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1、2020 高考数学解题方法 第 1 计芝麻开门点到成功 计名释义 七品芝麻官，说的是这个官很小，就是芝麻那么小的一点. 阿里巴巴用“芝麻开门”，讲的是“以小见 大” . 就是那点芝麻，竟把那个庞然大门给“点”开了. 数学中，以点成线、以点带面、两线交点、三线共点、还有顶点、焦点、极限点等等，这些足以说明“点” 的重要性 . 因此，以点破题，点到成功就成了自然之中、情理之中的事了. 典例示范 例题将杨辉三角中的每一个数 r n C 都换成分数 r n Cn) 1( 1 ，就得到一个 如下图所示的分数三角形，称来莱布尼茨三角形. 从莱布尼茨三角形可以 看出 r n x n r n nCCnCn 1
2、 1 )1( 1 )1( 1 ，其中 x . 令 22 1 )1( 11 60 1 30 1 12 1 3 1 nn n CnnC a ， 则 n n alim . 分析一看此题，图文并举，篇幅很大，还有省略号省去的有无穷之多，真乃是个庞然大物. 从何处破 门呢？我们仍然在“点”上打主意. 莱布三角形，它虽然没有底边，但有个顶点，我们就打这个顶点 1 1 的主意 . 解将等式 r n x n r n nCCnCn 1 1 )1( 1 )1( 1 与右边的顶点三角形对应（图右），自然有 2 1 ) 1( 1 r n Cn 2 1 )1( 1 x n Cn 1 11 1 r n nC 对此，心算可
3、以得到：n =1，r =0，x=1 对一般情况讲，就是x = r+1 这就是本题第1 空的答案 . 插语本题是填空题，只要结果，不讲道理. 因此没有必要就一般情况进行 解析，而是以点带面，点到成功. 要点明的是，这个顶点也可以不选大三角形的 顶点 . 因为三角形中任一个数，都等于对应的“脚下”两数之和，所以选择任何 一个“一头两脚”式的小三角形，都能解出x = r+1. 第 2 道填空，仍考虑以点带面，先抓无穷数列的首项 3 1 . 解在三角形中先找到了数列首项 3 1 ，并将和数列 60 1 30 1 12 1 3 1 n a 中的各项依次“以点 连线” （图右实线） ，实线所串各数之和就是
4、an . 这个 an，就等于首项 3 1 左上角的那个 2 1 . 因为 2 1 在向下一 分为二进行依次列项时，我们总是“取右舍左”，而舍去的各项（虚线所串）所成数列的极限是0. 因此得到 n n alim 2 1 这就是本题第2 空的答案 . 点评解题的关键是“以点破门”，这里的点是一个具体的数 3 1 ，采用的方法是以点串线三角形中 的实线，实线上端折线所对的那个数 2 1 就是问题的答案. 事实上， 三角形中的任何一个数（点）都有这个性质. 例如从 20 1 这个数开始， 向左下连线 （无穷射线） ， 所连各数之和（的极限）就是 20 1 这个数的左上角的那个数 12 1 . 用等式表
5、示就是 12 1 140 1 60 1 20 1 链接本题型为填空题，若改编成解答题，那就不是只有4 分的小题，而是一个10 分以上的大题. 有关解答附录如下. 法 1 由 r n r n r n nCCnCn 1 1 1 )1( 1 )1( 1 知，可用合项的办法，将 n a 的和式逐步合项. 22 1 )1( 11 30 1 12 1 3 1 nn n CnnC a 1122 1 2 4 2 3 2 2 )1( 1 ) 1( 1 )1( 11 5 1 4 1 3 1 nnnn CnCnCnnCCCC 11 1 2 1 2 4 2 3 2 2 ) 1( 111 5 1 4 1 3 1 nnn
6、 CnnCnCCCC 11 2 2 2 ) 1( 1 3 1 3 1 n CnCC 11 1 )1( 1 2 1 n CnCnn)1( 1 2 1 2 1 法 2 第二问实质上是求莱布尼茨三角形中从第三行起每一行的倒数的和，即 23 1 2 4 1 3 0 2 ) 1( 11 5 1 4 1 3 1 n n n n n CnnCCCC a 根据第一问所推出的结论只需在原式基础上增加一 项 1 )1( 1 n n Cn ， 则由每一行中的任一数都等于其“脚下”两数的和， 结合给出的数表可逐次向上求和为 2 1 ， 故 1 )1( 1 2 1 n n n Cn a ，从而 2 1 ) 1( 1 2
