A1-1-6函数的表示方法与分段函数.doc.pdf

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1、1.2.2函数的表示方法 第一课时函数的几种表示方法 【教学目标】 1.掌握函数的三种主要表示方法 2.能选择恰当的方法表示具体问题中的函数关系 3.会画简单函数的图像 【教学重难点】 教学重难点：图像法、列表法、解析法表示函数 【教学过程】 一、复习引入： 1.函数的定义是什么？函数的图象的定义是什么？ 2.在中学数学中，画函数图象的基本方法是什么？ 3. 用描点法画函数图象， 怎样避免描点前盲冃列表计算？怎样做到描最少的点却能显示岀 图象的主要特征？ 二、 讲解新课：函数的表示方法 表示函数的方法，常用的有解析法、列表法和图象法三种. 解析法：就是把两个变量的函数关系，用一个等式表示，这个

2、等式叫做函数的解析表达 式，简称解析式 . 例如， s=60/2, 2 兀, S=2刃 7 , 尸“2+bx+c（a 工 0）,y= 丁兀一 2 （X 2）等等都是用解 一析式表示函数关系的 . 优点：一是简明、全面地概括了变量间的关系；二是可以通过解析式求出任意一个自 变量的值所对应的函数值?中学阶段研允的函数主要是用解析法表示的函数. 列表法：就是列 出表格来表示两个变量的函数关系. 例如，学生的身高单位：厘米 学号 12 345 6 7 8 9 身高125135140156138172167158169 数学用表中的平方表、平方根表、三角函数表，银行里的利息表，列车时刻表等等都是用列表

3、法来表示函数关系的 . 公共汽车上的票价表 优点：不需要汁算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值. 图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系. 例如，气象台应用自动记录器描绘温度随时间变化的曲线，课本中我国 人口出生率变化的曲线，工厂的生产图象，股市走向图等都是用图彖法表示函 数关系的 . 优点：能直观形象地表示出自变量的变化，相应的函数值变化一的趋势， 这样使得我们可以通过图象来研究函数的某些性质. 三、例题讲解 例1某种笔记本每个 5 元，买 xW 1,2,3,4个笔记本的钱数记为y （元），试写 出以 x 为自变量的函数y 的解析式，并画出这个函数的图 解：这个函数的定义域集合是

4、123,4,函数的解析式为y=5x, xG 1,2,3,4. 它的图象 rtl 4 个孤立点 A(l, 5) B(2, 10) C(3, 15) D(4, 20)组成，如图 所示? 变式练习1 设 /(X + X _1)=X3 +x“3, g(x +兀 j)= 兀 2 + 兀-2 求 y|g(x) 。 解：/(x )=( 兀)3(x ) . f (x) = x 3 3x x x x 1 1 7r g(x + )=( 尢 + ) -2 g(x) = x -2 x x . fg(x)= x 6-6x4 +9x2-2 1 y = x + 例 2 作出函数兀一的图象 列表描点： K， L*G o? P

5、， Q* (-5.0,? 5.2) (-4.0 -4.3) (?30,? 3.3) (-20, -25) (-1.0,? 20)(-0.4,? 3.0) (-0.3, -4.0)(-0.2, -5.0) QP0GNMLK (0.2, 5.0)(0.3, 4.0)(0.4, 3.0)(1.0, 2.0)(2.0, 2.5)(3.0, 3.3)(4.0, 4.3)(5.0, 5.2) 变式练习2画出函数 y 二|x 丨与函数 y= I x-2 |的图象 四、小结本节课学习了以下内容：函数的表示方法及图像的作法 【板书设计】 一、 函数的表示方法 二、 典型例题 例 1： 小结： 【作业布置】 课本

6、第 56 习题 2.2： 1, 2, 3, 4 r 1.2.2 第一课时 一、预习目标通过预习理解函数的表示 二、预习内容 1._ 列表法 : 通过列出 _ 与对应_ 的表来表示 的方 法叫做 列表法 2._ 图象法：以 _ 为横坐标，对应的 _ 为纵坐标的点 的 集合，叫做 函数 y=f (x)的图象，这种用“图形”表示函数的方法叫做图象法. 3. 解析法 ( 公式法 ) ：用 _ 来表达函数 y=f (x) (xGA) 中的 f (x),这种表达 函数的方法叫解析法，也称公式法。 例 2： 函数的表示方法 函数的几种表示方法 rill 4. 分段函数：在函数的定义域内，对于自变量x 的不同

