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1、【知识梳理】 1.实际应用 在日常生活、生产和科研中，求使材料最省、时间最少、效率最高等问题，有些可归结为求二次函数 的最 _ 或最 _ 0 【典型例题】 1、二次函数的应用 【例1】某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：每涨价1元，每星期少卖 出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？ 练1? (2014春?重庆市校级月考) 国家决定对某药品价格分两次降价，若设平均每次降价的百分 率为小 该药品原价为18元，降价后的价格为y元，则y与兀的函数关系式为 ( ) A y = 36(1 -x) B、y = 36(1
2、+ x) C、j = 18(l + x) 1 2 D 、y = 18(1 x) 2 练2?有一个抛物线形拱桥，其最大高度为16米，跨度为40米，现把它的示意图放在如图所示的平而直角坐 标系中，则此抛物线的解析式为 16 0 【例2】计算机把数据存储在磁盘上，磁盘是带有磁性物质的圆盘，磁盘上有一些同心圆轨道，叫做磁道. 如下图，现有一张半径为45mm的磁盘 . 45 mn / 1磁盘最内磁道的半径为r mm,其上每0.015mm的弧长为1个存储单元，这条磁道由多少个存储单 元？ 2 磁盘上个磁道之间的宽度必须不小于0.3mm,磁盘的外圆周不少磁道，这张磁盘最多有多少条磁 道？ （3）如果个磁道的
3、存储单元数目与最内磁道相同，最内磁道的半径r是多少时，磁盘的存储暈最人? 练3?将一条长为20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做一个正方形，则 这两个正方形的而积之和的最小值是 _ ? 练4? （2014春?江F区校级月考）小磊要制作一个三角形的钢架模型，再这个三角形中，长度为xcm 的 边与这条边上的高之和为40cm,这个三角形的面积Sen?随x的变化而变化。 （1）请直写出S与xZ间的函数关系式（不要求写出自变量兀的取值范围）； （2）当x是多少时，这个三角形面积S最大？最大面积是多少？ 【例3】图屮是抛物线形拱桥，当水而在/ 时，拱顶离水而2m,水面宽4m,水而下降lm时
4、，水而宽度增加多 少？ 练5. （2014秋?威海市期末）下图（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在1时，拱顶（拱桥洞 的最高点）离水面2m,水面宽4m.如图（2）建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是（） A- y=2x 2 B. y = 2x 2 C、 2 大高度3米，则铅球运行路线的解析式为（） 【例4】如图，足球场上守门员在0处开出一高球，球从离地面1米的A处飞出（A在y轴上），运动员乙 在距O点6米的B处发现球在自己头的正上方达到最高点M,距地面约4米高，球落地后又一次弹起. 据 实验测 算，足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原來最大高度的一半.
5、 （1）求足球开始飞出到第一次落地时，该抛物线的表达式； （2）足球第一次落地点C距守门员多少米？（取43=7） （3）运动员乙要抢到第二个落点D,他应再向前跑多少米？（取26=5） 练7. （2015?泰安市一模）如图，正方形ABCD的边长为1, E、F分别是边BC和CD 的动点 （不与正方形的顶点重合），不管E、F怎样动，始终保持AE丄EF.设BE二x, DF二y,则y是 兀的函数，函 数关系式是（） 2 r A、y = x + y = x 1C、y = x x+1 D y jC x 练8?某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平地面为x轴，出水点为原点，建立 练6?如图，铅球的出手点
6、C距地面1米, 出手后的运动路线是抛物线，出手后4秒钟达到最 h = - t 2 16 B、 D、h = -t 2+2t + . 3 ?6 r 平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线）=? /+4兀（单位：米）的一部分，则水喷出的 最大高度是 _ ? 【例5】如图，有长为24m的篱笆，围成中间隔有一道篱笆的长方形的花【甫I，且花圃的长对借用一段墙体 （墙 体的最大町用长度a= 1 Om）. （1）如果所围成的花圃的血积为45亦，试求宽AB的长； （2）按题目的设计要求，能围成面积比45n?更大的花圃吗 ?如果能，请求出最大面积，并说明围法; 如果不能，请说明理由? 练9?有长24m的篱笆，
7、一面利用围墙围城如图中间隔有一道篱笆的矩形花圃，设花圃的垂直于墙的一边长 为xm,面积是Sm 2,则 S与x的关系式是（） A、S = 3x 4-24x BS = 2兀-+ 24兀C、S = 3x24x D、S = 3x 4- 24x 练10?某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品每天的销售量加（件）与每件 的销售价兀（元）满足一次函数“7=162 3x. 写出簡场卖这种簡品每天的销售利润y（元）与每件的销售价x（元）间的函数关系式； （2）如果商场要想每天获得最大的销售利润，每件商品的售价定为多少最为合适？最大销售利润为多 少？ 【例6】. 某公司推出了一种高效环保型洗涤
