《大学物理》期末复习第十五章量子物理.doc.pdf

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1、第十五章量子物理 15-1 ?黑体辐射普朗克能最子假设 一、热辐射 1.热辐射 （1）热辐射任何物体在任何温度下都要发射各种波长的电磁波。场中山于物体中的分子、原了受到热激发， 而发射的电磁辐射现象称为热辐射。 （2）单色发射木领（单色辐出度） 根据实验，当物体的温度一定时，在一?定时间内从物体表面-定而积上发射出来的、波长在某一?范围的辐射 能有一定的量值。令 dE 为单位时间内从物体表面单位面积上发射出來的、波长在/IT久+ d 久内的辐射能， 则处久与 d/lz 比定义为单色发射本领，用以入T）表示， e（入 丁）=今絆（W-m- 3） dA 对给定的物体，久久、T）是波长和温度的函数。

2、 （3）全发射本领（辐射出射度） 物体表而单位而积上在单位吋间内发射出來的含各种波长的总辎射能量称为全发射本领，用E（T）衣示。 E（T）= pCATW （lV-/n“ 2） （4）吸收率与反射率 当外来轴射能入射到某一不透明物体表而上时，一部分被吸收，一部分从物体表而上反射（如呆物体是透明的， 还冇一 -部分透过物体）。如果用 I （入T）、A （入T）、/? （入T）分别表示波氏 在久 T + d/l 内的入射能量、 彼吸收能量和彼反射的能量，则由能量守恒定律知， I ( 入T) = A (A, T) + R (A, T) 为温度为 T 的物体对波氏为久T 几+ d2 内的单色辐射能的反射

3、率。 上式可写成： （T）+ r（A,T ）=1 2. 绝对黑体 （1）定义：如呆一物体在任何温度下对任何波长的入射辐射能全 部吸收而不反射，则这一物体称为绝对黑体，简称黑体。显然对黑体冇。 = 1 % = 。 （2）黑体模型：设冇一空心容器，器壁由不透明材料制成， 器壁上开有一小孔（）。 3、基尔霍夫定律 早在 1866 年，基尔霍夫就发现，物体的辐射出射度与物体的吸收率Z 间冇内在的联系。他首先从理论上推知， 吸收率 G（入 T）较高的物体，其单射发射本领以入T）也较大，然而比值/a（入 T）是 一恒量，这一恒量与物体性质 无关，其人小仅决定所物体的温度和光的波长。具体地说，设冇不同物体1

4、, 2,和黑体 B,它们在温度T 下，其波长为x 的单色发射木领分别为 勺（入 T）幺 2（入 T）,，勺（入T） 相应的吸收比为： 偽（入刁 , 勺（入 T）切（入 T） = l 那么： 勺（入 T）勺（入丁）切（入 T） （2，T） = 切（入丁） / 2（入丁） = i 二 5（入 T）=a（入 T）八 即任何物体的单色发射本领和吸收率Z 比，等于同一温度和波长F 绝对黑体和单色发射本领, 这为基尔霍夫定律。 定义 : 率; a( 入T)= A (A, T) R (A, + I (A, T) I (A, A (2, T) I (2, T) 为温度为T的物体对波长为久T 2 + d/l 内

5、的单色辐射能的吸收 R (A, T) I (A, T) 二、黑体辐射实验定律 1、“ 入卩丿的实验测定 从基尔霍夫定律知，要了解一物体的热辐射性质, 色发射 本领勺（入 T）曾经是热辐射硏究的 中心问题。 根据实验可确定不同温度 下的勺（入T）与入的曲线。结果 如图所示。 2、根据实验得出两条黑体辐射处律 （1）斯忒藩一玻尔兹曼定律 如图知，绝对黑体在温度T 卜?得全发射本领（即为温度T 得曲线下而积为可知， TTTE（）T,实验结呆 : EO（ T） 即 E0（T） = oT 4 （ T = 5-67X108%2. F） 此定律称为斯忒淋一玻尔兹曼定律。称为斯忒藩一玻尔兹曼常数（用此定律可求

