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1、数的开方全章复习与巩固一知识讲解（基础） 【学习目标】 1.了解平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、立方根；了解开方与平方互为逆运算，会用 平方运算求某些非负数的平方根，会用立方运算求某些数的立方根，会用计算器求平方根和立方根； 2.理解无理数和实数的概念，知道实数与数轴上的点一一对应，了解数的范围由有理数扩大为实数后， 概念、运算等的一致性及其发展变化； 3.能用适当的有理数估计一个无理数的大致范围. 【知识网络】 【要点梳理】 要点一：平方根和立方根 项目 平方根立方根 被开方数非负数任意实数 符号表示 4a 需 性质 一个正数有两个平方根，且互为相反 数； 零的平方根为零； 负
2、数没有平方根； 一个正数有一个正的立方根；一个 负数有一个负的立方根；零的立方 根是零； 重要结论 (V) 2 = aa 0) a(a 0（6Z0）. 非负数具有以下性质： （1）非负数有最小值零； （2）有限个非负数之和仍是非负数； （3）几个非负数之和等于0,则每个非负数都等于0. 4.实数的运算 数d的相反数是一Q；个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对 值是0. 有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍然成立?实数混合运算的运算顺序：先乘方、开方、再乘 除，最后算加减 . 同级运算按从左到右顺序进行，有插号先算括号里. 5.实数的大小的比较 有理数大小的比较法
3、则在实数范围内仍然成立. 法则1.实数和数轴上的点一一对应，在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大； 法则2. 正数大于0, 0大于负数，正数大于一切负数，两个负数比较，绝对值大的反而小； 法则3. 两个数比较大小常见的方法有：求差法，求商法，倒数法，估算法，平方法. 负数 负有理数 负无理数 【典型例题】 类型一、平方根与立方根 緋1、在2的平方根是血；2的平方根是土V2 ；2的立方根是迈；2的立力 根是土迈中，正确的结论有儿个（） A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个 【思路点拨】根据立方根平方根的定义分别求出2的平方根与立方根，则可求得答案. 【答案】B； 【解析】 解：T2的
4、平方根是土血，2的立方根是迈， ?正确，错误； .? 正确的结论有2个. 【总结升华】此题主要考查了平方根与立方根的定义和性质. 注意熟记定义是解此题的关键. 举一反三： 【变式】（2015春?潍坊期中）已知 - 1的平方根是 3, 3a+b - 1的立方根是4,求a+b 的平方根 . 【答案】 解：?2a? 1的平方根是 3, /.2a - 1=9, Aa=5, V 3a+b - 1的立方根是4, A 3a+b ? 1=64, ?b二50, a+b=55, A a+b的平方根是土低 . 若V102.01 =10.1 ,则 土.0201 = _ 若0.3670 = 0.7160, #3.670
5、 = 1.542,则 二_ 【答案】 1.01； 7.16； 【解析】102.01的小数点向左移动2位变成1.0201,它的平方根的小数点向左移动1位， 变成1.01,注意 符号；0. 3670的小数点向右移动3位变成367,它的立方根的小数点向右移动1位，变成7. 16 【总结升华】一个数的小数点向左移动2位，它的平方根的小数点向左移动1位；一个数的小数点向右 移动3位，它的立方根的小数点向右移动1位. 类型二、实数的概念与运算欽、把下列各数填入相应的集合: /y 3.14、也、V6-V2. 一牙、0.7. 1 V3、 71 （2）无理数集合 ； （3）正实数集合 ； （4）负实数集合 .
6、【思路点拨】首先把能化简的数都化简，然后对照概念填到对应的括号里. 【答案与解析】 （1）有理数集合1、一3.14、V9 0.7 ； /7 （2）无理数集合語、兀、V6-V2.牙； （3）正实数集合語、兀、蔚、V6-V2 . 0.7 ； 72 （4）负实数集合 1、一3.14、一-亍? 【总结升华】有理数是有限小数和无限循环小数，无理数是无限不循环小数. 总结常见的无理数形式 . 举一反三： 【变式】在实数兀，疽，,0.3,其中无理数有（） 7 A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个 【答案】B； 提示：无理数有亦，71. 【思路点拨】先逐个化简后，再按照计算法则进行计算. 【答案与解析】
7、【总结升华】根据开立方和立方，开平方和平方互逆运算的关系，可以通过立方、平方的方法去求一个 数的立方根、平方根 . 举一反三： 4、计算(1) V216+V100() + (-|) 2 +（V） 1 12 1 3 解: 【变式】计算 3 -1 -V-0.008-V0.000216 V 27 (2) (_2)冬归F +戸冷一戸 7 ( 2) (-2)归? +归?X( $归? 8x4 + (4) X 3 =一32 1一3 = 36. 5、(2015春?滩溪县校级月考) 实数a、b在数轴上对应的位置如图，化简 7 (a+1 ) 2+V (b-2 ) 2+ 忆?b |. a0 1ft 【答案与解析】
8、解：由a, b在数轴上的位置可知：- l0, b-2V0, a - b0, ?J 冷+l ) (b-2) 2+ Ia-b| F+1+2 - b+b - a=3. 【总结升华】本题考查实数与数轴，解决本题的关键是利用实数与数轴的关系，判断針1、b-2, a? b的 符号. 举一反三： 1 . 【变式】实数Q在数轴上的位置如图所示，则- 丄卫2的大小关系是： _ a ? -1 a 0 【答案】一VQVQV Q； a 类型三、实数综合应用 * 6、现有一面积为150平方米的正方形鱼池，为了增加养鱼量，欲把鱼池的边长增加6 米，那么扩建鱼池 的面积为多少 ( 最后结果保留4个有效数字 )？ 【答案与解
9、析】 V0.000216 解：因为原正方形鱼池的面积为150平方米，根据面积公式，它的边长为V150 - 12.247 （米） . 由题意可得扩建后的正方形鱼池的边长为（12.247+6）米， 所以扩建后鱼池的面积为18.247 2 333.0 （平方米） . 答：扩建后的鱼池的面积约为333.0 （平方米） . 【总结升华】要求扩建后的鱼池的面积，应先求出其边长，而原鱼池的面积为150平方米 , 由此可得原鱼池的边长，再加上增加的6米，故新鱼池面积可求 . 举一反三： 【变式】一个底为正方形的水池的容积是486m 3, 池深 1.5/7?,求这个水池的底边长 . 【答案】 解：设水池的底边长为X,由题意得 x 2xl.5 = 486 x 2 = 324 兀=18 答：这个水池的底边长为18 m.