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1、相似三角形性质：(1) 对应边成比例，对应角相等。 解得x=2或x=6 灵活运用相似三角形理论解决几何面积型方程问题 万安中学侯来合 相似三角形理论 (2)相似三角形对应部分线段及线段之和的比都等于相似比。 (3)相似三角形面积及对应部分的面积比都等于相似比平方。 相似三角形判定：(1)两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。 (2)两角对应相等，两三角形相似。 (3)三边对应成比例，两三角形相似。 ,AD是/ABC的高，点G、H在BC边上，点E在AB边上, 点F在AC边上，BC=10 AD=8矩形EFGH的面积为15,求这个矩形的 长和宽。 解法一：I四边形EFGH是矩形 ?EFGH ZEG
2、H=90 TAD丄BC /.EG#AD A dAEFdABC ZlBEGZlABD + 得診第“BE。AD=8/.EF=10(1-) 设EG=x则EF=1O(1-)由题意得 8 XX10(1-)=15 8 整理得x 2-8x+12=0 EF _ AE (1) 竺二竺 AD AB 例如 当x=6 时EG=6 EF=2. 5 ?这个矩形的长和宽为7. 5、2或6、2. 5. 解法二： /BEGsZBAD 解法三 设AD交EF于M, ?四边形EFGH是矩形 A ZEGH=ZFHG=90 EG=FH TAD丄BC ?EGADFH AZlCFHZlCAD ?EG _ BG FH _ CH e AD _
3、BD AD CD 设EG=FH=x 则 BD CD AD ? BG + CH x gn BG + CH x ? BD + CD ADBC- AD VBC=10 AD=8 .BG+CH=-X /.GH=BC-(BG+CH)=10-X 4 4 由题意得 XX (io-x)=15 4 整理得x 2-8x+12=0 解得x=2或x=6 当x=2 时EG=2 EF=7. 5 当x=6 时EG=6 EF=2. 5 ?这个矩形的长和宽为7.5、2或6、2. 5. ?四边形EFGH是矩形 A ZEGH=ZFHG=90 EFGH TAD丄BC ?EGADFH /.EG=DM=FH 设EG=x 则DM=x/.AM
4、=AD- DM=AD-X VEF / GH ? Z AEFs ABC ?竺 二凹 BC AD VBC=10 AD=8 ? EF 8-X ? - =- 10 8 ?EF二巴 (8-X) 4 由题意得 90 5X 2 戸+ + 15 = 40 由题意得 XX-(8-X)=15 4 整理得x 2 -8x+12=0 解得x=2或x=6 当x=2 时EG=2 EF=7. 5 当x=6 时EG=6 EF=2. 5 ?这个矩形的长和宽为7.5、2或6、2. 5. 解法四?四边形EFGH是矩形 ? ZEGH=ZFHG=90 , EF/ZGH TAD丄BC ?EGADFH A JCFH ZBEGS/BAD /A
5、EFs/ABC EF)2 S、BEG -(EG 2 AABC BC SABD AQ 设EG=FH=x 则EF=- X ? S MEF FH A D VBC=10 AD=8 90 SMEF=SMBC X (y) 2=40 X ( 上 x 2 yr 2 EG + S 乂FH S BEG _ SCFH s 沁一 SCD 2 SBEG + CFH + ADC 整理得X 4-40X2 + 144 = 0 (X2-36) (X2-4)=0VX 0 解得x=2或x=6 当x=2 时EG=2 EF=7. 5 当x=6 时EG=6 EF=2. 5 ?这个矩形的长和宽为7.5、2或6、2. 5. 另外用相似三角形理论可以不用作辅助线完成三角形中位线定理证 明。 已知：DE是/ABC的中位线 求证：DEBC 且DE=-BC 2 证明：V DE是/ABC的中位线 ?AD 二丄AB AE 二丄AC 2 2 ：. = =丄又I ZDAE=ZBAC AB AC 2 ? Z ADESABC = = ! ZADE=ZB BC AB 2 ?DEBC 且DE=-BC 2