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1、例31. 若平面a、0耳相垂直，贝9( (A)Q中的任意一条直线垂直于0 (C)平行于a的直线垂直于0 (B)a中有且只有一条直线垂直于0 (D)a内垂直于交线的直线必垂直于0 例32.如图，平面a丄平面0, aCft=l,人丘0, B“,且与/ 所成的角为60 ，A、B 到/ 的距离分别为1、 V3,则线段AB的长是 () (A)4 (B座(C)巫(D)V3 3 3 例33.如图，正方体ABCD A.BiD,屮，E是BC的屮点，连结DiE,则二面角D_B、E_C 的正切 三面角与面面垂盘 . - . 厂) 判定定理 (map 1.二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形，叫做二面角?如
2、图二而角a1p 傕贡定 理 二面角的平面角：以二面角a l 0的棱/ 上任意一点o为端点，在两个半平面弘0 内分别作棱 的垂线OA、0B,这两条射线OA、0B所成的角ZAOB叫做二面角的平面角 . 直二面角：平面角是直角的二面角叫做直二面角. 2. 两个平面互相垂直：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个 一 面 角 及 平 面 与 平 面 垂 直 平面互相垂直 . 即二面角a-l-0的平面角ZAOB为90“=仅丄0 ( 1)两个平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面互相垂直. B|J a u a 丄 0 两个平面垂直的性质定理：如果两个平面垂直
3、，那么在一个平面内垂直于它们交线的 a丄0 ,ar/3 = l 直线垂直于另一个平面 . 即 “ “ 丄0 ci ua丄/ 注: 找二面角的平面角的方法主要有： 定义法：直接在二面角的棱上取一点( 待殊点)，分别在两个半平面中作棱的垂线，得岀平面角， 用定义法时，要认真观察图形的特性. 三垂线法 : 已知二面角其中一个而内一点到另一个而的垂线，用三垂线定理或其逆定理作出平而 角. 垂面法：已知二面角内一点到两个面的垂线时，过两垂线作平血与两个半平面的交线所成的角即 为平面角，由此可知，二面角的平面角所在的平面与棱垂直. 射影法：利用面积射影公式：cos (3)在线段PB上是否存在一点 两个底面
4、与平行于底面的 截面是对应边 互相平行的全等多边形 ; 过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形. (4)平行六面体与长方体： 概念：底面是平行四边形的四棱柱叫平行六面体; 侧棱与底面垂直的平行六面体叫直平行六面体 ; 底面是矩形的直平行六面体叫长方体. 棱长都相等的长方体叫正方体. 性质定理： (I)平行六面体的对角线交于一点，并且交点处互相平分. (II)长方体的一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱长的平方和. 即设长方体的长、宽、高分别为a、b、c,对角线长为 /, 则/2=a2+ 女口果直棱柱的底面面积是S,高是/?, 那么它的体积是v直棱柱二S/z. 斜棱柱的侧面积和体积公式: 如果斜
5、棱柱的直截面 (垂直于侧棱并与每条侧棱都相交的截面)的周 长为C,侧棱反为那么斜棱柱的侧面积是S斜棱柱沪C/;如果斜棱柱的直截面的面积为S,侧棱长为Z, 那么它的体积是V斜棱柱=Sz. a =2b,a 2= A,b ,a 3= R) ? = = b b 2 b、 a 丄b ab+a2b2+a3b 3= 0 ? a = yja-a = yja 2+ a = Jaa) 设人黑刃冲” 0A与平面SBC的夹角0 (用反 三角函数表示 )； 0到平面SBC的距离 . 空 间 向 量 及 其 运 算 设Z =( i “,$)满足Z丄立且 ?丄西 . 填写: Z的坐标为 异面直线SC、OB的距离为 ( 注：
6、只要求写出答案) 数学基础知识与典型例题(第九章直线、平面、简单的几何体) 答案 例 1.C 例 2.A 例 3.D 例 4.A 例 5.D 例 6.B 例 7. U,W,W, 二,g,U,W 例&8 例 9.4 例 10.解: T C=d,Z%C=45 , ? ?AC=a t AI3= y/l a,/AI3D 中，AB= 2 a, ZDAB=30 , ? BD=匹,AD-还 a,作CE/AB,且CE-AB,；. ZBCE=135，则BE=肩a,乂 CD逅 d,.；BE= 5 at 3 3 3 DE=莎a：ZDCE是佔与 CD 所成的角或其补角 , 二 cosZDCE= 兀 + 力-加 =_