7、取值区间，有 着 _ 这样的函数通常叫做 _ 。 三、提出疑惑 同学们，通过你的白主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格屮 疑惑点疑惑内容 课内探究学案 一、学习目标 1.掌握函数的三种主要表示方法 2.能选择恰当的方法表示具体问题屮的函数关系 3?会画简单函数的图像 学习重难点：图像法、列表法、解析法表示函数 二、学习过程 表示函数的方法，常用的有解析法、列表法和图象法三种. 解析法：就是把两个变量的函数关系，用一个等式表示，这个等式叫做函数的解析表达 式，简称解析式 . 例如， s=60/2, A 二兀厂 J S=2,y=a+bx+c(a0),y= (x2) 等等都是用解 析?式表示

8、函数关系的. 优点：一是简明、全面地概括了变量间的关系；二是可以通过解析式求出任意一个自变 量的值所对应的函数值 . 屮学阶段研究的函数主要是用解析法表示的函数. 列表法：就是列出 表格来表示两个变量的函数关系. 例如，学生的身高单位：厘米 学号 12 345 6 7 8 9 身高125135140156138172167158169 数学用表中的平方表、平方根表、三角函数表，银行里的利息表，列车时刻表等等都是 用列表法来表示函数关系的. 公共汽车上的票价表 优点：不需要计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值. 图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系. 例如，气象台应用自动记录器描

9、绘温度随时间变化的曲线，课本屮我国人口出生率变化 的曲线，工厂的生产图象，股市走向图等都是用图象法表示函数关系的. 优点：能直观形象地表示出自变量的变化，相应的函数值变化的趋势，这样使得我们可以 通过图象來研究函数的某些性质. 三、例题讲 ?解 例 1 某种笔记本每个5 元，买?xWl,2,3,4 个笔记本的钱数记为y( 元), 试写出以 x 为自变 量的函数 y 的解析式，并画出这个函数的图像. 变式练习1 设/(x + x _1) = X3 +X-3, g(X + L)= 兀2 +兀一2 求兀?(兀) 。 y = x 例2作出函数X 的图彖 变式练习2画出函数 y= I x 丨与函数 y=

10、 I x-2 丨的图象 三、当堂检测 课本第 56 页练习 1, 2, 3 课后练习与提高 1?在股票买卖过程中，经常用到两种曲线，一种是即吋价格曲线y=f(x)( 实线表示 ) ，另一种 是平均价格曲线 y=g(x)( 虚线表示 ) 如 f(2) = 3 是指开始买卖后两个小时的即时价格为3 元; g(2) = 3 表示两个小时内的平均价格为3 元) ，下图给岀的四个图彖中，其中可能正确的是 x 3. 函数f(x) = aa 1)的图象的大致形状是 ( ? ) |x| 点 P 所旋转过的AP的长为 1,弦 AP 的长为 d,则函数 d=f(l) 的图象大致是 () 5. _ 用一根长为 12

11、m 的铝合金条做成一个 “目”字形窗户的框架 ( 不计损耗 ) ，要使这个窗户通过的阳光最充足，则框架的长与宽应分别 为 _ ? 2. 函数 f(x+l) 为偶函数，且 x 1 时, f(X)的解析式为 (.) B.f(x) = x4x+5 D.f(x) = x 2+4x+5 4 一. 如图，设点 A 是单位圆上的一定点， 动点 P 从点 A 出发在圆上按逆时针方向旋转一周, 6?已知定义域为R的函数 f(x) 满足 f f(x)-x2+x =f(x)-x 2+x. 若 f(2) = 3,求 f(l); 又若 f(O)=a,求 f(a); (2)设有且仅有一个实数xo,使得 f(x ) = x

12、o,求函数 f(x)的解析表达式 . 解答： 1 解析: 解答该题要注意平均变化率是一个累积平均效应，因此可以得到正确选项为C. 答案: C 2 解析: 因为 f(x+l) 为偶函数， 所以 f(?x+l) = f(x+l), 即 f(x)=f(2-x). 当 xl 时,2-x 0, 3 解析: 该函数为一个分段函数，即为f(x)= aa) = 当 x0 时函数 丨兀丨-ax2-2. 又由 f(2)=3：得 f(3-2-2)=3-2 2-2J 卩 f(l)=l. 若 f(0)= 比则 f(a-0 :-0)=a-02*0 即 f(a)=a (2)因为对任意xER. f f(x)?x：-x =f(