7、 1 limlim 1n n n n n Cn a 法 3 （2）将 1rx 代入条件式，并变形得 r n r n r nCnnCCn)1( 11 )1( 1 1 1 取 , 1r 令 ,3, 2nn 得 1 2 1 1 2 2 3 1 2 1 ) 12( 1 3 1 CCC 1 3 1 2 2 3 4 1 3 1 ) 13( 1 12 1 CCC ， 1 4 1 3 2 4 5 1 4 1 )14( 1 30 1 CCC 1 1 1 1 2 1 1 ) 1( 11 nnn nCCnnC 11 1 2 )1( 11 )1( 1 nnn CnnCCn 以上诸式两边分别相加，得 )1( 1 2 1
8、 nn an 2 1 说明以上三法，都是对解答题而言. 如果用在以上填空题中，则是杀鸡动用了牛刀. 为此我们认识到 “芝麻开门，点到成功”在使用对象上的真正意义. 对应训练 1如图把椭圆 1 1625 22 yx 的长轴 AB分成 8 份，过每个分点作x 轴的垂 线交椭圆的上半部分于P1，P2， P7 七个点， F是椭圆的一个焦点， 则|P1F|+|P2F|+ +|P7F|=_. 2如图所示，直三棱柱ABCA1B1C1中， P，Q 分别是侧棱AA1，CC1 上的点， 且 A1P=CQ ， 则四棱锥B1A1PQC1的体积与多面体ABCPB1Q的体 积比值为. 参考解答 1找“点” 椭圆的另一个焦
9、点F2. 连接 P1F2 、P2F2 、 P7F2，由椭圆的定义FP5+P5 F2 = 2a =10 如此类推FP1+P1F2 = FP2 + P2F2 = =FP7 + P7F2 = 7 10 = 70 由椭圆的对称性可知，本题的答案是70 的一半即35. 2找“点”动点P、 Q 的极限点 . 如图所示，令A1P = CQ = 0. 即动点 P与 A1 重合，动点Q 与 C重合 . 则多面体蜕变为四棱锥C AA1B1B，四棱锥蜕化为三棱锥CA1B1C1 . 显然 3 1 111 CBAC V V棱柱 . 111 CBAC V BBAAC V 11 = 2 1 于是奇兵天降答案为 2 1 .
10、点评“点到成功”的点，都是非一般的特殊点，它能以点带面，揭示整体，制约全局. 这些特殊点， 在没被认识之前，往往是人们的盲点，只是在经过点示之后成为亮点的. 这个“点”字，既是名词，又是 动词，是“点亮”和“亮点”的合一. 第 2 计西瓜开门滚到成功 计名释义 比起 “ 芝麻 ” 来， “ 西瓜 ” 则不是一个 “ 点” ，而一个球 . 因为它能够 “ 滚” ，所以靠 “ 滚到成功 ”. 球能不断地变换 碰撞面，在滚动中能选出有效的“ 触面 ”. 数学命题是二维的. 一是知识内容， 二是思想方法 . 基本的数学思想并不多，只有五种： 函数方程思想， 数形结合思想， 划分讨论思想， 等价交换思想
11、， 特殊一般思想. 数学破题，不妨将这五种思想 “ 滚动 ” 一遍，总有一种思想方法能与题目对上号. 典例示范 题 1 对于 R 上可导的任意函数f（x） ，若满足（ x 1）f （x） 0，则必有 A. f（0） f（ 2）0（ f (1)对应选项C，D （右图下拱曲线）. 则满足条件 (x-1) f （x） 0. 探索本题涉及的抽象函数f (x)，没有给出解析式，只给出了它的一 个性质： (x-1) f （x）0 ，并由此可以判定f (0)+ f (2) f (1). 自然，有这种 性质的具体函 数是很多的，我们希望再找到一些这样的函数. 变题以下函数f (x)，具有性质 (x-1) f
12、（x）0 从而有 f (0)+ f (2) 2 f (1)的函数是 A. f（x）= (x-1)3 B. f（x）= (x-1) 2 1 C. f（x）= (x-1) 3 5 D. f（x）= (x-1) 2005 2006 解析对 A，f (0)= -1， f (2) =1，f (1)=0，不符合要求；对B，f (0)无意义； 对 C，f (0)= -1， f (2) =1，f (1)=0，不符合要求； 0 答案只能是D. 对 D， f (0)= 1， f (1) =0，f (2)=1. 且 f （x）= 2005 2006 (x-1) 2005 1 使得(x-1) f(x) =(x-1)
