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1、高考复习指导讲义第尢章直线 一、 考纲要求 1.理解有向线段的概念 ?掌握有向线段定比分点坐标公式，熟悉运用两点间的距离公式 和线段的屮点坐标公式 . 2.理解直线斜率的概念，学握过两点的直线的斜率的公式，熟练掌握直线方程的点斜式, 掌握直线方程的斜截式、两点式、截距式以及直线的一般式?能够根据条件求出直线的方程. 3.掌握两条直线平行与垂直的条件. 能够根据直线的方程判定两条直线的位置关系. 会 求 两条直线的夹角和交点 ?掌握点到直线的距离公式. 二、 知识结构 1?冇向线段 - 条有向线段的长度，连同表示它的方向的止负号，叫做有向线段的数屋. 有向线段 AB的数量用AB表示 . 若冇向线
2、段AB在数轴上的坐标为A(xJ, B(xJ,则 它的数量AB=X2-XI 它的长度I AB | = I x 2-x)I 平而上两点间的距离设P】(x】,yJ,P2(X2,y2)是坐标平面上的任意两点，则它们的跖离I PR I =7(x2 -xj 2 +(y 2 -y,) 2 当P1P2丄Ox 轴时，I PiP 2 I = I y2-yi I ；当PR丄Oy 轴时，I PR I = I x 2-X1 | ；点P(x, y) 到原点0的距离，丨OP |二Jx?+y2 . 三角形的中线长公式 如图，A0是AABC的BC边上的中线 . 则I AB | 2+ | AC | 2 =2 I AO | 2+
3、| 0C | 2.线段的定比分点 冇向直线1上的一点P,把1上的冇向线段晅分成两条冇向线段帀分成两条冇向 定比分点公式若P“ P?两点坐标为(x, Y1), (x2, y2), 点P(x,y)分有向线段RP2成 定比 则P点坐标 X. +/lx 9 x= - 线段PP?，则RP和PP?的数量之比 PP? 刖 pp2 （入H-1）, (1) .中点公式设Pl(X1, yi), P 2(X2, y2), 则P1P2的中点P(x, y)的坐标是 2 2 (2)三角形的重心公式若AABC的各顶点坐标分别为A(X1, yi),B(x2, y2),C(x3, y3), MA ABC的重心G (x, y)的
4、处标是 3.宜线的方程直线方程的儿种形式 名称已知条件方程说明 斜截式 斜率k 纵截距b y二kx+bx 不包括y轴和平行于y轴的直 线 点斜式 点Pl（Xi, Vi） 斜率k y-ypk （x-xi ） 不包括y轴和平行于y轴的直 线 两点式 点Pl（X1, V1 ） 和P2（X2, Y2 ） y-Ji _兀一州 x 儿x,-兀2 不包括坐标轴和平行于坐标轴的 直线 截距式 横截距a 纵坐标b a b 不包括坐标轴，平行于朋标轴和 原点的直线 一般式 Ax+By+C二0 A、B不同时为0 两条直线的位置关系当肓线不平行于坐标轴时: 、 位置 li : Aix+Biy+Ci=O L : A2x
5、+B2y+C2二0 1】与】2组成的 方程组 平行O ki=k 2且 bib 2 A - 工G A7 B2 C2 无解 重合 O ki=k 2 且bi=b 2 A _ d _ G A，2 BQ C*2 有无数多解 相交 kiHk2 A2 B2 有唯一解 垂直 O ki ? k 2=“l A1A2+B1B2 0 两条直线的交角公式 (1)直线h到12的角 直线h依逆时针方向旋转到与12重合时所转的角，叫做1!到h 的角. 计算公式 设直线11，L的斜率分别是k|, k2,贝IJ X| +x? + X3 3 v=yi 2i 2i 3 (kkHT) (2)两条直线的夹角一条直线到另一条直线的角小于直
6、角的角，即两条直线所成的锐角叫 做两条直线所成的角，简称夹角?这时的计算公式为:tgO = 4.点与直线的位置关系 点P(xo, y )在直线Ax+By+C二0上的充耍条件是 Axo+Byo+C 二0. 点到直线的距离公式 点P (xo, y)到直线Ax+By+C二0的距离是 据此可推出： (1)两平行线间的距离公式 两平行直线Ax+By+Ci=O和Ax+By+C 2=O间的距离为 5.直线关于点的对称 直线关于点的对称直线一定是一条与已知直线平行的直线，由中点坐标公式可得 直线Ax+By+C二0关于点P(x0, yo)的对称直线方程是 A (2xo - x) +B (2y 0-y) +C=0