13、x)?xi： 、x *v*S*S*A/ 、“ # 又因为有且只有一个实数卩便得f(Xj) = Xh 所以对任意頓实有f(x)-x :-x=x 3. 在上式中令 X=Xo,有 f(x)?x,-x：=x：又因为 f(Xo) = Xj：所以 故 x：=0 或 -x=x 9两个不同实根 : 与题设条件矛盾 : 故 x；=0. 若崔=1：则有 f(x)-x 2-x= lsBP f(x)=x2-x-l. 易验证该函数满定题设条件. 综上: 所求函数为 f(xi=x-x-l(xGR). 1. 2.2函数的表示方法 第二课时分段函数 【教学目标】 1?根据要求求函数的解析式 2.了解分段函数及其简单应用 3.

14、理解分段函数是一个函数，而不是儿个函数 【教学重难点】 函数解析式的求法 【教学过程】 1、分段函数 由实际生活屮，上海至港、澳、台地区信函部分资费表 重量级别资费( 元) 1 20 克及 20 克以内 1.5() 20 克以上至 100 克 4.00 100 克以上至 250 克 8.50 250 克以上至 500 克 16.70 引出问题：若设信函的重量尢 ( 克) 应支付的资费为y 元，能否建立函数 y = /(%) 的 解析式？ 导出分段函数的概念。 通过分析课本第 46 页的例 4、例 5 进一步巩固分段函数概念，明确建立分段函数解析 式的一般步骤，学会分段函数图象的作法 可选例：

15、1、动点 P 从单位正方形 ABCD顶点 A 开始运动，沿正方形ABCD 的运动路程为 自变量 X,写出 P 点与 A 点距离 y 与 X 的函数关系式。 2、 在矩形 ABCD中，AB=4m, BC=6m,动点 P 以每秒 lm 的速度，从 A 点出发，沿 着矩形的 边按ATDTCTB的顺序运动到 B,设点 P 从点 A 处出发经过 / 秒后，所构成的AABP 面积为 S m2, 求函数 S = f(t)的解析式。 3、以小组为单位构造一个分段函数，并画出该函数的图象。 2、典题 例1国内投寄信幣 ( 外埠) ，每封信函不超过20g 付邮资 80 分，超过 20g 而不超过 40g 付邮 资

16、 160 分，依次类推，每封 xg(0vxW100) 的信函应付邮资为 ( 单位：分 ) ，试写出以 x 为白变量的 函数 y 的解析式，并画出这个函数的图像. 解：这个函数的定义域集合是 vxlOO,函数的解析式为 80,xe (0,20, 16Qxe (20,40, y = 0, 例2画出函数 y=|x|= 卜* 兀2 x 0 x 2x 一3 v 0 步骤：（1）作出函数 y=X2-2x-3 的图彖 （2）将上述图象 x 轴下方部分以 x 轴为对称轴向 上翻折（上方部分不变），即得y=|x 2-2x-3| 的图象 . 3、小结：本节课学习了分段函数及其简单应用，进一步学习了函数解析式的求法

17、. 课后作 业：（略） 【板书设计】 三、 分段函数 四、 典型例题 例 1.：例 2： 小结: 【作业布置】完成本节课学案预习下一节。 122 函数的表示方法 第二课时分段函数 一、预习目标 通过预习理解分段函数并能解决一些简单问题 -(2x + l) x 1 兀 2x 3 _ ( 兀2 2x 3) 二、预习内容 在同一直角坐标系中：做出函数y = 2x + l(x 丘(l,+oo) 的图象和函数y = -x2 + 4(x e (-oo,l) 的图象。 思考：问题 1、所作出 R 上的图形是否可以作为某个函数的图象? 问题 2、是什么样的函数的图象？和以前见到的图像有何异同？ 问题 3、如何

18、表示这样的函数？ 三、提出疑惑 同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格屮 疑惑点疑惑内容 课内探究学案 一、学习目标 1 ?根据要求求函数的解析式 2.了解分段函数及其简单应用 3.理解分段函数是一个函数，而不?是几个函数学习重难点 : 函数解析式的求法 二、学习过程 1、分段函数 由实际生活中，上海至港、澳、台地区信函部分资费表 重量级别资费( 元) 1 20 克及 20 克以内 1.50 1 20 克以上至 100 克 4.00 1 100 克以上至 250 克 8.50 1 250 克以上至 5Q0 克 16.70 引出问题：若设信函的重量兀( 克) 应支付的资费

