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1、【学习目标】 1.了解算术平方根、平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、立方根. 2.了解开方与乘方互为逆运算，会用平方运算求某些非负数的平方根，会用立方运算求某些数的立 方根，会用计算器求平方根和立方根. 3.了解无理数和实数的概念，知道实数与数轴上的点一一对应，有序实数对与平面上的点一一对 应；了解数的范围由有理数扩大为实数后，概念、运算等的一致性及其发展变化. 4.能用有理数估计一个无理数的大致范围. 【知识网络】 - ?有理数 L 实数的分类 无理数 实数 - 用数轴上的点表示实数 一运算法则及运算性质 实数的运算十 近似数及近似计算 数的开方 - 分数指数幕 - 有理数指数幕
2、- 运算性质 【要点梳理】 要点一、平方根和立方根 型 项目 平方根立方根 被开方数非负数任意实数 符号表示/al/a 性质 一个正数有两个平方根，且互为相 反数； 零的平方根为零； 负数没有平方根； 一个正数有一个正的立方根；一 个负数有一个负的立方根；零的 立方根是零； 重要结论 (V) 2 = a(a 0) 厂T a(a 0) 7 cr = a = -a(a 0（?Z0）. 非负数具有以下性质： （1）非负数有最小值零； （2）有限个非负数之和仍是非负数； （3）几个非负数之和等于0,则每个非负数都等于0. 4.实数的运算： 数G的相反数是一G; 个正实数的绝对值是它木身；一个负实数的绝
3、对值是它的相反数；0 的绝对值是0. 有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍然成立. 实数混合运算的运算顺序：先乘方、开方、 再乘除，最后算加减 ?同级运算按从左到右顺序进行，有括号先算括号里. 5 ?实数的大小的比较： 有理数大小的比较法则在实数范围内仍然成立. 法则1.实数和数轴上的点一一对应，在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大； 法则2.正数大于0, 0大于负数，正数大于一切负数，两个负数比较，绝对值大的反 实数 无理数 正无理数 负无理数 无限不循坏小数 而小； 法则3.两个数比较大小常见的方法有：求差法，求商法，倒数法，估算法，平方法. 要点四、 近似数及有效数字 1 ?近
4、似数：完全符合实际地表示一个量多少的数叫做准确数；与准确数达到一定接近程度的 数叫做近似数 . 2.精确度：近似数与准确数的接近程度即近似程度. 对近似程度的要求叫做精确度. 要点诠释： 精确度有两种形式：精确到哪一位. 保留儿个有效数字. 3.有效数字：从一个数的左边第一个不为零的数字起，往右到末位数字为止的所有的数字都是 这个数的有效数字，如0.208的有效数字有三个：2, 0, 8. 要点五、分数指数寤 m a n (d0), 其中 m m 上面规定中的川 7 和/ 齐叫做分数指数幕，6/ 是底数 . 整数指数幕和分数指数幕统称为有理数指 数幕 . 要点诠释：设Q0, b0, p 、q为
5、有理数，那么 (1)a pOiq = ap+q, apaq =apq. (2)(a p =apq. (3)(abV=a pbp = . 【典型例题】 类型一、有关方根的问题 V 1、(2015春?仙桃校级期末) 一个正数的x的平方根是2a- 3与5?a,求a和x的值 . 【思路点 拨】根据平方根的定义得LB 2a - 3+5?a=0,进而求出a的值，即可得出x的值. 【答案与解析】 解：?一个正数的x的平方根是2a-3与5-a, A2a ? 3+5 ? a=O, 解得：a= - 2, ?*.2a - 3= - 7, ?x=(?7)乙49. 【总结升华】此题主要考查了平方根的定义，正确把握定义是
6、解题关键. 举一反三： 【变式1】已知y = V2+V2I + 3,求y*的平方根 . 【答案】 解：由题意得： x-20 L c 解得兀 =2 2 - 兀n o ?.y=3, /=3 2=9, y“ 的平方根为 3. 【变式2】若孙3兀7和+ 4互为相反数，试求x+y的值. 【答案】 解：?“3兀- 7和?3丁 + 4互为相反数 , ?3兀一7 + 3，+4=0 .*.3 (x+y) =3, x+y=l. 2、已知M是满足不等式 - 侖 v a 0,则a h ；若a h =0,则a = h ；若a h w 请你参考小东同学的作法，比较4巧与(2 + V3) 2 的大小 . 【思路点拨】仿照例
7、题，做差后经过计算判断差与0的关系，从而比较大小. 【答案与解析】 解：?4的-(2 + 呵=4的-(4 + 4的+ 3) = -7 -1 a 0 【答案】一X6 1x6 2 3 =43 *52 =4 24-53 16 125 2-a = 0 ? ? .cr +b + c = O c + 8 = 0 ?2a 3b c = 4 12 + 8 = 0 ? 8、阅读材料： 学习了无理数后，某数学兴趣小组开展了一次探究活动：估算加的近似值. 小明的方法： ?Z V9 V13 V16 ,设V13 = 3 + （Ovkvl ）.?（Vi5 ）2=（3 +灯2. ?13 = 9 + 6 + 2?13 = 9
8、 + 6 ?解得? A 713?3 + -?3.67. 6 6 问题：（1）请你依照小明的方法，估算阿的近似值； （2）请结合上述具体实例，概括出估算仿的公式：已知非负整数d、b. m，若 a fm 6/ 4-1,且m = / + b ,则Vm ? _ （用含d、b 的代 数式表示）； （3）请用（2）中的结论估算后的近似值 . 【答案与解析】 解：（1） V V36V4l V49 ,设阿= 6 + k （Ovkvl ）. . ?( 顾尸=(6 +灯2. ?41 = 36 + 12+心?41 = 36 + 12. 解得“ . 12 .-.741-6 + -6.42. 12 (2) *.* a m v a +1,设4m =a + k (OvEvl). (Vm) 2 = (a + k) 2. .*? m = a 2 + 2ak + k2. 对比m = a? + b , b - 2ak, k - 2a yfm + 解得卩=4 2a (3) 37 = 62+1, a = 6,b = , V37 = 6 + = 6. 083. 12 【总结升华】此题比较新颖，关键是通过阅读材料快速掌握估值的方法.(2)问中要对比式子，找准 G和方，表示出k 上. 2a