13、2005 2006 (x-1) 2005 1 0. 说明以 x=1 为对称轴、开口向上的函数都属这类抽象函数. 如 f （x）=(x-1) 12 2 m n ，其中 m，n 都是正 整数，且nm. 点评解决抽象函数的办法，切忌“ 一般解决 ” ，只须按给定的具体性质“ 就事论事 ” ，抽象函数具体化， 这是 “ 一般特殊思想 ” 在解题中具体应用. 题 2 已知实数 x，y 满足等式 3694 22 yx ，试求分式 5x y 的最值。 分析“最值”涉及函数， “等式”连接方程，函数方程思想最易想到. 解一（函数方程思想运用） 令 k x y 5 y = k (x-5) 与方程 3694 22
14、 yx 联立 消 y，得： 03625990)94( 2222 kxkxk 根据 x 的范围 3, 3x 应用根的分布得不等式组： 3 )49(2 90 3 036259990)49(9)3( 036259990)49(9)3( 0)36259)(49(4)90( 2 2 222 222 222 k k kkkf kkkf kkk 解得 2 1 2 1 k 即 2 1 5x y 2 1 即所求的最小值为 2 1 ，最大值为 2 1 . 插语解出 2 1 5x y 2 1 ，谈何易！十人九错，早就应该“滚开”，用别的思想方法试试. 解二（数形结合思想运用） 由 3694 22 yx 得椭圆方程
15、1 49 22 yx ， 5x y k 看成是过椭圆上的点（x，y） ， (5，0)的直 线斜率（图右）. 联立 )5( 3694 22 xky yx 得 03625990)94( 2222 kxkxk 令 0得2 1 k ，故 5x y 的最小值为 2 1 ，最大值为 2 1 . 插语这就是“滚动”的好处，解二比解一容易多了. 因此，滚动开门，不仅要善于“滚到”，还要善 于“滚开” . 点评“西瓜开门”把运动学带进了考场解题. 滚动能克服解题的思维定势. 解题时， 要打破思维固化，在思想方法上要 “滚动”，在知识链接上要 “滚动”，在基本技能技巧上也要“滚 动” . 总之，面对考题，在看法、
16、想法和办法上要注意“滚动”. 对应训练 1. 若 动 点P 的 坐 标 为 (x,y)， 且lgy ， lg|x| ， lg 2 xy 成 等 差 数 列 ， 则 动 点P 的 轨 迹 应 为 图 中 的 ( ) 2.函数 y=1- 2 1x (-1 x0,a+2b+cac C.b2ac且 a0 D.b2ac且 a0 且 yx.选项 B 中无 x0 的图 像，均应否定；当x=yR+时， lg 2 xy 无意义，否定A,选 C 【点评】上面的解法中条件与选项一并使用，滚滚碰碰中终于找到了正确的选项.本题的常规解法是：当 x0 且 yx 时，由 lgy+lg 2 xy =2lg|x| ，化简可得
17、(x+y)(2x-y)=0.y=-x 或 y=2x(x 0,y0). 2.【思考】分析各选项，仅解析式符号有区别.定义域中等号的位置有区别，所以拟从这两方面滚动着手 排除错误的选项. 原函数定义域为-1x0,a+2b+c0, f(1)=a+2b+c0,即 b2ac,故选 B. 【点评】在解题时易受题设条件的干扰,企图从已知不等式出发: 4b0)与连结 A(1,2),B(3,4)两点的线段没有公共点,求 a 的取值范围 . 参考答案 1. 6 9 2 命 sin2=sin2=sin2=3 1 ,则 cos2=cos2=cos2= 3 2 .、为锐角时，cos=cos=cos = 3 2 . co