7、迥, cos妇顾. 3 2DC? EC10 fo 例 11. D 解析：方与。可能相交，可能平行，也可能方在a内，故选 (D) 例 12.C例 13.C 例 14.C 例 15.D 例 16. 1个，无数个例 17. 20 例 18. 3 例 19.过 F 作 FG 丄于 G, FG/AE, FG=LAE,乂 CD 丄平而 ABC, AE 丄平而 ABC,二CD/AE, CD 2 =丄人,?-FGHCD, FG=CD,：.四边形 CDFG 是平行四边形，DF/CG, CGU 平面AC,DF/平面ABC ； 2 (2) RtAA5E 中，AE=2a, AB=2a, F 为BE 屮点、,AFBE,
8、又DF丄FG, DFAE,DF 丄平面ABE, DF1AF, X BE1AF, :.AF丄平面BDF, :.AF丄 例 20.解析： (1)欲证 EG平面 BBQQ,须在平面 BBQQ 内找一条 L EG 平行的直线，构造辅助平面BEGO, 及 辅助直线 30，,显然 BO,即是. (2)按线线平行 = 线而平行 =而而平行的思路，在平而内寻找BQ】和 OH 两条关键的相交直线，转化为证 明：B|D|平 JfriBDF, CTH 平面 BDF。 为证 AQ 丄平血 BDF,由三垂线定理，易得BD 丄 AQ, 再寻 AQ 垂直于平面 BDF 内的另一条直线。猜想AQ 丄 OF. 借助于正方体棱长
9、及冇关线段的关系计算得：A.O+OFWjF/A,0 丄 OF. (4) J CG丄平面AC ：. CC丄 BD 又 BD 丄 AC ? ? BD 丄平面 AAC 乂 BDU 平面 BDF .: 平面 BDF 丄平面 AAC 例 21.B 例 22.A 例 23.B 例 24.A 例 25.A 例 26.A 例 27.C 例 28. 例 29. 45 例 30.分析：此题数据特姝，先考虑数据关系及计算、发现解题思路. 解 丁 PAIAB, ?ZAPB=90 在 RtA APB 中, T ZABP=45 ，设 PA=a,则 PB= “AB=血 a, VPB 丄 PC,在 RtAPBC 中，VZPB
10、C = 60 ,PB=a,? .BC=2a,PC= 丄 PC, ?在Rt APC 中，AC= J PA? + PC? = J/ +(7Q)2=2A (1) VPC 丄 PA,PC丄 PB,? ? PC丄平面 PAB, ABC 在平面 PBC 上的射影是 BP. ZCBP 是 CB 与平面 PAB 所成的角 VZPBC=60 ，/.BC 与平面 PBA 的角为 60 . (2) 由上知， PA = PB=a,AC=AB=2a.:. M 为 AB 的中点 , 则 AB 丄 PM, AB 丄 CM. A AB 丄平面 PCM. 说明: 要清楚线而的垂直关系，线而介的定义，通过数据特点，发现解题捷径.
11、 例 31.D 例 32.C 例 33.B 例 34.C 例 35.D 例 36.C 例 37. arccos-例 38.届例 39. 3 2 例 4O.（1）TPD 丄底面 ABCD.MC 丄 PD 又：?底面ABCD 为正方形， :.AC丄 BD 而 PD与 BQ 交于点 D :.AC丄平而 PBD 又 ACU 平面PAC,?平面用C 丄平面PBD . （2）记 AC 与 3D 相交于 0,连结 P0,由（1）知，AC 丄平面 PBD ?PC在平而PBD内的射影是P0,：?ZCP0就是PC与平面PBD所成的角 , ?: PD=AD ；在 RtAPDC 中，PC=2 CD,而在正方形ABCD
12、中， 171 OC=-AC= CD,?在RtAPOC 中，有 ZCP030 0 ?即PC与平面 P3D 所成的角为 30 ? 22 （3）在平 HU PBD内作DE丄PO交PB于点E,连 AE,则 PC丄平 iW ADE.以下证明：由（1）知，AC 丄平面 PBD, :.AC丄DE,又P0、AC 交于点 O,: ? DE丄平面 P1C, ?丄PC,（或用三垂线定理证明）而PD 丄平 而ABCD, ?PD丄 AD XVAD 丄 CD :-AD丄平面PCD, :.AD PC, :.PC丄平面ADE,由 AC 丄平面PBD, ?过点0作 OF 丄 DE 于 F,连AF,由三垂线定理可得， AF 丄D
