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1、第八章 . 多元函数微分法及其应用 第一节多元函数的基本概念 教学目标：掌握多元函数的概念，掌握二元函数的几何表示、极限、连续的概念，以及有界 闭区域上连续函数的性质. 课时安排：2课时 重点：多元函数的极限、多元函数的连续性 难点：多元函数的连续性 教学法：讲授法 一.平而点集n维空间 1?平面点集R2=R R=(x,y)|xGR,yGR),坐标系平面； Def：坐标平面上具有某种性质的点的集合。 记为E二(x, y)|(x,y)是具冇某种性质p 如: 圆内：(x,y)|x 2+y2()。与p()的距离小于的点p(x,y) 的全体称为点p。的邻域， 记为：U(p()0) = P|PP()|v
2、 = (x,y)| J(x-x J +(y-y。) v 冲 注： 几何上：圆内部的点全体； (2)U(p0),U(p0)o 内点，外点，边界点 i内点：若日点P的某个邻域U(p)s.LU(p)uE,则称P为E的内点； ii外点：若点P的某个邻域U(p)s.t.U(p)nE=0，则称P为E的外点 ; iii边界点：若点P的任一邻域内既含有属于E的点，又含有不属于E的 点， 则称P为E的边界点 注：(1)E的边界点的全体，称为E的边界，记作0E； (2)内点wE,外点0E,不边界点不一定； (3)VPGR2ffE(=R2,三种关系必具之一。 聚点：如果V50,l(p,5)内总有E中的点，称P为E的
3、聚点；注: 聚点可 以eE,也可以0E, E=(x,y)/x 2 + y2l是开集，非区域 , 2. n维空间 Def：取空n eN*,称规定了线性运算的n元数组x =(xpx2, . xn)的全 体Rn =R R .R = (X,X2, ?%), Xj wR,i = l,2, ?为n 维空间 , 注:(l)R n； (2)x为一个点； Xj为第i个坐标 . 线性运算：Vx,yeR, (1)x + y = (x1+y1,-xn+yn)； (2)/lx = (AXj,2x2,- /lxn),2 e R。 距离：P任，刃 =J(X| -yj2 +区-yj ; 邻域，区域，内点，开集等类似可定义。
4、二.二元函数 非区域 ; 二元函数的概念 i定义：设DoR2,若存在映射f： DTR称f是由D确定的二元函数 , 记作:z = f(x,y),(x,y)wD ii注意问题：(1)D为定义域，f：法则(或映射 )； (2) z = f(x,y)的图形为空间的一个曲面, 如：z = x2 + y20 iii定义域的求法： ( 自然定义域 : 使得对应法则有意义的数对集合) 例1.求z = arcsin(x 2 + y2)的定义域； 解：x2 + y 2 i, . ? . 它是一个单连 通的闭区域。 例2.求z = Vx ln(x + y)的定义域 ; 例3.设z=xf 且x H 0,当x二1, Z
5、二Jl+y2,求f及乙lx丿 解：z二xf , x二1, z二f (y)二Jl+y?对应法则，而口) = J1+ 2, I x丿 / 、 已知f x + y, 0 且x+y0 / 、 x 0 x 0,捞0,使得 0Oty-O lim x-O,y-O 0 x2+0 lim xT0,y- 0 f(x, y)不 m k x 2 1极限存在（反之不成立）； 、f（x,y）在（Xo，y ）连续 nf(x,y)在x=x处连续，f(x ,y)在尸y处连续 ; 说明二次函数在(x ,y )处连续一 ?定能推出此结论，反之不能。 、 ,(x,y)丰(0,0) 反例：f(x,y)= x 2-f-y2 Vk 丿，在
6、(0,0)处不连续 0, (x,y) = (O,O) 而f(x,0)= 0在x二0处连续；f(0,y) = 0在y二0处连续 、间断点： (1)、従义：不连续的点称为间断点； (2)、注意：多元函数的间断点可以为点，也可以是线。 如:i、f(x,y)= 2? 2在(0,0)处间断 ; “、心沪亍Ai在宀鬥上间断； ( 形成一条线 ) 、多元初等函数的连续性 (1)、多元初等函数的定义( 三耍素 )： i、 用一个式子表达； ii、 用常数和具有不同自变量的一元初等函数; 说、有限次四则 运算和复合运算形成的。 、多元函数在其加义域内均连续。 、闭区域上多元连续函数的性质： 、最值定理：闭区域上
7、的连续函数在此区域上一定取得最大值、最 小值； (2)、介值定理：闭区域上的连续函数在此区域上一定取得介于最大值、 最小值之间的任何值； 五、例题分析：求极限 求极限的方法：、利用连续性； 、转化成一元函数方法求出(多元函数无洛必达法则) 。 、ln(x+ey1 例1：求lim - - ； M x +厂 解：原式二ln2 ( 原理：利用了连续性 ) 如: arcsin e 例2： 解：令p=Jx? + y2 TO（Q即为p到p两点之间的距离公式）原式 =lirn/?sin- = O（无穷小乘以有界量） 例3： lim（x + y）sincos； F x y y-0 J 解：原式 =lim _ 、 E?xy(Jxy + l + l) ex： pl2 6 (2 . 3 . 5) 1 - cos(x? + y 2 2 2 x +y 1 = lim-z- = 0 QtO p- =1 lim E x+ y 例4： 解：00 （夹边原理） 臥n制采用根式有理化 ; xy 例5： iimexVi-cos(v+r) x-?0 y-0 2 2 x +y 解: 原式=lime x y lim XTO XTO y-0 yTO l-cos(x 2 + y2