18、scos cos= 6 9 2 27 8 . (注：根据解题常识，最大值应在cos=cos=cos时取得 ). 2.解析按常规 ,设椭圆中心为(x0,y0),并列出过已知点P的切线方程 ,联立消参可求得椭圆方程. 若借极限思想,将点椭圆视为椭圆的极限情况,则可简化运算过程. 已知 e= 5 2 ,则 a2=5b2.设长轴平行于y 轴且离心率e= 5 2 的椭圆系为 (x+ ky 22 ) 3 5 ( 5 1 ) 3 2 ，把点 P(- ) 3 5 , 3 2 看做当 k 0 时的极限情形(点椭圆 ),则与直线l:2x-y+3=0 相切于该 点的椭圆系即为过直线l 与“点椭圆”的公共点的椭圆系方
19、程: (x+ 0)32() 3 5 ( 5 1 ) 3 222 yxy 又所求的椭圆过（1，0）点 ,代入求得 =-3 2 . 因此所求椭圆方程为x2+ 5 2 y =1. 点评将点椭圆视为椭圆的极限情况处理问题,减少了运算量 ,简化了运算过程. 3.解析若按常规 ,需分两种情况考虑: A,B 两点都在椭圆外; A,B 两点都在椭圆内. 若借用补集思想则避免了分情况讨论,使计算简洁 . 设 a 的允许值的集合为全集I=a|a R,a0,先求椭圆和线段AB 有公共点时的取值范围. 易得线段AB的方程为y=x+1,x 1,3, 由方程组 12 2 3 1 2 22 22 xxa xy ay x 得
20、 ,x 1,3, a2 的值在 1,3内递增 ,且 x=1 和 x=3 时分别得a2= 2 9 或 a2= 2 41 ,故 2 9 a2 2 41 . a0, 2 23 a 2 82 . 故当椭圆与线段AB无公共点时 ,a 的取值范围为0 2 82 . 第 4 计关羽开门刀举成功 计名释义 关羽不同于诸葛. 诸葛是智星，靠着扇子；关羽是武士，用的大刀. “过关斩将”用这大刀，“水淹七军” 用这大刀 . 数学上的“分析” 、 “分解”、 “分割”等，讲的都是刀工. 关羽的“切瓜分片”是什么意思？切者，七刀也， 分者，八刀也！再难的数学题，经过这七刀、八刀，最后不就粉碎了吗！ 典例示范 例 1 如
21、图，在长方体ABCDA1B1C1D1中， E、P分别是 BC、A1D1 的 中点， M、N 分别是 AE、CD1 的中点， AD=AA1=a，AB=2a. （）求证：MN面 ADD1A1； （）求二面角PAED 的大小； （）求三棱锥PDEN的体积 . 分析这是个长方体，而“长”正好是“宽”和“高”的2 倍， 这正是“关羽开门”的对象：用刀从中一劈，则分成2 个相等的正方体. 对于正方体，我们该多么熟悉啊！ 有关线段的长度，各线段间的位置关系，我们都了如指掌. 解取 D1C1的中点 Q ，过 Q 和 MN 作平面 QRST. 显然， M、N 都在这平面里. 易知 QN 和 SM都平行于平面BC
22、C1B1 MNBCC1B1MN面 ADD1A1（证毕） . 插语 其所以这么简单， 是因为我们对正方体熟悉. 正方体从何而来， 感谢关羽的大刀之功. 以后的（） 和（），都可转化到正方体里进行（从略）. 【例 2】 设 p0 是一常数，过点Q（2p，0）的直线与抛物线y2=2px 交于相异两点A、B，以线段 AB为直 径作圆 H（H 为圆心） . （）试证：抛物线顶点在圆H 的圆周上； （）并求圆H 的面积最小时直线AB的方程 . 【分析】（） AB 是圆 H 的直径， 欲证抛物线的顶点在圆上，有如下各种对策：（ 1）证|OH|= 2 1 |AB|. (2)证|OA|2+|OB|2=|AB|2
23、 （3）证 AOB=90 ,即 OAOB，等 . 显然，利用向量知识证 OBOA ? =0,当为明智之举. 【解答】（）当 ABx 轴时，直线AB的方程为x=2p,代入 y2=2px;y2=4p2,y= 2p, |AB|=|y1-y2|=4p. 显然，满足 |OQ|= 2 1 |AB|, 此时 Q、H 重合 ,点 Q 在 H 上 . 如直线 AB与 x 轴不垂直，设直线AB：y=tan(x -2p), x= p y 2 2 ,代入： y=tan p y 2 2 -2ptan .即 tan y2-2py-4p2tan =0. 此方程有不同二实根y1y2, y1+y2=tan 2 p ,y1y2=