19、为y 元，能否建立函数y = f(x)的 解析式？ 导出分段函数的概念。 通过分析课本第 46 页的例 4、 例 5 进一?步 . 巩固分段函数概念， 明确建立分段函数解析式 的一般步骤，学会分段函数图象的作法 可选例： 1、动点 P 从单位正方形 ABCD顶点 A 开始运动，沿正方形ABCD 的运动路程为 自变量 兀，写出 P 点与 A 点距离 y 与 X 的函数关系式。 2、在矩形 ABCD中，AB=4m, BC=6m,动点 P 以每秒 lm 的速度，从 A 点出 发，沿着矩 形的边按ATDTCTB的顺序运动到 B,设点 P 从点 A 处出发经过 f 秒后，所构成的 AABP 面积为 S

20、m2,求函数 S = /(/) 的解析式。 3、以小组为单位构造一个分段两数，并画岀该两数的图彖。 2、典题 例 1 国内投寄信函 ( 外埠) ，每封信函不超过 20g 付邮资 80 分，超过 20g 而不超过 40g 付邮 资 160 分，依次类推，每封xg(OvxSiOO)的信函应付邮资为 ( 单位：分 ) ，试写出以 x 为自变量的 函数的解析式，并画出这个函数的图像. 变式练习1作函数 y=|x?2|(x+l) 的图像 (x x0, 例2画出函数 y=|x|= I 兀 X b. F(x)的值域为 () V2 72 V2 A. -1,1 B.?,l C.1,? D. -1- 2 2 2

21、2?已知/(x)J,x0, 3 3 A.-2 B.-l C.l D.2 |sin(x 2)-1 0, 4. 某时蚀的秒针端点A 到屮心点 O 的距离为 5cm,秒针均匀地绕点 O 旋转, 当时间 1=0 时， 点 A 与钟面上标 12 的点 B 重合. 将 A、B 两点间的距离 d(cm)表示成 t(s)的函数，则 d= ，其中 tG 0,60? 5. 对定义域分别是 0、Dg 的函数 y = f(x) 、y = g(x),规定: 函数 h(x) = /( 朗 ? ( 兀 ) ，川 0 且 兀丘 2， /( 兀) ，兀丘 0 且“q,. g(x), % 电D广且兀G Dg. 若函数 /( 兀)

22、= -,g(x)=x 2,写出函数 h(x)的解析式； x-l (2) 求(1)中函数 h(x) 的值域； (3) 若 g(x)=f(x+ct), 其中a是常数，且 ae 0,兀 ，请设计一个定义域为R的函数 y=f(x) 及一个 a 的值，使得 h(x)=cos4x,并予以证叽解答 1解析: 由已知得F(x) = sinx? cosx = s) = 100sin, d = lOsin ；当 te(30,60)时，在 AOB 中，ZAOB = 2/r- ，由余弦定理，得 60 30 宀55-2x5x58心嚅) = 50盏T0CW知心。或嚅，且 当 t=0 或 30 或 60 时，相应的 d(c

23、m) 与 t(s) 间的关系仍满足 = lOsin. 60 综上所述，d 7Tt TOs 临，其仆 0,601 . jrt 答案Os陀 -X 1 ? (2)当 xHl 时,h(x) = - = x 1 - + 2， x i X 1 若 xl,则 h(x)M4, 当 x = 2 吋等号成立；若 x V 1,则 h(x)W0, 当 x=0 时等号成立 . ?函数h(x) 的值域是 ( ? oo,0 U1U 4,+00). 解法一 : 令 f(x) = sin2x+cos2x, a = y 4 则 g(x) = f(x + a) = sin 2(x + ) + cos 2(x + ) =cos2x-sin2x, 4 4 于是 h(x) = f(x) f(x+(x) =(sin2x+cos2x)(cos2x-sin2x)=cos4x. 解: x- , 兀 w( oo,l)U(l,+s), 解法二 : 令.f (x) = 1 + 7sin 2x, a =彳， 则 g(x) = /(x + a) = 1 + A/2 sin 2(x + ) = 1- V2 sin 2x, 2 于是 h(x)=f(x) f(x+a)=( 1 + V2sin 2x )(1-2 sin 2) =l-2si n 22x=cos4x.