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1、实变函数练习题库 - 、单项选样题 1.下列集合关系成立的是() A(BA)AA = 0 B(AB)QA = 0 C(AB)UB = A D(BA)JA = B 2.若EuR ”是开集，贝 ij () A E uE BE = C E = E D E f = E 4.设/,(%) 是E上一列非负可测函数, 则() 71 ( 矽“处叵 “( 也 B flimA (x) Jx oo “匕 cL lim/, (x)Jxoo JE D Um . 九( 兀炖 5 JwO 5.下列集合关系成立的是() A ( X IM c CK B la“ 丿 6 若EuR ”是闭集，则（） A E = E， B EuE，
2、C EuE D E = E 7 设E为无理数集，则（） A E为闭集B E是不可测集C加E = +oo D mE = 0 9.下列集合关系成立的是（） ( 、e( 、c A ru = ru B ru oreAaeAaeA ( 、c( 、 c ( 、 c C ru LK D PK 6feA 丿 kcreA 丿 ItzwA 10. 设E u R“ , 则（） AEEBE，uE C EuE ，D E = 11. 设P为康托集，则（ ) A P 是可数集B mP = 0 C P是不可数集D P是开集 13. 下列集合关系成立的是（） A 若 AuB 则B e cz B若 AuB 则 MuF C若 4u
3、B 则力= B D若 AuB 则 AUB 二 B 14. 设EuR “，则（） A( ) = B oC E，u E D E u E ， 15.设 E = (x,O)|O g(x)J 不一?定是可测集 B町比( 兀) Hg(x) 是可测集 C Ex|/(x) 0(B) Q 为闭集 (C) mQ - 0(D) Q 为不可测集 24.设 E 是/? ”屮的 町测集,f(x)为 E 上的可测函数，若 = 贝 0 ( ) E (A)在 E 上，/( 兀)不一定恒为零( B)在 E 上， /(x)() (C)在 E 上，/(x)三 0 (D)在 E 上，/(x)HO 25. 二、填空题 1. 设 A,为集
4、合，则 （AB ）UB_AUB （用描述集合间关系的符号填写） 2.设 A 是 B 的子集，则（用描述集合间关系的符号填写） 3.如果 E 屮聚点都局于则称E 是一集 4.有限个开集的交是集 5.设耳、爲是可测集，则加（山爲）_加厶+加色（用描述集合间关系的符号填写） 6.设 Eu “是可数集，则m*_0 7.设.f（x）是定义在可测集E 上的实函数， 如果旳丘-E_xf （x）a是贝 IJ称 /（x） 在 E 上可测 8.可测函数列的上极限也是一函数 9?设（兀）=于（兀）， gO=g（x） 则 （兀）+ 8,兀）=_ 10. 设/ （兀）在E上 L可积，则 |/（x）|在上 _ 11. 设
5、为集合，贝9（BA ）UA_4 （用描述集合间关系的符号填写） 12. 设 A = 2 1| = 1,2,?,则A_a（其中表示白然数集 W 的基数） 13. 设 Eu ”，如果 E 中没有不属于E,则称 E 是集 14. 任意个开集的并是集 15. 设耳、坊是可测集 , 且EUE?,则mE l_mE2 16. 设 E 中只有孤立点，则rnE_0 17. 设/ 是定义在可测集上的实函数，如果也丘-Exf （x）于（兀）， g” （兀） =g（x）,则 A（x）gw（x）=_ 20.设（pn（x）是 E 上的单调增收敛于 /（兀）的非负简单函数列，则f （x）dx=_ 21.设 A,3 为集合，
6、则 （AB）UB_B 22.设 A 为有理数集，则A_a（其中。表示自然数集N 的基数） 23.设 Eu ”，如果 E 中的每个点都是内点，则称E 是集 24.冇限个闭集的交是集 25.设 Eu 则 /?* _ 0 26.设 E 是“中的区间，则mE_E的体积 27.设于（兀）是定义在可测集E 上的实函数，如果E xf （x）/（x）, g “（x）ng（x）ae,则 （x）_g（兀） 3（）.设九 （兀） 是 E 上的非负可测函数列， 且单调增收敛于 / （% ） , 由勒维定理 有 /（x/x=_ 31.设 4,3 为集合，贝 iJ（BAnB ）UA_AUB 32.设 4 为无理数集，则（
7、其中c 表示自然数集 0,1的基数） 33.设 Eu ”, 如果 E 中没有不是内点的点，则称E是集 34.任意个闭集的交是一集 35.设 Eu ”, 称 E 是可测集 , 如果 VTc mT=m （TE ）+ _ 36.设 E 是外测度为零的集合，且FuE,则inF_0 37.设/（x）是定义在可测集E 上的实两数，如果X/ae E_xa/(x), 久=g(x)ae,则九(x)/g”( x)=- 40? 设九 =/( 兀)，那么由 _定理，九有子列九，使人( x)-/必. 于 E 41.设为两个集合，则A-B_AW. 42. 设E u R n，如果 E满足E，yE ( 其中E f 表示E的导
8、集 )贝 J E是 . 43. 若开区间 ( 久 0)为玄线上开集G 的一个构成区间，则(/0)满(i) _ (ii) _ ? 44.设 A 为无限集 . 则 A 的基数其中a表示自然数集N的基数 ). 45. 设 E|,色为可测集, 证? a是 _ , 则/( 兀) 是 E 上的可测函数 . 47. 设是E(jR)的内点，则m E_0. 48. _ 设人 为可测集 E 上的可测函数列，且f n(x)=f(x),xeEM由 _ 定理可知 得，存在f n(x)的子列九 ( 兀)，使得 4(%)3 f (x) (xeE). 49. 设f(x)为可测集 E (匸/?“) 上的可测函数，则 /(%)
9、在E上的L积分值不一定存在且 I /(x)l 在E上_ 厶可积 . 50. 若/(%) 是d,b上的绝对连续函数，则/(%) a,b上的冇界变差函数 . 51.设为集合，则AUS(BA)UA 52.设E u R ” ,如果 E 满足 E = E ( 其中表示 E 的内部 ) ，则 E 是_ 集 53.设 G 为直线上的开集，若开区间小) 满足(a,b)gG且QGG/EG,贝 U(a,b)必为 G的 _ 区间 54.设A = xx = 2n,n为自然数 , 则 A 的基数。 ( 其中。表示自然数集N 的慕数 ) 55.设 4,3为可测集，BA且 n?Bv+oo,则mA-mB_m(AB) 56?