6、T） （2）维恩位移定律 如上页知，每一曲线有一极人值，令对应勺（入T）极大值的几=九,贝 g 实验结果确定 2 加与T的关系为 2mT = b （b = 2.878xW 3m-k） 这一称为维恩位移处律。 三、瑞利一金斯公式经典物理的困难（紫外灾难） 四. 普朗克量子假设普朗克黑体辐射公式 1、普朗克假设要点 Eo(T)=po(A,TW (1) 把构成黑体的原了、分了看成带电的线性谐振子； (2) 频率为 Q的谐振了具有的能S 只能是域小能量( 能量子 )hu的整数倍，即 E = nhv( 几=1， 2, )式中：斤称为量子 数，/2= 6.62X10_34J-5为普朗克常数。以后可以看到,

7、 h 在近代物理屮的重要性与光速c 相当。谐振子具有上式所 容许的某一能量时，对应的状态称为定态。 (3) 谐振子与电磁场交换能量时，即在发射或吸收电磁波时，是量子化的，是一份一份的，按 A 二的形式，从一 个定态跃迁到另一个定态。 普朗克產子假设与经典物理学有根木性的矛J6,因为根据经典理论，谐振子的能量是不应受任何限制的，能量被 吸收或发射也是连续进行的，但按照普朗克量子假设，谐振子的能量是量子化的，即他们的 能量是能量子力“的整数倍。 普朗克假设与经典理论不相容，但是它能够很好地解释黑体辎射等实验。此假设成为了现代量子理论的开端。 2、黑体辐射公式 普朗克在其假设前提下，推出了如下的黑体

8、辐射公式 2 “KT - 1 (15-1) 英中 X 为波长， T 为热力学温度，K 为玻耳兹曼常数，c 为光速， h 为普朗克常数。利用普朗克公式可推出斯藩 一玻尔兹曼定律和维恩位移定律。 15-2 光电效应光的波粒二彖性 在 1887 年，赫兹发现了光电效应。18 年后，爱因斯坦发展了普朗克关于能量量子化的假设，提出了光量子的概 念，从理论上成功地说明了光电效应的实验，为此爱因斯坦获得了1912 年的诺贝尔物理学奖。1917 年发表的关于 辐射的量子理论一文中，爱因斯坦乂提出了受激辐射理论，后来完成了激光科学技术的理论基础。光电效应：在光照 射下，电子从金属逸出，这种现彖称为光电效应。 1

9、. 实验装置 : S 为抽成真空徳玻璃容器， 容器內装有阴极K 和阳极 A,阴 极 K 为一金属板， W 为石英窗 (石英对紫外光吸收戢少) ，单色光通过 W 照射 K 匕时， K 便 一. 光电效应实验的规律 B 释放电这种电了称为光电了，如果在A、 K 之间加上电势差V,光电子在电场作用下将由KTA,形成 AKBA 方向的电流 , 称为光电流， A、K 间 势差 V 及电流 I 山伏特计及电流计读出。 2. 光电效应的实验规律 （1）光电流和入射光光强关系 实验指出，以一定强度的单色光照射K 上时 , V 越大，测光电 流 I 就越大，当V 增加到一定时，I 达 到饱和值 Is （如图）。

10、 这说明 V 增加到一定程度时，从 阴极释放出电子已经全部都由K T A , V 再增加也不能使I 增加了。图 15-4 实验结果农明：饱和光电流Is 与入射光强度成正比（如图）。设n 为阴极 K 单位时间内释放电子数, 则 Ts 为 h = 处 Is * n = n oc Is oc入射光强 结论：单位时间内，K 释放电子数正比于入射光强。（这是第-条实验定律） 从图知 , V 减小时， I 也减小 , 但当 V 减小到 0,甚至负的时 （VVJ, I 也不为零，这说明从 K 出來的电子 有初动能，在负电场存在时，它克服电场力作功，而到达A，产生 1。当 V 二 V, 时， 1-0, V.

11、称为遏止 电压。 （2）光电子最大初动能与入射光频率之间关系 V0 时，外电场使光电子减速，即电子克服电场力做功，当V 二毗时是产生光电流的临界状态，此时, 从 K 释放的光电子最大初动能为： 如叮 5 2 （15-2 ） 实验农明， V“ 与入射光频率Q成线性増加 , 如图， V“可表示为： 映（一坯） 入射光强 电图 15-3 结论：光电子最人动能随入射光的频率增加而线性增加，而与光的强度无关。（这是第二条规律） （3）发生光电效应与否与入射光频率关系 “称为光电效应的红限（或截止频率），不同材料不同（VS 不同而 K 相同） 结论：只要 VV 就能发生光电效应， 而 VV （） 时，才能

