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1、第 1 页 1.集合的概念 （1） 集合的性质：元素具有确定性，互异性，无序性 （2） 集合的表示方法有：列举法，描述法以及图示法 （3） 常见的数集： * + N, N (N ), Z,Q,R （4） 集合与集合的关系 （5） 集合的交，并，补运算 （6） 集合的应用，包括集合的运用涉及的范围 2.函数 （1） 函数的三要素：定义域，值域和对应法则 （2） 函数的表示法有列表法，图象法和解析法 （3） 映射 （4） 求函数值域的常用方法：直接法，配方法，分离变量法，单调性法，图象法，换 元法，不等式法等无论用什么方法都必须要考虑函数的定义域. 3.函数性质 （1） 函数单调性 （2） 函数奇
2、偶性 偶函数奇函数 定义 设函数( )yf x的定义域为D，如果 对于D内的任意一个 x，都有 xD，且 ()( )fxf x，则这个函 设函数( )yf x的定义域为D，如果对 于D内的任意一个 x，都有 xD，且 ()( )fxf x，则这个函数叫做奇函 水平测复习（ 1） 模块一集合与函数概念 知识讲解 第 2 页 数叫做偶函数数 定义域关于原点对称 图象特征图象关于 y轴对称 图象关于原点对称 单调性在对称区间上，单调性相反在对称区间上，单调性相同 性质 设( )f x，( )g x的定义域分别是 12 ,DD ， 那么在它们的公共定义域 12 DDD 上：奇奇奇，偶偶偶，奇奇偶，偶偶
3、偶，奇偶奇 函数具有奇偶性其定义域关于原点对称 函数( )yf x是偶函数( )yf x的图象关于 y轴对称 函数( )yf x是奇函数( )yf x的图象关于原点对称 若奇函数( )yf x的定义域包含0，则(0)0f （3） 函数的周期性 对于函数( )f x，若存在不为零的常数T，对定义域内任意x都有()( )f xTf x，则称 ( )f x为周期函数常数T叫做此函数的周期. （4） 函数的对称性 【例题 1】 设全集|0UxxR，函数 1 ( ) 1ln f x x 的定义域为A，则 U Ae为（） A ,)e B ( ,)e C (0, )e D (0, e 【例题 2】 函数 2
4、 2 1 (log)1 y x 的定义域是 _ 【例题 3】 下列函数中，与函数 1 1 1 ( )2 2 x x f x的奇偶性，单调性一致的是（） A( ) x f xeB 2 ( )ln(1)f xxx C( )tanf xxD 2 ( )f xx 【例题 4】 设函数 1 2 2,1 ( ) 1log (2),1 x x f x xx ，则 2( 2)(log 12)ff_ 【例题 5】 若( )f x 是偶函数且在0, 上减函数，又( 3)1f，则不等式( )1f x的解集 例题精讲 第 3 页 为 【例题 6】 若函数 6,2 ( ) 3log,2 a xx f x xx （0a，
5、且1a）的值域是4,，则实数 a 的 取值范围是 _ 【例题 7】 设定义在R上的函数( )f x 同时满足以下条件： 当01x时，( )21 x f x，则 135 ()(1)()(2)() 222 fffff_ 【例题 8】 已知函数fx是定义在R上的奇函数，当0x时， 2 .fxxx （1） 求函数fx的解析式； （2） 求函数fx在区间,1a a上的最大值 . 1.指数幂的运算性质，对数的运算性质 1）(0) rsrs aaaa） ；2）(0) rsr s aaaa； 3）()(0 rsr s aaa） ；4）()(0,0) rrr a bab ab） 5）log loglog aaa
6、 MNMN 6） loglog log aaa M MN N 7） loglog n aa MnM（0M，0N，0a，1a） 8） log log log m a m N N a (0,1;0,1)aamm 9） 1 log log a b b a ， loglog m n a a n bb m ， loglog loglog abca bcdd 模块二基本初等函数 知识讲解 拓展训练（选讲） 第 4 页 10） logaN aN 11） log10,log1 aa a 2.指数函数的图象与性质 图 象 1 y=a x(01) y x O 性 质 定义域R 值域(0,) 定点0,1 单调性在R