13、E, :. ZOFA是二而角AED B的平而角，设 PD=AD=a 9在 RtAPDC 中, 求0F= 么而AO=返 * :.在 RtAAOF 中，ZOFA=60 0 , 即所求的二而角 AED B 6 2 为 60 . 例 41.B 例 42.A 例 43.D 例 44.C 例 45.C 例 46.A 例 47. CrCAB 或 ArABC 等 例 48. 30c加 例 49.拆 V 依题意知，这四点为一个正四而体的顶点，球为该四而体的外接球；所求距离为内接球半径，两球同 心，距离 为四面体高的丄。 4 例 50.解 （1）如图 8-16,连结 AQ,则 AQ 丄底面 A3CD。作 OM 丄
14、 A3 交 A3 于 M,作 ON 丄 AD 交 AD 于 N,连结 AM AN 由三垂线定得得AM 丄 AB, A）NAD。T/A/M=ZA/N, ARtAA|NARtAA|MA, ?AiM=AN 从而 OM=ON。 ?：点O 在ZBAD的平分线上。 (2 ) VAM=A4ICOS =3X 丄=2 , AAO=AMsec = 2 J2 /19作点 A 关于“、“ 的对称点 A】，A2, AA? 的长度即为所求最短距离. 例 60?解：以Ad 为无轴， A? 为 y 轴，人力为 z轴建立空间直角坐标系 （1）设 E 是 BD 的中点， TP-ABCD 是正四棱锥 ,?PE丄ABCD 乂AB =
15、 2、PA = H : ? PE = 2?P（1, 4） ?: 丽 =（一 22（） ,丽=（1 丄 2） ?: BD AP = 0 即 PA 丄 色卩 (2)设平而PAD的法向量是加 =(兀 y,z),?而=(020),丽=(1 丄 2) ?: y = 0,x + 2z = 0,取 z = 1得 m = ( 一 2, ， 1) ，又平面BDD BX的法向量是n = (1,1,0) ,? ? ?cos V -亠旦“ 逅, ? S arccos耍 (3) VB.A = (- 2,0.2), ? 3| 到平面 PAD 的距离B m 6 厂d = =-V5 m 5 16 例 61.B 例 62.A
16、例 63.B 例 64.D 例 65.C 例 66.C 例 67.或一 11 例 68.10 3 例 69.是 例 70.解: 如图所示 : C (2,0,0), S (0,0,1), O (0,0,0), B (1,1,0) ?. SC = (2,0,-1),OB = (1,1,0)? ?. cos = / 厂=,a = arccos V5-V2 5 5 (2) ? 5B = (1,1,-1),CB = (-1,1,0) -h丄SBC p=lg=Z? =(l,l2) 过。作OE丄BC于E,则3C丄面SOE,?SOE丄SAB 又两而交于 SE,过 O 作 OH 丄SE于H,则 OH 丄 SBC
17、,延长 OA 与 CB 交于 F,则 OF = 2连 FH,则 ZOFH 为所求 , 乂 OE = ASE = /3 OH = “ - =?. sin 0 = 0 = arcsin SE命 3 “ 2 6 “ 6 ?k的坐标为 (1,-1,2) : OH= 9、当遇到失败时，你就“疯狂地自信”吧！ “苦就是甜！ 坏事就是好事！逆境就是训练！失败就是财富！灾难就是潜能开发！有这样的疯 狂人生观 , 你就一定能成功！” 当你失败时，你是保持笑，还是保持哭？ 看一个人是不是一个真正的强者、硬汉，不要看他在胜利时的表现，而是要看他失 败时的表现。 巴顿将军曾说：看一个人的成功，并不是看他在巅峰的时候，
18、而是要看他从巅峰跌 入低谷吋的反弹力。 2004年奥运会，全世界的人都被中国女排反败为胜的大逆转惊呆了。 在俄罗斯队连赢中国队两局后，却看见中国女排反而在场上欢快地绕着跑、相互在击 掌，好像自己胜了两局一样，教练陈忠和脸上竟然还堆满了笑。 而己经赢了两局的俄罗斯女排教练，此时却虎着脸对队员痛骂，冲着自己的队员怒 吼，天知道为什么俄罗斯主帅赢了球，却还哭丧着脸，让俄罗斯女队开始怀疑起了自 己，也都莫名其妙地都哭丧起脸来，越打越差。 结果神话诞生了，中国女排在先失两局的险境下，连扳3局大逆转，战胜了只差一 局就可夺奥运金牌的俄罗斯女排。 教练陈忠和说：“丢掉头两局后，我就告诉队员，你们就按已经输了一样地打！大 家心态放松了，就越打越勇，越打气势越盛了。” 队长冯坤说：“丢掉两局时，我们也没有丧失获胜的信心。” 这就是成功者的特质，强者的性格，失败了多少回不重要，重要的是在失败时，还 能保持开心、放松、自信的心态，才有可能从失败中，再一次地站起来。 所以，不是成功者不会失败，而是成功者善于反败为胜，并口还能： 经历一个又一个失败后，仍然保持着热情万丈一一这就是成功者的特质。 Success is going from failure to failure , without losing your enthusiasm?