24、-4p2. OBOA ? =x1x2+y1y2= p y p y 22 2 2 2 1 ? +y1y2= 2 4 4 16 p p -4p2=0. OBOA ,故点 O 仍在以 AB为直径的圆上. 【分析】()为使圆面积最小只须圆半径取到最小值，为此不可避免的要给出直径AB 之长的函数表达式， 直观上我们已可推测到当ABx 轴时，弦AB之长最短 (这就是论证方向)，为此又有多种途径: (1)用直线的点斜式与抛物线方程联立，得关于x（或 y）的一元二次方程，利用韦达定理写出|AB|2 的函数 式，再用二次函数或均值不等式的知识求其最值. (2)用直线的参数方程与抛物线方程联立，得关于参数t 的一
25、元二次方程，利用韦达定理写出|AB|2= （t1-t2 ） 2 的函数表达式，再依正、余弦函数的有界性求其最值. 这两种方法各有优长，但都须牵涉到两个变量x,y,以下我们推荐，利用投影公式得出的|AB| 函数式，只牵 涉一个变量 . 【解答】（）直线AB的倾角为, 当 =90时， H 的半径为2p,SH=4p2. 当 90时，不妨设 0, 2 )，则 pp p p p yyyy p p p yyyy p yyxx AB 422 4 tan 1 sin 2 16 tan 4 sin 1 4)( tan 2 cos2 1 cos2 |)(| cos2 | cos | | 2 2 2 2 21 2
26、21 2121 2 2 2 121 ? 综上，|AB|min=4p, 当且仅当=90时，（S H）min=4p2,相应的直线AB 的方程为： x=2p. 别解：由（ 1）知恒有 AOB=90 . |AB|2=| 22 |OBOA = 2 2 2 2 2 1 2 1 yxyx 2x1x2+2p(x1+x2) 2x1x2+4p 21x x . y1y2=-4p2,x1x2= 2 2 2 2 1 4 22 p p y p y ? 于是 |AB|2 16p2,| AB|min=4p. 当且仅当 x1=x2=2p 时， S H=4 p2. 【点评】斧子开门，只要你说要进去，直接在墙上打洞最直接了. 对应
27、训练 1.已知函数 f(x)=a1x+a2x2+a3x3+ +anxn,nN+,且 a1,a2,，an 构成一个数列an,满足 f(1)=n2. (1)求数列 an的通项公式，并求 1 lim n n n a a 之值 . (2)证明 0 3 3ln 5 5ln 旁白才子一看，发现是个错解，于是有以下的评语. 评语学了导数可糟糕，杀鸡到处用牛刀，单调区间不清楚，乱用函数比大小. 解二作差比较法 2 2ln - 3 3ln = 9 8 ln 6 1 6 9ln8ln 32 3ln22ln3 0 旁白才子一看，答案虽是对的，但解题人有点过于得意，因此得到以下评语. 评语解题成本你不管，别人求近你走
28、远，作差通分太费力，面对结果向回转. 旁白大家听才子这么说，纷纷要求才子本人拿出自己的解法来，于是有了以下的奇解. 奇解 2 2ln 3ln 3 = 9ln 8ln 1 3 3ln 2 2ln 5 5ln 5 5ln 2 2ln 3 3ln 旁白大家一看，十分惊喜，但对解法的来历有点奇怪. 于是才子有了如下的自评. 自评标新本来在立意，别人作商我作积，结果可由心算出，不用花费纸和笔. 旁白这时，上面那位提供解法一的人有点不服气：难道“求导法”就不能解出此题吗？ 才子回答：当然能！不过需要“统一单调区间”，请看下解 正解f (x) = x xln f(x)= 2 1 x ln x e 4 4ln
29、 5 5ln 3 3ln 2 2ln 5 5ln 旁白大家一看，齐声说妙，要求才子再评说一下. 于是又有了下面的奇文. 评语因为数 3 比 e 大，单调区间从3 划，数 4 也在本区间，故把数2 搬个家 . 【例 1】 已知向量 a=( 3 ，1)，b 是不平行于x 轴的单位向量，且ab= 3 ，则 b= ( ) A( 2 3 ，2 1 ) B (2 1 , 2 3 ) C.( 4 33 4 1 ， ) D （1，0） 【特解】由|b|=1 ，排除 C；又 b 与 x 轴不平行，排除D；易知 b 与 a 不平行，排除A.答案只能为B. 【评说】本解看似简单，但想时不易，要看出向量b 与 A(