7、上是减函数在R上是增函数 奇偶性非奇非偶 函数值的变 化情况 当0x时， 01 x a ； 当 0x 时， 1 x a ； 当 0x 时， 1 x a 当0x时， 1 x a ； 当 0x 时， 1 x a ； 当 0x 时， 01 x a 对称性对于同一个 a， x ya与 x ya的图象关于 y对称 底数对图象 的影响 a越小， x ya图象在第一象限内 越靠近 x轴 a越大， x ya图象在第一象限内 越靠近 y轴 3.对数函数的图象与性质 logayx 01a1a 图象 1 o y x 1 o y x 定义域( ,)0 值域R 第 5 页 性 质 定点 1,0 单调性在( ,)0上是减
8、函数在( ,)0上是增函数 奇偶性非奇非偶 函数值的 变化情况 当1x时，log0 ax； 当1x时，log0 a x ； 当01x时，log0 a x 当1x时，log0 ax； 当1x时，log0 a x ； 当01x时，log0 a x 对称性对于同一个a，log a yx与 1logayx的图象关于x对称 底数对图象的影 响 a越小，log a yx图象越靠近x轴a越大，logayx图象越靠近x轴 4.幂函数()0 a yxa的图象与性质 （1） 所有的幂函数在(0)，都有定义，并且图象都通过点(1 1)， ； （2）0a时，幂函数的图象通过原点，并且在0)，上是增函数； （3）0a时
9、，幂函数在 (0,) 上是减函数； 在第一象限内，图象向上与 y轴无限地接近，向右与x轴无限地接近 （4） 任何幂函数图象都不经过第四象限； （5） 任何两个幂函数的图象最多有三个交点； （6） 任何幂函数的图象与坐标轴至多只有一个交点 【例题 9】 计算： 24 1 log 3 log 81 2 49 1 (lglg 25)1002log 3 log 2 4 _. 【例题 10】 若 0.5 2 2 2,log3,log 2 abc，则有（） AabcBbacCcabDbca 【例题 11】 已知幂函数( )yf x 的图象过点 12 (,) 22 ，则 4 log(2)f的值为（） A 1
10、 4 B 1 4 C2 D 2 【例题 12】 函数 2 1 2 ( )log (4)f xx的单调递增区间是_. 【例题 13】 设函数( )yf x 的图象与2x a y的图象关于直线yx对称，且 例题精讲 第 6 页 ( 2)( 4)1ff，则 a（） A1B1C2 D4 【例题 14】 若函数 ,1 ( ) (23 )11 x ax f x a xx 是R上的减函数，则实数a 的取值范围是 _. 【例题 15】已知函数( ) xx f xee. （1）判断函数( )fx 的奇偶性与单调性； （2）是否存在实数t ，使不等式 22 ()()0f xtf xt对一切 x 都成立？若存 在，
11、求出t；若不存在，请说明理由. 【例题 16】 已知函数 2 2 ,0 ( ) ln(1),0 xx x f x xx ，若 |( )|f xax ，则 a的取值范围是（） A,0B,1C2,1D2,0 1.函数的零点 （1） 概念：一般地，如果函数( )yf x 在实数 a处的值等于零，即 ( )0f a，则实数 a叫做这个函数的零点 （2） 判定定理：如果函数( )yf x 在区间 a b， 上的图象是连续不断的一条曲线，且 ( )( )0f af b，则函数( )yf x 在区间 ()a b， 内至少有一个零点，即存在 ()ca b， ，使得( )0f c，这个 c就是方程 ( )0f
12、x的根 2.二次函数的零点的分布问题 模块三函数应用 知识讲解 拓展训练（选讲） 第 7 页 零点的分布 12 kxx 12 xxk 12 xkx 函数图象 x=- b 2a a0 f (k)0 x2 x1 k y x O x=- b 2a a 0 f(k)0 x2 x1 k y x O x=- b 2a a0 f(k)0 x2 x1 k y xO 需要满足的条件 0 2 ( )0 b k a af k 0 2 ( )0 b k a af k ( )0af k 零点的分布 1122 kxxk 112122 kxkpxp 在 12 ()k k， 内有且仅有1个根 函数图象 f(k1)0 x=-
