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1、平行线相交线全章复习与巩固（提高）知识讲解 责编：康红梅 【学习目标】 1.熟练掌握对顶角，邻补角及垂线的概念及性质，了解点到直线的距离与两平行线间的距离的 概念； 2.区别平行线的判定与性质，并能灵活运用. 【知识网络】 八八垂直的基本性质 L 垂直一 - 点到直线的距离 线段的垂直平分线 两条直线被笫三条直线所截同位角、内错角、同旁内角 1- 平行直线十判定方法与性质 - L 平行线间的距离 【要点梳理】 要点一、相交线 1 ?对顶角、邻补角 两直线相交所成的四个角中存在儿种不同关系，它们的概念及性质如下表: 要点诠释 : 对顶角是成对出现的，对顶角是具有特殊位置关系的两个角. 对顶角的特
2、征 : 有公共顶点 , 角的 两边互为反向延长线； 如果Z a与ZB是对顶角，那么一定有Z?=ZP；反之如果Za=ZP,那么Z a与ZB 不一定是对顶 丄对顶角 斜交 厂相交直线 边的关系大小关系 Z1的两边与 Z2的两边互为 反向延长线 对顶角相等 即Z1=Z2 邻补角有公共顶点 Z3与Z4有一 条边公共，另一 边互为反向延 长线. 邻补角互补即 Z3+Z4=180 角 如果Z a与ZB互为邻补角，则一定有Za+ZB二180。；反之如果Za+ZP=180 ，则 Z a与ZB不一定是邻补角 . 邻补角的特征 : 有公共顶点， 有一条公共边， 另一边互为反向延长线. 两直线相交形成的四个角中，每
3、一个角的邻补角有两个，而对顶角只有一个. 2?斜线及垂线、点到直线的距离 （1）斜线：如果两条直线的夹角为锐角，那么就说这两条直线互相斜交，其中一条直线叫做 另一条直线的斜线 . （2）垂线：如果两条直线的夹角为直角，就说这两条直线互相垂直，其屮一条直线叫做另 一条直线的垂线，它们的交点叫垂足. 如图1,记作：AB丄CD,垂足为0. 要点诠释： 要判断两条直线是否垂直，只需看它们相交所成的四个角中，是否有一个角是直角，两条 线段垂直，是指这两条线段所在的直线垂直. （3）垂线的性质： 垂线性质1：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直（与平行公理相比较记） 垂线性质2：连接直线外一点与直线上各点
4、的所有线段中，垂线段最短 . 简称：垂线段 最短. （4）点到直线的距离： 直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，如图2： P0丄AB,点P 到 直线AB的距离是垂线段P0的长. IP A 0 B 图2 要点诠释：垂线段P0是点P到直线AB所有线段中最短的一条 . 要点二、平行线 1.平行线的判定 判定方法1：同位角相等，两直线平行. 判定方法2：内错角相等，两直线平行. 判定方法3：同旁内角互补，两直线平行. 要点诠释：根据平行线的定义和平行公理的推论，平行线的判定方法还有： （1）平行线的定义：在同一平面内，如果两条直线没有交点（不相交），那么两直线平行. （2）如果两条
5、直线都平行于第三条直线，那么这两条直线平行（平行线的传递性）. （3）在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行. （4）平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行. 2.平行线的性质 性质1：两直线平行，同位角相等； 性质2：两直线平行，内错角相等； 性质3：两直线平行，同旁内角互补. 要点诠释：根据平行线的定义和平行公理的推论，平行线的性质还有： （1）若两条直线平行，则这两条直线在同一平面内，且没有公共点. （2）如果一条直线与两条平行线中的一条直线垂直，那么它必与另一条直线垂直. 3.两条平行线间的距离 如图3,直线AB/CD, EF丄AB于E, EF丄CD于F,则称线段
6、EF的长度为两平行线AB 与 CD间的距离 . A1G EB CHn D F 图3 要点诠释： （1） 直线ABCD,在直线AB上任取一点G,过点G作CD的垂线段GH,则垂线段GH的长 度 就是直线AB与CD间的距离 . （2）初屮阶级学习了三种距离， 分别是两点间的距离、 点到直线距离、平行线间的距离 . 这 三种距离的共同点在于都是线段的长度，它们的区别是两点间的距离是连接这两点的线段的长 度，点到直线距离是直线外一点引已知直线的垂线段的长度，平行线间的距离是一条直线上的 一点到与之平行的另一直线的距离. （3）如何理解“垂线段”与“距离”的关系：垂线段是一个图形， 距离是线段的长度， 是
7、 一个量，它们之I可不能等同 . 【典型例题】 类型一、相交线 V 1. （2015?凉山州一模）我们知道两直线交于一点，对顶角有2对，三条直线交于一点，对 顶角有6对，四条直线交于一点，对顶角有12对， （1） _ 10条直线交于一点，对顶角有对. （2） _ n （n2）条直线交于一点，对顶角有 对. 【答案与解析】 解：( 1)如图两条直线交于一点，图中共有起一 7 兀_2对对顶角 ; 如图三条直线交于 一点，图中共有一 R 亠 6对对顶角 ; 如图四条直线交于一点，图中共有 4 &2) 2)条直线交于一点，对顶角有： 门门一 二门(n- 1). 【总结升华】此题主要考查了对顶角以及图形