8、用品，年初上市后，公司经历了从亏损到盈利的过程，下而的二 次函数图彖（部分）刻画了该公司年初以来累积利润s（万元）与销售时间 “月）之间的关系（即前L 个月的 利 润总和s与广之间的关系） . （1）由已知图彖上的三点坐标，求累积利润s（万元）与时间t（月）之间的函数关系式; （2）求截止到几月末公司累积利润可达到30万元； （3）求笫8个月公司所获利润为多少万元? 练11.某工厂现有80台机器，每台机器平均每天生产384件产品 ?现准备增加一批同类机器以提高生产总 量. 在试生产屮发现，由于其他生产条件没有改变，因此，每增加一台机器，每台机器平均每天将减少生产4 件产品 . （1）如果增加兀
9、台机器，每天的生产总量为），件，请写出丿与x之间的函数关系式； （2）增加多少台机器，可以使每天的生产总量最大?最大生产总量是多少？ 根据图彖提供的信息 , A、B、C、D、y = x 2 25 练12. （2015秋?唐山市期末）随着和城近几年城市建设的快速发展，对花木的需求量逐年提高. 某园林 专业户计划投资种植花卉及树木，根据市场调查与预测，种植树木的利润H与投资量兀成正比例关系，如图 所示；种植花卉的利润）9与投资量兀成二次函数关系，如图所示（注：利润与投资量的单位：万元） （1）分别求出利润N与力关于投资量x的函数关系式；（2）如果这位专业户以8万元资金投入种植花卉和 树木，他至少获
10、得多少利润，他能获取的最大利润是多少? 【课堂练习】 1 . 在一幅长60cm,宽40cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整 个挂图的面积是yen?,设金色纸边的宽度为xcm2,那么y关于x的函数是 （ ） A、y= ( 60+2%) (40+2%) C、y= (60+2x) (40+x) B、y= (60+x) (40+x) D、y= (60+x) (40+2x) 2.如图所示是一个抛物线形桥拱的示意图, 在所给出的平面直角坐标系屮，当水位在AB 位 置时，水面宽度为10m,此时水面到桥拱的距离是4m,则抛物线的函数关系式为（ 地 - J xl 一 图
11、3.如图，一小孩将一只皮球从A处抛出去，它经过的路线是某个二次函数图像的一部分，如果他的出手处 A距地面0A为Im,球路的最高点为B (8,9),则这个二次函数的表达式为_ , 小孩将球抛出 约 _ 米. 4. _ 如图，线段AB的长为2, C为AB 一个动点，分 别以AC, BC为斜边在的同侧作两个等要直角三角形厶ACD和ABCE,那么DE长的最小值是。 5.如图，某公路隧道横截面为抛物线，其最大高度为6米，底部宽度0M为12米，现以0为原点米，0M所 在 的直线为x轴建立直角坐标系。 (1)直接写出点M的坐标及抛物线顶点P的坐标； (2)求这条抛物线的解析式； (3)若有搭建一个矩形的“支
12、撑架” AD-DC-CB,使C, D点在抛物线上，A, B点在地面0M上，则这个“支 撑 架”总长的最大值是多少？ 【课后练习】 1. _ 某文具店出售某种 文具盒，若每个获利X元，一天可售（6Y）个，则当X二 _ 时，一天出售这种 文具盒的总利润y最大。 2. _ 某一型号的飞机着陆后滑行的距离）?（米）与滑行时间x （秒）之间 的函数关系式是y = 60x-1.5x 2,该 型号飞机着陆后需滑行 米才能停下来 . 3.如图，有一座抛物线型拱桥，己知桥下在正常水位AB时，水面宽8m,水位上升3m,就达到警戒水位 CD.这时水面宽4m,若洪水到來时，水位以每小时0.2m的速度上升，求水过警戒水
13、位后儿小时淹到桥拱 顶. 4.如图，一元二次方程X 2 +2X-3 = 0的二根兀】，兀2是抛物线y = cvr +bx+c与兀轴的两个交点B, C的横 坐标，且此抛物线过点A （3, 6）. （1）求此二次函数的解析式； （2）设此抛物线的顶点为P,对称轴与线段AC相交于点Q,求点P和点Q的坐标 ; （3）在x轴上有一动点M,当MQ+MA取得最小值时，求M点的坐标 . 5.己知：在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=ax 2+bx-3(a0) 的图象与兀轴交于A, B两点，点A在 点3的 左侧，与y轴交于点C,且OC=OB=3O4. (1)求这个二次函数的解析式； (2)设点D是点C关于此抛
14、物线对称轴的对称点，直线AD, BC交于点 P,试判断直线AD, BC是否垂直， 并证明你的结论； (3)在的条件下，若点M, N分别是射线PC, PD上的点，问：是否存在这样的点M, N,使得以点、P， M, N为顶点的三角形与AACP全等?若存在请求出点M, N的坐标；若不存在，请说明理由. 6.如图，小河上有一拱桥，拱桥及河道的截面轮廓有抛物线的一部分ACB和矩形的三边AE, ED, DB组 成，已 知河底ED是水平的，ED=16米，AE=8米，抛物线的顶点C到ED的距离是11米，以ED所在直线为x轴， 抛物线的对称轴为轴建立平面直角坐标系。 ( 1)求抛物线的解析式； (2)已知从某时刻开始的40个小时内，水面与河底ED的距离力 ( 米) 随时间 ( 吋) 的变化满足函数关 系：h =一一(Z-19) 2+8(040), 且当顶点C到水面的距离不大于5米时，需禁止船只通行。请128 通过计算说明：在这一时段内,