7、 即Ax+By- (2Axo+2Byo+C)二0. “直线关于直线”对称 (1)儿种特殊位置的对称 已知曲线f (x, y)=0,贝ij它： 关于x轴对称的曲线是f (x, -y)=0； 关于y轴对称的Illi线是f(-x, y)=0； 关于原点对称的曲线是f (-x, -y)=0； 关于直线y二x対称的曲线f (y, x)二0； 关于直线线y=-x对称的Illi线 f (-y, -x)二0； 关于直线x=a对称的曲线是 f (2a-x, y)=0； 关于直线y=b对称的曲线是 f(x,2b-y)二0 三、知识点、能力点提示 ( 一) 冇向线段、两点间距离、线段的定比分点 例1 在ZXABC
8、中，A(4, 1), B(7, 5), C(-4, 7),求ZBAC 平分线的长 . 解：由两点距离公式求得 | AB | =5, | AC | =10,设角平分线交BC于D(x, y),由角 平分线性质得X d= Ax + By() + C VA 2 +B2 ( 二) 直线方程，直线的斜率，直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式方程，直线方程 的一般形式 例2 直线过点P (-3, 4)且在两坐标轴上的截距相等，求此直线方程. 解：设截距沪b且均不为零，故可设所求直线方程为- + =1.由P在直线上，解得 a a a=l, /. 所求直线方程为x+y-l=O.但还有一种情况 , 即a=b=O
9、,直线过原点时也合题意，此时直线 方程为4x+3y二0.故在使用截距式吋必须检验截距为零是否适合，以防漏解. ( 三) 两条直线平行与垂直的条件，两条直线所成的角，两条直线的交点，点到直线的距 离 说明 这部分内容近年高考在填空、选择及解答题中都常考查到. 使用公式求h到12的角时，应注意k】、k2的顺序 . 过两直线交点的直线系方程中不包 括直线12. 例3光线由点 (-1, 4)射出, 遇直线2x+3y-6=0被反射 , 已知反射光线过点(3 , ). 13 求反射光线所在直线方程. 解: 设(-1, 4)点关于已知直线对称点为(x , y ，) ? 则点(-1, 4)与点(x ，y) 的
10、连线段被已知宜线垂宜平分，故可得 BD AB 1)C 2 从而求得D呼, 中，故刑I A小畔. , 再由两点式可得所求直线方程为13x-26y+85=0. （四）综合例题赏析 例4如果A? C -0, B B ?直线和y轴E半轴有交点 . ?A? C 0 0=- 2x-y二0 12x0-1x5 厂 Ad“ 1 . = = y/5. #+(-1) 2 应选(B) 例16以A(l, 3)、B(-5, 1)为端点的线段垂直平分线的方程是( A. 3x- y+8=0 B. 3x+y+4二0 C. 2x+y+2二0 解:设P(x, y)为线段AB的中垂线上的点 , 则 | PA | = | PB | 即
11、7(x-l) 2+(y-3)2 = J(x + 5)2+(y 1尸, 化简得3x+y+4=0. 应选B. 例17在直角坐标系xoy中，过点P(-3, 4)的直线1少直线0P的夹角为45。，求1 的方程 . 4 解：设1的斜率为k, kor =, 3 k + - 33R+4 4 1 + 2 3) -k 3 3-4R ? 切45 D. (4, 3) 8- + 6? n + 0 T =25 ) D.3x+y+8=0 +4 1 得竺工工二 i,解出 k=-, 7 3 4R 7 1 的方程为y-4二- 一（x+3）或y-4二7 （x+3）. 7 即1 的方程为x+7y-25=0 或7x-y+25=0.
12、例18点（0, 1 ）到直线x+y二2的距离是 _ |Oxl + lx-2 V2 d- - = 712+122 四、能力训练 （一）选择题 1?数轴上有一有向线段，起点A的坐标为-m,终点B的坐标为n,那么此有向线段的数量可 表示为（） D. AB=n-m 3. 直线x+V3y-l=0的倾斜角是（） 5.过点（2, 3 ）且在两坐标轴上截距相等的直线方程是（） A. x+y二5 B. 3x-2y=0 C. x+y二5 D. 4x-y=5 0, AC0 B. AB0, AC0 D. y二 ) D. AB eZ) 10.点(a, b)关于直线x+y=l対称的点的地标是 () A. (1一17. _arctglil8.21b31 53 2 2 5 5 (三)20. 3x-y+9=0, 3x-y-3=0, x+3y+7=0, x+3y-5=0;21,证略：22?入射光线：y -3x+12=0,反射光线 : 3y- x+10=0;23.证略;24. (l)x+2y-4=0, (2)x+y-3=0； 25?证略 . ( 一)1 ? B 2.D 3. D 4. B 5. C 6. D 7.D &C 9.C 10. B 11. A 12. C 13. B 14. D 15. D 19 ?略