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1、期末复习五特殊平行四边形 复习目标 要求知识与方法 了解矩形、菱形、正方形的概念 理解矩形、菱形、正方形的判定与性质 运用用矩形、菱形、正方形的判定与性质解决有关图形的论证和计算等问题 必备知识与防范点 一、必备知识： 1.矩形的性质及判定： (1)矩形的 _ 个角都是直角；矩形的对角线_ ; 矩形既是 _ 对称图形 , 乂是对称图形，它至少有条对称轴 . ( 2)有一个角是的是矩形；有个角是直角的四边形是矩形：对 角线相等的是矩形 . 2.菱形的性质及判定： (1)菱形的条边都相等；菱形的对角线, 并且每条对角线平 分 ( 2) 一组相等的是菱形：四条边相等的四边形是; 对角线 的平行四边形
2、是菱形 . 3.正方形的性质及判定 (1)正方形的个角都是直角，四条边都; 正方形的对角线. , 并 且 _ ，每条对角线平分一组 _ . ( 2)有一组 _ 相等，并且有一个角是 _ 的平行四边形是正方形；有一组邻边相等 的 _ 是正方形；有一个角是直角的_ 是正方形 . 二、防范点： 1.矩形、菱形、正方形的判定书写要规范； 2.矩形、菱形、正方形的性质可从边、角、对角线、整体四个角度去考虑. 例题精析 考点一矩形、菱形的性质 例1 （1）如图，在菱形ABCD屮，AB二BD,点E、F分别在BC、CD上，且BE=CF,连结 BF、DE交于点M,延长ED到H使DH二BM,连结AM, AH,则以
3、下四个结论：BDFADCE ； ZBMD=120 ；AAMH是等边三角形；S四边形ABMD= AM2. 4 （2）如图，把矩形ABCD沿EF翻折，点B恰好落在AD边的B处，若AE=2, DE=6, Z EFB=60 ，则矩形ABCD的面积是 _ 反思：（1）由已知BM = DH联想BMA9ADHA,而全等的关键是证ZABM=ZADH=Z BED. （2）根据AD/7BC得出ZDEF=ZEFB=60, 故厶EFB是等边三角形，由此得出ZA B E=30 , 再由直角三角形的性质得出A B =AB=2A/3 , 即可得解 . 考点二矩形、菱形的判定 例2 已知：线段AB, BC, ZABC=90?
4、求作：矩形ABCD. 以下是甲、乙两同学的作业： 甲：以点C为圆心，AB长为半径画弧； 以点A为圆心，BC长为半径画弧； 两弧在BC上方交于点D,连结AD, CD,四边形ABCD即为所求（如图1）. 乙：连结AC,作线段AC的垂直平分线，交AC于点M； 连结BM并延长，在延长线上取一点D,使MD=MB,连结AD, CD,四边形ABCD即为所 求（如图2）. 其中止确结论的个数 A. 1个D.4个B.2个 对于两人的作业，下列说法正确的是( ) A.甲正确，乙错误B.乙正确，甲错误 C?甲、乙均正确D.甲、乙均错误 例3已知，一张矩形纸片ABCD的边长分别为9cm和3cm,把顶点A和C蔭合在一起
5、，得折痕EF ( 如图 )： (1)求证：四边形AECF是菱形； (2)求折痕EF的长. 反思：熟练学握矩形、菱形的性质及判定，能够利用矩形、菱形的性质求解一些简单的计算问题. 考点三矩形、菱形、正方形综合 例4如图 , ，在矩形ABCD中，AD = 6, DC=10,菱形EFGH的三个顶点E, G, H分别在矩形 ABCD 的边AB, CD, DA , AH = 2,连结CF, BF. (1)若DG=2,求证：四边形EFGH为正方形； (2)若AE=x,求AEBF的面积S关于x的函数表达式，并判断是否存在x,使AEBF的面积 是ACGF面积的2倍. 若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由；
6、 (3)求AGCF面积的最小值 . 反思：（1）证第（1）小题图形不准，要抓住厶GDHAHAE （HL）,证明ZGHE=90 ； （2） 解第（2）小题的关键是构造 FNGAHAE, FEM9AHGD ； （3）求AGCF面积的最小值要抓住 GC边上的高不变，GC最小只要DG最大，DH=4, ?GH =HE最大， .? 点E与点B重合时，AGCF的面积取最小 . 考点四特殊平行四边形拓展探究 例5如图1,四边形ABCD是正方形，M是BC边上的一点，E是CD边的中点，AE平分Z DAM. 【探究展示】（1）证明：AM = AD + MC ； （2） AM = DE+BM是否成立？若成立，请给出证