30、2 1 2 3 ， )是平行向量，一般考生不能做到. 【别解】因为 b 是不平行于x 轴的单位向量，可排除C、D 两项 . 又 ab= 3 ,将 A 代入不满足题意,所 以答案只能为B. 【评说】本题通过三次筛选才得出正确答案,思维量很大 ,到 A、B 选项时还需动手计算，真是淘尽黄沙 始是金啊！ 【另解】设 b=(cos,sin ),则 ab=( 3 ,1)(cos,sin)= 3 cos+sin= 3 sin(60+)= 2 3 在 区间（ 0，）上解得：=60. 故 b=( 2 3 2 1 ， ). 【评说】本题涉及解三角方程，并确定解答区间，这不是一个小题的份量. 【错解】选 A 者,
31、误在 ( 2 1 ) 2 1 2 3 ， a， 选 C 者,误在 | （ 4 33 , 4 1 ） a|=1. 选 D 者，没有考虑到（1，0）与 x 轴平行 . 【评说】本题三个假支的设计，其质量很高，各有各的错因，相信各有各的“选择人”. 对应训练 1.若奇函数 f(x)在(0,+)上是增函数 ,又 f(-3)=0,则x|x f(x)3 或 -33 或 x0)的草图 (如图（ 2）),x、f(x)均为 R上的奇函数 ,x f(x)为偶函数 ,不等式 x f(x)0，且 g(-3)=0, 则不等式f (x)g(x)0. F(x)在 R上为增函数 . F(-x)= f (-x)g (-x)=-
32、f (x)g (x).=-F(x). 故 F(x)为(-,0)(0,+)上的奇函数 . F(x)在 R 上亦为增函数. 已知 g(-3)=0,必有 F(-3)=F(3)=0. 构造如图的F（x）的图象，可知例 3 题解图 F(x)kMA=0; kMN(1-a) 2 1 B.log(1-a)(1+a)0 C.(1-a)3(1+a)2 D.(1-a)1+a1 【思考】本题关键点在a,我们一个特殊数值，作为本题的模特. 令 a=2 1 ,各选项依次化为：（） A 2 1 3 1 2 1 2 1 B. 0 2 3 log 2 1 C 23 2 3 2 1 D. 1 2 1 2 3 显然，有且仅有A是正
33、确的，选A. 【点评】本题是一个选择题，因此可以选一个模特数代表一类数，一点动众. 你还需要讲“道理”吗？ xy 2 1 log 为减函数， log 2 1 2 3 1log 2 1 0,B不对； x y) 2 1 ( 也是减函数， 1 2 1 2 1 0 2 3 ,D不对；直接计算，C 也不对；只有A 是对的 . 【例 2】已知定义在实数集R上的函数y=f (x)恒不为零，同时满足:f (x+y)=f (x)f (y),且当 x0 时， f (x)1, 那么当 x1 D.00 时， f (x)1,根据指数函数的性质， 当 x0. 由条件： f (-x)1, 故 x0,由图（ 2）知 g(x)
34、bc0, 且 a、b、 c 成等差数列，试证明： c ? ? b ? ? a 1 , 1 , 1 不能组成等差数列. 4.求证：抛物线y= 1 2 12 x 上不存在关于直线y=x 对称的两点 . 参考答案 1正难反收，先解决k 为何值时，直线可以垂直平分该抛物线的某弦，再求它的补 集，设弦两端点为A(x1, y1), B(x2, y2), 那么 : . 1 2121 21 21 2 2 2 1 2 2 2 1 2 1 yyxx yy kxxyy xy xy AB 设直线 l:y-1=k(x-1)垂直且平分AB, 则 kAB= k 1 , 设 AB 之中点为 M(x0, y0), y1+y2=
35、2y0, y0= 2 k , 又由 y0-1= k(x0-1),得 x0= kk y1 2 1 1 1 0 , 而 M 在抛物线内部. y 2 0 0, -2,在(0, 2 )内 y=sinx 为增函数，必sinsin0, 由条件： sin (cos -2) +cossin=0. .1 sin sin cos2 cos cos+cos2，这是不可能的. 故不能成立，必有bc0 矛盾 . c ? ? b ? ? a 1 , 1 , 1 不能组成等差数列. 4.假定抛物线y= 1 2 1 2 x 上存在关于直线y=x 对称的两点A(a , b)与 B (b, a). kAB= -1, 知 ab.
