敎奇偶槌的方法 i?定义法： 首先判断其定义域是否关于原点屮心对称. 若不对称，则为非奇非偶函数； 若对称，则再判断 /
2、(-X)= -/(兀) 或f(-x) = f(x)是否为恒等式 . 定义的等价形式：fM /(-%) = 0 , - = 1. /(X) 2 ?图象法 都有-xe D r 且 都 3?性质法：设/( 兀) ，g(兀)的定义域分别是久Q，那么在它们的公共定义 域 D=U 2上: 奇奇 =奇，偶偶=偶，奇乂奇 =偶，偶乂偶 =偶，奇乂偶 =奇； 四、奇偶禽敎的槌质 1?函数具有奇偶性= 其定义域关于原点对称； 2.函数“八兀）是偶函数o）匸fM的图彖关于轴对称； 3.函数 = 是奇函数的图象关于原点对称. 4.奇函数在对称区间上的单调性相同；偶函数在对称区间上的单调性相反. 5.若奇函数）匸/ 的
3、定义域包含0,贝M（）= . 扎、纟见禽敎的奇偶槌 1.正比例函数y = W*0）是奇函数； 2.反比例函数y = - （k0）是奇函数； 3.函数y = kx + b伙h00工0）是非奇非偶函数； 4.函数y = ax 2 + c （a 丰0）是偶函数； 5.常函数歹 =。是偶函数； k 6?对勾函数y = x + -伙工0）是奇函数； 爲 Q经典例题 一，镇空龜(坎12小龜丿 1.给定四个函数：y=x 3+饭； y=- (x0 )；y=x 3+l ；丫二 - - . 其 X X 中是奇函数的有 ( 填序号 ). 【解答】解： : 函数的定义域为R,则f (- x)二- (xW)二-f (x
4、), 则函数f (x)是 奇函数； 函数的定义域关于原点不对称，则函数f (x)为非奇非偶函数； 函数的定义域为R, f (0) =0+1 = 10,则函数f(X)为非奇非偶函数； 咒兀2+1 函数的定义域为 (- , 0) U (0, + ), f ( - x)= - 二 - 二-f -% x (X),则函数f(X)是奇函数， 故答案为： 2?f (x)是定义在R上的奇函数，当xVO时，f (x) =x 2 - 3x,则当 x0 时?，f (x) = _ X? _ 3x ? 【解答】解：?f(X)是定义在R上的奇函数， /.f (?x) = - f (x), 若x0,则-x2a2 - 2a+
5、3, 即3a - 20,解 2 2 可得a?则a的取值范围 ( ？ + ) ； 2 故答案为： (-,+8)? 6?已知定义在R上的奇函数f (x)满足f (x) =X 2+2X (X$0),若f (3 - 3 a 2) f (2a-a2),则实数 a的取值范围是 - ? 2 【解答】解： ?函数f (x) =X 2+2X (X20)是增函数， 且f (0) =0, f (x)是奇函数 ?f (x)是R上的增函数 . 由f (3-a2) f (2a-a2), J，是3 - a 22a - a2, 因此，解得a 1 吋，f(X) 1 (1)求f (1)的值； (2)求证：f (x)在(0, +
6、)上是增函数； (3)若f (16) =3,解不等式f (3x+l) W2? 【解答】解：(1)令XI=X2=L r.f(1)二f(i)+f (i) -1 ?f(1)=i, (2)：设令0Vxi1,当xl 时，f (x) 1 ?f ( ) 1, X2%? .*.f ( ?X) =f(X2)=f() +f(X) - 1 f (Xj ), %! Af(X)在(0, + ) 上是增函数； (3)令X1=X2=4, ?f (16) =f (4) +f (4) - 1=3 ?f (4) =2, ?f (3x+l) W2二f (4), ?f (x)在(0, +8)上是增函数； ? (3x4-10 * (3
7、x+l 0, y0)?则不等式f (x+3) 0, y0), y 令x=36, y=6,得 f (36) - f (6) =f (6) :.f (36) =2f (6)二2, 1 Vf (x+3) 0 x0 x(x + 3) 0时f（x）0,f（2）=l.解不等式f（2x2 - 1X2的解集为 【解答】解 :Vf（X1+X2）=f（X1）+f （X2）, 设xi=X2=0,可得f (0) =2f (0),解得f (0) =0, 令 X1+X2=O,可得f (0) =f(X| ) +f(X2), 即有f ( - X)=-f (x),即f (x)为奇函数； 令XVX2,即有X2 - X|o, f(
8、X2 - Xj ) 0, 即为f(X2)=f(X+X2 - X1)=f(X ) +f (x2 - Xi ) f(X), 即有 f (x)在R上为增函数； 令XLX2=2,可得f (4) =2f (2),解得f (4) =2, ?不等式f (2x 2- 1) 0 (4)f (x) = 0,兀=0 ? %2 1 / % 0 (4)f (x) = 0,兀=0 ， %2 1 / x0 吋，- x0,可得f ( - X)=1 - ( - X)2=1 - x2= - f (x), 即有f ( - x) = - f (x), 可得f (x)为奇函数 . 16.判断下列函数的奇偶性 (1)f (x) =a (
9、aGR) (2)f (x) = (1+x) 3 - 3 (1+x2) +2 (3)f(x)扌 (x(l + %), x0 【解答】解：(1)由奇偶性定义当a=0时，f (x) =0既是奇函数又是偶函数， 当aHO时，f (x) =f ( - x) =a,故是偶函数； (2)f (x) = (1+x) 3 (1+x2) +2=X 3+3X ,由于f (x) +f (? x) =x 3+3x+ (-x) b3 ( - x) =0,故f (x)二(1+x)匚3 (1+x2) +2 是奇函数 . (3)当x0, f (-x) = -x (1-x) = -f (x)；当x0 时， -x0 数. (1)求
10、实数a, b的值; (2)判断函数f (x)在(-g, - 1上的单调性，并加以证明. 【解答】解：(1)函数门尢 )=霊￥是奇函数，且/(2) = 可得f ( -x) =-f (x), r ax 2+2 ax2+2 即为产 - , 3xb3x+Z? 可得-3x+b= - 3x - b, 解得b=0； 一4Q+2 5 解得a=2； 2X2+2 (2)函数f (x)= - 在( ?- 1上单调递增 ; 3x 17. 已知函数f(x)= a%2+2 3x+b 是奇函数 , 理由：设X1 1, 1 即有1 - 0, Xi%2 则f(X1) - f(X2)0,即f(X1)f(X2), 则f(X)在(- 8, - 1上单调递增 . 18.已知f (x)二? 1+% 1 (1)求f (x) +f (-)的值; % 1 1 (2)求f (1) +f (2) + +f (7) +f (1) +f (-) + +f (-)的值. 2 7 x 【解答】解：(1) Vf (x)= ? 1+% 1 1 X X 1 ?f (x) +f (-)= + 1, X 1+X 1+ l+x 1+X X 1 1 (2)由(1)得：f (1) +f (2) + +f (7) +f (1) +f (-) + +f (-) =7- 2 7