10、设/(x)是可测集 E 上的可测函数，则对任意实数a,b(aa是可测集 26.设/ （兀）为可测集E 上的可测函数，则“（兀加一定存在. 27?若A 是 B 的真子集 , 则必 WA0. 32?任何集E u R n 都有外测度。 33.两集介的基数相等，则它们的外测度相等。 34.可测集的所有了集都可测。 35?若 / （兀）在可测集E 上可测 , 则/ （兀）在 E 的任意子集 . 上也可 测。（ 36.于（兀）在 E 上可积必积分存 在。 四. 计算题 兀3 乂可 0 1 ，其中 E为0,1中有理数集，求f/（x）rfx. 0,1 2?设M为04 屮全体有理数 , 九（兀） = 1 xer
11、 Y9r2,-rn 0兀丘0,1 斤, 厂2,叮 3.设 /(%) = sinx x 2 yo,iP，P为康托集 求/ （皿 x e E 厂 - 5. 设 /(x) = 8 J 8 1n(m) - - Q cos xdx. n 及求九心佶宀 川求叫九 g 13.计算 lim(R) f sin3nxdx o ( 提示: ” TOO1 + n x 卜, x 为大于 1 的无理数； 14.设/(%) = g(x)是可测集 4. 设/( 兀)是疋上的町测函数，则对任何常数a 0 ,有mExf(x) a oc JO 11.设 /(x) = y u D 疋 go,1 ”其中咋康托集求严处 使用 Lebes
12、gue控制收敛定理 ) lim f(x)dx = O HT8 JEn 6.证明集合等式：A(AB) = ACB 7.设 , 血是 0,1的可测子集 , 且 mA+叽 1,则加 ( 仏 )0 8.设/( 兀) 是定义在可测集EuR “上的实函数， &为 E的可测子集 ( 斤= 1,2,) ，且 Q0 E = jE n , 则/( X)在E上可测的充要条件是/(%) 在每个 E“上可测 /?=1 9.设/( 兀) 是 E 上的可测函数，则对任何常数a0,有mE xf(x)a /( 兀) ，g” ( 兀)= g ( 兀)，则f n M + gn( X)= / ( 兀)+ g (%) 14. 设/ ,
13、g(Q 是 E 上厶- 可积函数，则J厂( 兀)+ g2( 兀)在E上也是L一可积的 15. 设/( 兀) 是可测集 E 上的非负可测函数，如果f/(x)Jx = O,则/(x) = O a.e 于 E J1 ? 16. 证明等式 : A(BUC) = (AB ) n(AC) 17.设EuR ”是有界集，则mE oo JE n AW= 21. 证明集合等式 : （AUB ）C =（AC）U（BC）. 22. 设 Eo=O,l 中的有理点 ，则竝为可测集且m o=O. 23.证明：尺上的实值连续函数于（兀）必为尺上的可测函数. 24.设/(x)eL(E) , En为 E 的一列可测子 集，加 Ev+oo 贝 ijlim . i EnE 25.证明集合等式 :（BUC）=（AB ）U（AC）. 26. 设ER，E = 0,则 E 为可测集 . 27. 证明：尺上的单调函数/ （x）必为可测函数 . 28. 设/ （% ）为可测集E Q R”上的可测函数，则f （x）G L（E）的充要条件 |/ （兀）|訂（E）. 8 8 29?证明：（ljA /1） = （AA/l ） n=l n=l 30.设 M 是肓线上一族两两互不相交的非空开区间组成的集介，证明M 是至多可列集。 31.证明：若应=0,则 E 为可测集。 如果 lim mE n = mE , noo