36、有： 1 2 1 1 2 1 2 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?ba ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?ab -： b-a =2 1 (a+b) (a-b). ab, a+b=-2 代入： -2-a= 1 2 1 2 a . 即a2+2a+3=0. 此方程无实根，故所设符合题设条件的点A（a, b） ，B (b, a)不存在 . 也就是抛物线y=2 1 x2-1 上不存在关于直线y=x 对称的两点 . 第 9 计瞎子开门伸手摸缝 计名释义 命题人本来为解题人设计了“题门”，即所谓题目的入口处.但对“瞎子”来讲，他不是在看，而是用手去 摸 .在摸的过程中，他没有能力关心整个大门，
37、而只是关心这个门的门缝.如果遇上了门缝，他便将手伸到 门的后面，轻轻地把门闩拉掉，题门也就随之开了. 典例示范 例题 已知不等式 log 2 11 3 1 2 1 2n n， 其中 n 为大于 2 的整数， log 2 n 表示不超过 n 2 log 的最大整数 设数列 n a 的各项为正，且满足 1 1 1 ,)0( n n n an na abba ， ,4,3,2n （）证明： log2 2 2n b b an ， ,5,4,3n ； （）猜测数列 n a 是否有极限？如果有，写出极限的值； （）试确定一个正整数N，使得当nN 时，对任意b0，都有 5 1 n a 分析此题有3 扇门，即
38、题问（） ， （） ， （） .用手去摸，发现（）是个门缝，因为（）最轻 便：一是“猜” ，二是“写出” （不要求说道理）. 于是，可以把手伸到（）的后面，把（）当作门闩抽掉. 解因为 0 N 时，都有 5 1 n a 插语（）， （）已破，题门大开，回师攻（）形势更好. 解问题简化为 已知： log 2 11 3 1 2 1 2n n 1 1 n n n an na a 求证： log2 2 2 nb b an 插语先抓住求证式，其右边的分母中有变量 log 2n ，顺藤摸瓜，找到已知式中的 log 2 n ，不 过它却在“分子”上.至此，快摸到问题（）的“门闩”. 续解式变为 n ab n
39、b an 2 1 2 log 2 11 2 log21 得式 n aan 2 1 log 2 111 . 插语式即为题（）的门闩. 以下用式与式连接，从式中变出 n a 1 . 续解由式得 nana an a nn n n 111 11 1 得式 naa nn 111 1 依次令 n=2,3,4,得 2 111 12 aa3 111 23 aa naa nn 111 1 两边相加得 naan 1 3 1 2 111 1 代式 n n 2 log 2 11 3 1 2 1 于 得 log 2 111 2 1 n aan .这就是要证的式. 从而证得式： log2 2 2 nb b an ，即问题
40、（）得证. 插语变为，用的是分析法.变、为，用的是综合法. 条件（，）不等式（）的证明，经常利用“分析综合法”进行两边夹攻. 评论本题是一道难度很高的压轴大题，“伸手摸缝”的策略，改变了命题人原来设定的解题顺序，即 从（）到（） 、再到（）的一般顺序.从而使得易解的（）成为该大题的“题缝”. 对于最难的题（），仍然采用了中间突破的办法，成功的关键也是从中找到了题（）的题缝： n aan 2 1 log 2 111 ，实际上，不等式的证明中，分析法与综合法的接头处，正是问题的题缝. 对应训练 对以上例题第（）问改为如下的问题： 已知不等式 log 2 11 3 1 2 1 2n n ， 其中 n
41、 为大于 2 的整数， log 2 n 表示不超过 n 2 log 的最大整数 设数列 n a 的各项为正，且满足 1 1 1 ,)0( n n n an na abba ， ,4,3,2n （）设f(n)= n 1 3 1 2 1 ,用数学归纳法证明： bnf b an )(1 ； （）求证： log2 2 2 nb b an ， ,5,4,3n ； 参考答案 分析本题的（） 、 （）问，显然第（）问比第（）问容易.因此我们可以先解第（）问，这 时必需把第（）问的结果当作已知题门从后面拨开. 解（）： 由已知不等式 log 2 11 3 1 2 1 2n n 得 bnf b an )(1 ,