12、发生光电效应。显然这与第三条规律相孑盾。 3. 按照经典理论，光电子逸出金属表面所需要的能量是直接吸收照射到金属表面上光的能量。当入射光的强度 很弱时，电子需要有一定时间來积累能量，因此，光射到金屈表而厉，应隔一段时间才有光电子从金属衣血逸出來。但 是，实验结果衣明，发生光电效应是瞬时的，显然, 这与第四条规律相孑盾。 二. 光子爱因斯坦光电效应方程 由上二式有 : 三加匕=ek（v-v） (15-3) ? mV i 2 前面已经介绍了普朗克量子假说。根据这一假说，普朗克在理论上圆满地导出了热辐射的实验规律, 为了解释光电效应的实验事实 ，1905 年，爱因斯坦在普朗克量子假设的基础上，进一步

13、提出了关于光的本 性的光了假 说。 1. 爱因斯坦假说 (1) 光束是一 ?粒一粒以光速C 运动的粒子流，这些粒子称为光量子，也称为光子，每- 光子能量为E = hv O (2) 光的强度 ( 能流密度： 单位时间内通过单位面积的光能)决定于单位时间内通过单位面积的光子数 N,频率为 的单色光，能流密度为S = Nhv 说明：爱因斯坦光子概念与普朗克量子概念有着联系和区别。爱因斯坦推广了普朗克能量量子化的概念，这就是 联系。区别：两人所研究对彖不同，普朗克把黑体内谐振子的能量看作是量子化的, 它们与电磁波相互作 用时吸收和发射的能量也是量子化的；爱因斯坦认为，空间存在的电磁波的能量本质就是量子

14、化的。 2. 爱因斯坦光电效应方程 按照光子假设，光电效应可解释如下： 金属中的自由电子从入射光中吸收一个 光子的能时，一部分消耗在电子逸出金属表面需要的逸出功W 上，另一部分转换成光电子的动能 1 2 T 171 Vm 2 , 按能量守恒冇 1 9 hv = mv + W 2 (15-4) 此式称为爱因斯坦光电效应方程。由此出发，我们可以解释光电效应的实验结果。 1 2 hv =加匕+ W 2 -mvin 2 =ek(v-v ) 由I上知 h = ek vo 时，才冇 2 “ % 。即才能发生光电效应, 否则不能。这解释了第三条实验规律。 (4) 按光子假说， 当光投射到物体表面时，光子的能

15、量力U 一次地被一个电子所吸收，不需要任何积累能量时间， 这就是很“然地解释了光电效应瞬时产生的规律( 第四条规律 )。 至此，我们可以说，原先山经典理论出发解释光电效应实验所遇到的困难，在爱因斯坦光子假设提出后，都已被 解决了。不仅如此，通过爱因斯坦対光电效应的研究，使我们对光的木性的认识有了一个飞跃，光电效应显示了光的粒 子性。 光子的能量 = hu 光子的动量 ?/ E = me 2 = hv m二 叫 1 .7 光子静止质量为零。根据V / 疋, 对光子V = Ct而“ 一 X 2 有限，所以加0 必为 例 15-1：钠红限波长为5000 A , 用 4000 A 的光照射 , 遏止电

16、压等于多少? 1 2 m vm = hv W 2 E n = Ek+E=-mV- 1 2 4 亦必 (15-24) (15-23) 图 19-3 2 Tune(M = l, 2, 3,? )(15-25) 代入上式中有 丄 mV2=_ 由式 (15-21) 知， 2 8 码匚， e 2 1 me 4 E = rr = 一13?6W 斤=1时，, 耳是氢原子最低能量，称为棊态能量。斤1时称 为激发态。电子在第个轨道上时，氮原子能量为 1 r丄F 可知，氢原子的能量只能取下列分立值：上1, 4 , 9 , 16 ，这些不连续能量称为能级。 讨论：原子的能量是量子化的。（ 另一?方而，乂人为地加上一

17、些与经典理论不相容的量子化条件來限定稳定状 态的轨迹，但对这些条件提出适当的理论解释。所以，玻尔一索末菲理论是经典理论对量子化条件的混合体，理论系统 不口给。这些成了玻尔一索末菲理论的缺陷。 尽管如此，玻尔一索末菲理论对学电子系统和碱金屈问题，在一定程度上述是可以得到很好的结果。这在人们在 原子结构的探索中是重耍的里程碑。 例 15-4：氧原子从 n 二 10、n 二 2 的激发态跃迁到基态时发射光子的波长是多少? /? . = 1 依题意知 :f 所以 : 5（新 1 1 0 人=1.097xl0 7( )1-1 =0.921x107 加 = 921A n=10：1 1 入二1.097x1(