13、b 2a k2 k1 a0 f (k2)0 x2 x1 y x O f(k1)0 k2 f(k2)0 f(p1)0 p2 p1 f(k1)0 x2 y x O k1 x1 f(k1)0 k2 f(k2)0 x2 y x O 需要满足的条件 12 1 2 0 2 ()0 ()0 b kk a af k af k 1 2 1 2 ()0 ()0 ()0 ()0 af k af k afp afp 12 ()()0f kf k 或 12 0 2 b kk a 或 1 12 1 ()0 22 f k kkb k a 第 8 页 或 2 12 2 ()0 22 f k kkb k a 3.了解指数增长，
14、幂增长，对数增长 【例题 17】 下列函数中，既是偶函数又在区间0,上存在零点的是( ) A 1 y x Blg |yxC x yeD 2 1yx 【例题 18】 已知函数 2log,0 ( ) 3 ,0 x x x f x x ，且函数( )( )h xf xxa有且只有一个零点， 则实数 a 的取值范围是( ) A1,B1,C,1D,1 【例题 19】 关于 x 的不等式 22 20xaxa的解集中的一个元素为1，则实数 a 的取值范 围是（） A, 12,B1,2C 1 , 1, 2 D 1 ( 1,) 2 【例题 20】 函数 0.5 ( )2 |log| 1 x f xx的零点个数是
15、_个 【例题 21】 已知函数( )f x 为偶函数，且( )(4)f xfx ，又 23 5, 01 2 22, 12 xx xxx fx x ，函数 1 ( )( ) 2 x g xa，若( )( )( )F xf xg x 恰 好有 4个零点，则a的取值范围是（ ） A 19 2, 8 B2,C2,D,2 【例题 22】 设函数 2 1 ( )ln(1 |) 1 f xx x ，则使得( )(21)f xfx成立的 x 的取值范围 是（） 例题精讲 拓展训练（选讲） 第 9 页 A 1 (,1) 3 B 1 (, )(1,) 3 C 1 1 (, ) 3 3 D 11 (,)(,) 33
16、 【例题 23】 偶函数fx满足11fxfx，且当0,1x时， 2 2f xxx，若直 线0(0)kxykk与函数fx的图象有且仅有三个交点，则k的取值范围是 （） A 1515 , 153 B 153 , 153 C 515 , 33 D 15 , 33 【演练 1】 已知集合0Px x ， 1 0 2 x Qx x ，则()PQ R e=（） A (,2) B, 1C0,2D1,0 【演练 2】 函数 2 ( )log1f xx的定义域为（） A0,2B2,C2,D 1 0,2, 2 【演练 3】 已知函数 3 3 (3) ( ) log (03) x f xx xx ，若关于 x 的方程
17、( )f xk 有两个不同的实根， 则实数k的取值范围是 _ 【演练 4】 已知yfx在定义域( 1,1)上是减函数，且121fafa，则 a 的取值 范围是 _. 【演练 5】 若函数 2(10) ( ) (1)(010) xx f x f xx ，则(5)f_. 【演练 6】 已知定义在R 上函数( )21 x m f x（ m 为实数）为偶函数，记 0.5 log3af， 2log 5bf ，2cfm ，则, ,a b c 的大小关系为（） A cab B acb C abc D cba 【演练 7】 给 出 以 下 三 个 关 于 x 的 不 等 式 ： 2 430xx， 3 1 1x
18、 ， 22 20xm xm；若的解集非空，且满足的x 至少满足和中的一个，则m 的 取值范围是 _ 课后作业 第 10 页 【演练 8】 已知函数( )yf x是偶函数，对于xR都有()( )( )63f xf xf成立，当 , 12 03x x且 12xx时，都有 ()() 12 12 0 f xf x xx ，给出下列命题： （1）( )30f； （2）直线 6x 是函数( )yf x 的图像的一条对称轴； （3）函数( )yf x 在9, 6上为单调增函数； （4）函数( )yf x 在9,9上有 4 个零点 其中正确的命题是 （填序号） 【演练 9】 已知二次函数( )f x 是定义在R上偶函数， 且关于 x的不等式4fxx的解集为 |13xx （1）求( )f x 的解析式； （2）设F xf xbx，且当1,2x时，函数F x的最小值为1，求实数b的 值 【演练 10】 已知函数 2 ( )2f xxxa， （1）若 1 2 a，求函数)(xfy的单调递增区间； （2）当 0a 时，若对任意的 ,0x ，不等式)(2)1(xfxf成立，求 实数a的取值范围 .