7、明；若不成立，请说明理由； 【拓展延伸】（3）若四边形ABCD是长与宽不相等的矩形，其他条件不变，如图2,探究展示 （1） （2）中的结论是否成立？请分别作出判断，不需要证明. 反思：（1）常规辅助线：“中点 +平行”构造全等，角平分线构造全等；（2）证“一条线段 = 两 线段和”类型常用截长补短法；（3）第（1）小题也可过E作EH丄AM于H,再证HM=CM 得证. 校内练习 E, F分别是边AB和BC的中点，EP丄CD于点P,设ZA = x , 则 ZFPC的度数为（） 2. _ 如图所示，点B, C分别在两条直线y=2x和y=kx ,点A, D是x轴上 两点，已知四边形ABCD 是正方形，
8、则k的值为 . 3?（南充中考）如图，正方形ABCD和正方形CEFG边长分别为a和b,正方形CEFG绕点C旋 转，给 出下列结论：BE二DG；BE丄DG；DE2+BG2=2a2+b2,其中正确结论是 _ . （填 序号） 4.己知：如图，AABC中，AB=AC, AD丄BC,且AD=BC=4,若将此三角形沿AD剪开成为两个三角 形，在平面上把这两个三角形拼成一个四边形，你能拼出所有不同形状的四边形吗？写出所拼四边形对 角线的长（不要求写计算过程，只需写出结果） 5.如图1,在正方形ABCD中，P是对角线AC 的一点，点E在BC的延长线上，且PE=PB. （1）求证：BCP9ZDCP； （2）求
9、证：ZDPE=ZABC ； 1.如图，在菱形ABCD中, A. 2x B. D. x 2 n n 第I题用 (3)把正方形ABCD改为菱形，其他条件不变( 如图2),若ZABC=58 则ZDPE= _ 度. 6.如图，在正方形ABCD中，DE与HG相交于点0. (1)如图1所示，若ZGOD=90 , 求证：DE=GH；连结EH,求证: GD+EH (2) AM = DE+BM 不成立 . 【校内练习】 1. D 2. - 3. 3 4.图1是矩形，两条对角线长相等，均为2 頁;图2是平行四边形，两条对角线长为4和42 ； o R 图3是平行四边形，两条对角线长为2和2VT7 ；图4是一般的四边
10、形，两条对角线长为2循和巴 巳? 5 (1)在正方形ABCD 中，BC=DC, ZBCP=ZDCP=45 , ；?在ZSBCP 和厶DCP 中， BC=DC, ZBCP二ZDCP, POPC,? ,.ABCPADCP (SAS) ；(2)证明：由(1)知，ABCP DCP,?ZCBP二ZCDP, ?.*PE=PB,? *.ZCBP=ZE, VZ1 = Z2 ( 对顶角相等 ) ，/. 1800? Z 1- ZCDP=18O ? Z2-ZE,即ZDPE二ZDCE, VABCD, A ZDCE=ZABC, A ZDPE=ZABC； (3) 与( 2)同理 可得：ZDPE=ZABC, VZABC=5
11、8 , AZDPE=58 O ? 6. (1)作平行四边形DGHM,贝IJGH二DM, GD=MH, GHDM,? Z GOD=ZMDE=90 , ZMDC+ZEDC=90 , T ZADE+ZEDC=90 , ZMDC=ZADE,在AADE 和ZCDM 中，ZADE= ZMDC, ZA=ZDCM=90 , AD=DC, A AADEACDM, ADE=DM, .*.DE=GH；TDM二DE, ZEDM=90 , ? EDM 是等腰直角三角形， .EM二“DM二?DE, VMH+EHEM, GD=MH, ? EH+GDNEM, AGD+EH V2 DE； (2)过点D作DNGH交BC于点N,则
12、四边形GHND 是平行四边 形，? ? DN=HG , GD=HN , T Z C=90 , CD二AB二4 , HG二DN二2 5 , /. n 图I 第5题图 CN=JDN 2 - DC2 =2, ABN=BC-CN=4-2=2, 作ZADM二ZCDN, DM 交BA 延长线于M,在厶ADM 和 ZXCDN 中，ZADM=ZCDN, AD=DC, ZMAD=ZC=90 , AAADMACDN (ASA), A AM=NC, DM=DN, V ZGOD=45 , A ZEDN=45 , A ZADE+ZCDN=45 , A ZADE+Z ADM=45 =ZMDE,在厶MDE 和 ZNDE 屮，MD=ND, ZMDE=ZNDE, DE=DE, AAMDEA NDE (SAS),? .EM二EN,即AE+CN二EN, 设AE=x,贝ij BE=4-x,在RtABEN 中，22+ (4-x) 2= (x+2) 2, 解得X，DE= JAD 2+AE2 =( 42+(-) 2 = . 3 V 3 3 图i