18、)7(4一_) 广=1.215x10-7加= 1215力 n=2：1 2 例 15-5：求出氢原子巴尔末系的最长和最小波长? 解：巴尔末系波长倒数为 （1）n=3 时， = max 人吨二1.097xIO?（4丄）F =6.563x10“= 6563人 2 3 （2） n= 时， 2 = min 1 1 O 人nin =1.097xl0 7（ 一一）广=3.646x10“= 3646 A 2- 例 15-6：求氢原子中基态利第一激发态电离能。 解：氢原子能级为，广 （n 二 1,2, 3, ） （1）基态电离能二电子从n 二 1 激发到 = 时所需能暈 W x =Eg-E = 电一冬= -E

19、=13.6eV OO L t 15-5 弗兰克 - 赫兹实验 证实了原子能级的存在 W1= EM-E2=- = -E2= OO 22 15-6 徳布罗意波实物粒子的二象性 一、德布罗意假设 根据所学过的内容，我们可以说，光的干涉和衍射等现象为光的波动性提出了有力的证据，而新的实验事实一一 黑体辐射、光电效应和康普顿效应则为光的粒子性（即量子性）提供了冇力的论据。在1923 年到 1924 年，光的波粒二 彖性作为一个普遍的槪念，已为人们所理解和接受。法国物理学家路易?徳布罗意认为，如同过去对光的认识比较片面 一样，对实物粒子的认识或许也是片面的，二象性并不只是光才具冇的，实物粒子也具冇二象性。

20、德布罗意说道：“整 个壯纪以來，在光学上，比起波动的研究方面來，是过于忽视了粒子的研究方面；在物质粒子理论上，是否发生了相反 的错误呢？是不是我们把关于粒子的图象想的太多，而过分地忽视了波的图象？”徳布罗懣把光中对波和粒子的描述， 应用到实物粒子上，作了如下假设： 毎一运动着的事物粒子都有一波与之相联系，粒子的动量与此波波长关系如同光了情况一样，即 门h P = 久（15-28 ） h mv 式（15-28 ）或（15-29 ）式称为徳布罗意公式，与实物粒子相联系的波称为徳布罗意。说明： 讨论：以电子为例，电子经电场加速后，设加速电压U,电子速率 *“ 时，徳布罗意波长为.h h A = -

21、P 叫 o 1 2 -o v =eU ?此时2 彳 _ h 1 _ 6.62 xl（T” _ 1_ 4U V2x9.1xl0- 31xl.6xl019 12.2xW10m 12.2 ; ?广 q F 即：Qu , （u 单位：伏特）。 (15-29) 可取加 =加0 二、德布罗意波的实验证明 实物粒子的波动性，当时是作为一个假设提出来的，直到1927 年戴维孙和革末用电子衍射实验所证 实。该实验情况如下： 1、实验装置： 如图所示， K 是发射电子的灯丝，D 是一组光栏缝，H 是单晶体， B 是集电器， G 是电流讣。灯丝与栏缝之间有 电势差 U,从 K 发射的电子经电场加速，经光栏变成平行光

22、束，以射角射到单晶 M 上，并在M 上向各方向散射，其中 沿方向反射的电子进入集电器B 中，反射电子流的强度由电流计G 量出，集电器只接受满足反射定律的电子，目的是 改变这一情况卜 ?反射电子强度和U Z 间的关系。实验中角保持不 变（2 个。角） , 为相似，因此，要解释上述实验结果，要考虑电子的波动性。假设电子具冇波动性，反射时也服从布拉格公式，其波长 代以徳布罗意波长，用上面公式可得结?果，看看是否能解释上面的实验结杲。 徳布罗這波长为： 2、实验结果 I 与 I：的关系如图所示，可知，3 单调增加时， I 不是单调变化，而是有 一系列极大值，这说明电子从晶体上沿 0 角方向反射时，对电