42、5,4,3, log2 2 log 2 1 1 2 2 n nb b bn b 解（）： 设 n nf 1 3 1 2 1 )( ，利用数学归纳法证不等式 ,5,4,3, )(1 n bnf b an （）当n=3 时，由 bf b a a a a a a )3(1 1 2 2 3 3 1 3 3 3 3 1 1 2 2 2 3 ， 知不等式成立 （）假设当n=k（ k3）时，不等式成立，即 bkf b ak )(1 ，则 , ) 1(1 ) 1 1 )(1 )()1() 1( )1( 1 )(1 ) 1( 1 1 1 1 ) 1( )1( 1 bkf b b k kf b bbkfkk bk
43、 b bkf k k a k k ak ak a k k k k 即当 n=k+1 时，不等式也成立 由（）（）知， ,5,4,3, )(1 n bnf b an 插语数学归纳法证题，在k 到 k+1 之间，存在着一个“题缝”.从 k 正推，属综合法；由k+1 反推， 属分析法 .“题缝”就藏在综合与分析的“接头处”.从考场策略上讲，若在“接头处”遇上困难，可用“因 为所以”的模糊法把前后的“裂缝拉拢”，以便逃脱阅卷人的苛求. 说明这里的解答，把（）放在（）的前面，只是“草纸”上的思考顺序.真正在试卷上答题时， 仍应把第（）问的解答放在前面，除非对（）没有解出. 第 10 计聋子开门慧眼识钟
44、计名释义 一群人到庙里上香，其中有一个聋子，还有一个小孩. 上香完毕，发现小孩不见了.半天找不到影子后，大家来“问”这聋子.聋子把手一指，发现小孩藏在大钟 底下，而且还在用手拍钟.大家奇怪，连我们都没有听见小孩拍钟的声音，聋子怎么听着了呢？ 其实，大伙把事情想错了，聋子哪里听到了钟声，只是凭着他的亮眼，发现大钟底下是好藏小孩的地方. 聋子的直觉感往往超过常人.数学家黎曼是个聋子，据说， 他所以能创立他的黎曼几何，主要受益于他 的超人的直觉看图. 为了增强直觉思维，建议大家在解数学题时，不妨装装聋子，此时，难题的入口处，可能闪出耀眼的灯光. 典例示范 【例 1】若(1-2x)2008 = a0+
45、a1x+a2x2+a 2008 x2008(x R), 则 (a0+a1)+(a0+a2)+(a0+a3)+(a0+a2008)= (用数字作答 ) 【 思 考 】显 然a0=1, 且 当x=1 时 ， a0+a1+ +a2008=1, 原 式 =2008a0+a1+a2+ +a2008 =2007+(a0+a1+a2008)=2007+1=2008. 【点评】本例的易错点是：必须将2008a0 拆成 2007a0+a0,否则若得出2008+1=2009 就错了 . 【例 2】对于定义在R 上的函数f (x)，有下述命题： 若 f (x)是奇函数， 则 f (x-1)的图象关于点A （ 1，0
46、） 对称；若对 xR, 有 f (x+1)= f (x-1), 则 f (x)的图象关于直线x=1 对称；若函数f (x-1)的图象关于直线x=1 对称，则f (x)是偶函数；函数f (1+x)与 f (1-x)的图象关于直线x=1 对称 .其中正确命题的序号 为. 【思考】奇函数的图象关于原点对称，原点右移一单位得（1，0） ，故 f (x-1)的图象关于点A（1， 0） 对称，正确；f (x)= f(x+1)-1= f (x+2)，只能说明f (x)为周期函数，不对；f (x-1)右移一单位得f (x)直 线 x=1 左移一单位得y 轴，故 f (x)的图象关于y 轴对称，即为偶函数，正确
47、；显然不对，应改为关于 y 轴对称 .例如设 f (x)=x, 则 f (1+x)=1+x, f (1-x)=1-x,两图象关于y 轴对称 . 【点评】本例的陷沟是： 容易将 f (1+x)与 f (1-x)误认为 f (1+x)=f (1-x)，这是容易鱼目混珠的地方, 而后者 才是 R 上的函数f (x)的图象关于直线x=1 对称的充要条件. 【例 3】关于函数f (x)=2x-2-x (xR).有下列三个结论：f (x)的值域为R; f (x)是 R上的增函数；对 任意 xR, 都有 f (x)+f (-x)=0 成立， 其中正确命题的序号是(注：把你认为正确命题的序号都填 上). 【解
48、答】由 y x x 2 1 2 (2x)2-y2x-1=0. 关于 2x 的方程中，恒有=y2+40.y R 真 . y1=2x, y2= x 2 1 都是 R上的增函数，y=y1+y2=2x-2 x 也是 R上的增函数，真. f (-x)=2 x -2x = -(2x-2 x )=-f (x), 当 xR时，恒有f (x)+f (-x)=0（即 f (x)为 R上的奇函数 ) 真 . 【点评】高考试题中的小题，已出现了多项选择的苗头，其基本形式如本例所示，多选题中的正确答 案可能都是，也可能不都是，还有可能都不是（这种形式多反映在选择题中，其正确答案为零个）.由于许 多考生的思维定势是以为多选题只有“不都是”一种