8、变化规律，本题是一个探索规律型的题目，解决 时注意观察每对数之间的关系. 这是中考中经常出现的问题. H 2. 直线AB、CD相交于点O, OE丄AB于点O, ZCOE = 40 , 求ZB0D的度数 . 【答案与解析】 解：分两种情况 . 第一种：如图1，直线AB, CD相交后，ZB0D是锐角， TOE丄八B, .ZA0E = 90, 即ZA0C+ZC0E=90 o ? VZCOE=40 , ZA0C=50 . ? ZBOD= ZAOC ? ZBOD=50 TOE丄AB, .-.ZA0E = 90 . V ZCOE=40 , .-.ZA0C = 90 +40 =130 , .?.ZB0D=Z
9、A0C=130 ? 【总结升华】本题属于无图题，首先应根据题意，画出图形，画图时要考虑两种情况：一种情 况为ZB0D是锐角，第二种情况是ZB0D是钝角 . 此外关于两条直线相交，应想到邻补角、对 顶角的定义及性质 . 举一反三： 【变式1（2015*河北模拟）如图，已知点O在直线AB上，CO丄DO于点O,若Zl = 145 , 则Z3的度数为（） 【答案】C. 解：VZ1=145 , A Z2=180 - 145=35 , TCO 丄DO, ? ? ZCOD=90, /. Z3=90 - Z2=90 - 35=55 . 【高清课堂：相交线与平行线单元复习403105经典例题4】 【变式2】已知
10、：如图，Zl = ZB, Z2 = Z3, EF丄AB于F ,求证：CD丄AB . 【答案】 证明：?Z1 = ZB, ?MDBC （同位角相等，两直线平行）. ?Z2=ZBCD （两直线平行，内错角相等） 又VZ2 =Z3 （已知） AZ3=ZBCD ?EFCD （同位角相等 , 两直线平行）又TEF丄AB （已知） ?CD丄八B 【思路点拨】 这是初学儿何时较为复杂的题目，通常是过“拐点”（拐角处的顶点）作平行线为 辅助线，把一个大角分成两个角，分别与两个已知角建立起了联系. 【答案与解析】解: 过E点作EFAB, 因为ABCD（已知） , 所以EFCD. 所以Z4=ZD （两直线平行，内
11、错角相等）. 又因为 ZD=Z2（B知）， 所以Z4=Z2（等量代换） . 同理，由EFAB, Z1 = ZB,可得Z3 = Z1. 因为Zl+Z2+Z3+Z4=180 （平角定义），所以Zl + Z2=Z3+Z4=90 , 即ZBED=90 .故BE丄DE. 【总结升华】解此题的关键是如何构造平行关系，即过哪一点作哪条直线的平行线，只有通过 适当的练习才能逐步达到熟练解题的目的. 举一反三： 【变式1】如图所示，已知直线ABCD,当点E在直线AB与CD之间时，有ZBED=Z ABE+ZCDE成立；而当点E在直线AB与CD之外吋，下列关系式成立的是（） A.ZBED= ZABE+ZCDE ng
12、ZBED= ZABE-ZCDE B.ZBED= ZABE-ZCDE C.ZBED=ZCDE-ZABE 或ZBED= ZABE-ZCDE D.ZBED=ZCDE-ZABE 【答案】C （提示：过点E作EFAB） 【变式2】已知：如图，ZABC=ZADC, BF、DE分别平分ZABC与ZADC,且Z1 = Z3. 求证： ABDC 类型二、平行线的性质与判定 【答案】 证明：VZABC=ZADC A-ZABC=-ZADC （等式性质） 2 2 又VBF DE分别平分ZABC与ZADC ? ? Z1 =丄ZABC, Z2=-ZADC （角平分线的定义） 2 2 ?Z1 = Z2 （等量代换） 又VZ
13、1 = Z3 （已知） ?Z2 = Z3 （等量代换） ?ABDC（内错角相等，两直线平行） 类型三、实际应用 V 4. 手工制作课上，老师先将一张长方形纸片折叠成如图所示的那样，若折痕与一条边 BC的夹角ZEFB=30 ,你能说出ZEGF的度数吗？ 【思路点拨】长方形的对边是平行的，所以ADBC,可得ZDEF=ZEFG=30, 又因为折后重 合部分相等，所以ZGEF=ZDEF=30, 所以ZDEG=2ZDEF=60, 乂因为两直线平行，同旁内 角互补，所以ZEGC=I8O -ZDEG，问题可解 . 【答案与解析】 解：因为ADBC （已知）， 所以ZDEF=ZEFG=30（两直线平行，内错角相等）. 因为ZGEF=ZDEF=30（对折后重合部分相等）， 所以ZDEG=2ZDEF=60 . 所以ZEGC二180 -ZDEG=180 60 =120（两直线平行，同旁内角互补）. 【总结升华】本题利用了：（1）折叠的性质：折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化, 对 应边和对应角相等；（2）平行线的性质 . 举一反三： 【变式】（山东滨州）如图，把一个长方形纸片对折两次，然后剪下一个角. 为了得到一个正 方形，剪刀与折痕所成的角的度数应为（） 【答案】C