23、压U 的值有选择性, 即 遵守反射定律的电子对电压有选择性。 3、实验结果说明了电子具冇波动性 如果只认为电子具冇粒子性，则上述结果难以理解，那么，如何去认识电子的这种行为呢？我们知道， X 射线在 晶体体上反射加强时，有下列规律，即布拉格公式 2dsin“以（ ） 久为入射光波长，d 为晶格常数。将这一事实与上述结果对照一下，电子的反射和X 射线的反射极 图 15-6 即加速电丿禾满足此式时，电子流强度I 冇极人值，由此汁算所得加速电势差U 的各个量值和实验和符，因而证 实了徳布罗意的假设的止确性。 电子既然有波动性，自然会联系到原子、分子和中子等其它粒子，是否也具有波动性。用各种气体分子作

24、类似的 实验，完全证实了分子也具有波动性，徳布罗意公式也仍然是成立的。后來，中子的衍射现象也被观察到。现在徳布罗 意公式已改为表示中子、电子、质子、原子和分子等粒子的波动性和粒子性之间关系的基木公式。 三、德布罗意波的统计解释 既然电子、中子、原子等微观粒子具有波粒二象性，那么如何解释这种波动性呢？ 为了理解实物粒子的波粒二彖性，我们不妨重新分析一下光的衍射情况。根据波动光观点，光是一种电磁波，在 衍射图样中，亮处农示波的强度大，暗处表示波的强度最小。而波的强度与振幅平方成止比。所以，图样亮处博得振幅 平方大，图样暗处波的振幅平方小。根据光子的观点，光强大处表示单位时间内到达该处光子数多，光强

25、小处表示单位 时间到达该处光子数少。从统计观点看，这相当说：光子到达亮处的儿率大于到达暗处的儿率。因此可以说，粒子在某 处出现的儿率与该处波的强度成正比，所以也可以说, 粒子在某处附近出现的儿率与该处波的振幅平方成正比。 现在应用上述观点來分析一下电子的衍射图样。从粒子观点看，衍射图样的出现，是由于电子不均匀地设向照相 底片各处所形成的，有些地方很密集，冇些地方很稀疏。这表示电子射到各处的儿率是不同的，电子密集处儿率大，电 子稀疏处儿率小。从波动观点看，电子密集处波强大，电子稀疏处波强小。所以，电子出现的儿率反映了波的强度，因 为波強止比与波幅平方。 普遍的说，某处出现粒子的儿率正比与该处徳布

26、罗意波振幅的平方。这就是徳布罗波的统计解释。 说明：（1） 一切实物粒子都具有波粒二象性。宏观物体的波长一般是很短的，它们的波动性不能通过观察而得 到：相反，微观粒子，特别是匀速运动的粒子，它们物质波波反1?分显著，不能把它们再看作经 典粒子。 （2）微观粒子的波动性已经在现代科学技术上得到应用。电子显微镜分辨Z 所以较普通显微镜高，就 是应用了电子的波动性。我们提到过，光学显微镜由于受到可见光的限制，分辨率不能很高。放大倍数 只有 2000 倍左右 , 而电了的徳布罗意波长比可见光短得多, 按 2 12?2 ； A= r=A Qu知， u 为儿百伏特时，电子波长和x 射线相通。如果加速电压增

27、大到儿力 伏特，则久更短。所以，电子显微镜放大倍数很大，可达到儿卜力倍以上。 （3）应该指出，徳布罗意波与经典物理当小研究的波是截然不同的，如：机械波是机械振动在空间中 的传播，而徳布罗意波是对微观粒子运动的统计描述，它的振幅平方表述了粒子出现的儿率。我们 2d sin 0 绝对不能把微观粒子的波动性，机械地理解成经典物理当中的波，不能 认为实物粒子变成了弯弯Illi Illi 的波了。 例 15-7：一电子束中，电子的速率为8.4X10 677?/5, 求徳布罗意波长。 解：因为 &4xio%/s 比 c=3xlOS/s小的多， 所以可用经典理论: A = - = =& 弩“石=0.867xIO -10/? = 0.867A p 叫v 9X103,X8.4X106 例 15-8：已知第一玻尔轨道半径为人，试计算当氢原了屮电了沿笫n 个玻尔轨道运动时，其相应的徳布罗 意波长是多少 ? 7 解： P h mvrn = n M有: h ? rn =n2r nh 1 p = - - =- 2 龙口2阿代入中，冇h 瓦 / 2 加北=2加11 （2）第一激发态电离能二电子从n=2 激发到 = 时所需能量 依玻尔量子化条件