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1、第19练平面向量中的线性问题 题型分析 ?高考展望平面向量是初等数学的重要内容，兼具代数和几何的“双重特性”，是 解 决代数问题和儿何问题的有力工具，与很多知识联系较为密切，是高考命题的热点. 多与其 他知识 联合命题，题型有填空题、解答题，掌握好向量的基本概念、基本运算性质是解题的关键. 常考题型精析 题型一平面向量的线性运算及应用 例1 (1)(2015?课标全国I改编) 设Z)为MC所在平面内一点，BC=3CD,则下列结论正确 的是 _. 点评平面向量的线性运算应注意三点： (1)三角形法则和平行四边形法则的运用条件. (2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共
2、线的区别与联系, 当两 向量共线且有公共点时，才能得岀三点共线. 04=XOB+fiOC ，“为实数 ) ，若力、B、C三点共线，则久 +“=1. 变式训练1 (1)(2015?杭州模拟) 如图，两块全等的直角边长为1的等腰直角 三角形拼在一起，AD=XAB+kAC,则2+k= _ . (2)在梯形ABCD 4*，AB/CD. AB=2CD, M, N 分别为CD 的中点， AB=kAM+i.iAN.贝IJ 久+“= _ . 题型二平面向量的坐标运算例2 (1)(2015-江苏) 已知向量a=(2,1), 6=(1, -2),若ma+nb=(9 f 一8)(加, 用R),则加 n的值为 _ (
3、2)平面内给定三个向量a=(3,2), ft=(-l,2), c=(4,l),请解答下列问题 : 求满足a=mb+nc的实数tn, n ； 若(a+kc)/(2ba),求实数広 若d 满足(d-c)/(a+b) f 且dc=yj5 f 求d. 点评(1)两平面向量共线的充要条件有两种形式：若a=(X, pi), b=(X2,旳) ，则a/b的 充要条件 是X“ 兀少1=0;若a方(aHO),则b=Xa. (2)向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行，也可以由平行求参数 . 当两向量的坐标均非零时， 也可以利用坐标对应成比例来求解. (3)向量的坐标运算主要是利用加法、减法、数乘运算法则进行.
4、若已知有向线段两端点的坐标, 则 应先求出向量的坐标，解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则. 变式训练2 (1)(2014-湖南) 在平面直角坐标系中，O为原点，J(-1,O), 3(0,迈) ，C(3,0), 动点D满足CD=,则| 鬲+丽+场| 的最大值是 _ 已知向量04=(3, -4), 08=(6,一 3), 0C=(5m,一3加) ，若点、A、B、C 能构成三 角形，则实数加满足的条件是 高考题型精练 1. （2015-四川改编）设向量a=（2,4）与向量b=（x,6 ）共线，则实数 . 2. （2015?安徽改编）/ABC是边长为2的等边三角形，己知向量a, b满足乔
5、=2a, AC=2a+b. 则下列结论正确的是_ . | = 1；a丄 ab=l;（4a+b）丄記 3. （2015?常州调研）已知 / （一3,0）, 3（0,2）,。为坐标原点，点C 在ZAOB ,OC = 2yfl， 且ZAOC =务设OC= AOA + OBR）,则久的值为 _ . 4. （2015-南通质检）在厶ABC中，AR = 2RB, &=2PR, AP=mAB+nAC 1 则m+n= _ . A 5. （2015?南京模拟）如图所示，已知点G是/BC的重心，过点G作直线/K 与 4B, MC两边分别交于M, N两点，5LAM=XAB, AN=yAC.则学的片需丄辿V B C
6、值为 _ . 6. （2014-北京）已知向量a,方满足|a| = l,方= （2,1）,且肋+b=O0 R）,则闪= _ . 7.已知力（一3,0）, 3（0,诵），O为坐标原点，C在第二象限，且ZAOC=30 f OC=AOA+ OB, 则实数2的值为 _ . 8. （2014-陕西）设0唏，向量a=（sin 29, cos。），*=（cos ff, 1）, 若a/b r 9.如图所示，在/BC中，点O是的中点，过点O的直线分别交直 线力3, /C 于不同的两点M, N, AB=tnAM, AC=nAN （w, 0）,贝lj 1 4 补+扌的最小值为 tn n - 10.向量a, b, c
7、在正方形网格中的位置如图所示，若c=xa+/Z（2, WR）,贝哎 = _ 11.（2015-北京）在厶ABC中，点M, N满足AM=2MC,硕=疋. 若济=xAB+yAC,贝x= _ y= _ 贝lj tan 0= _ 12.(2015?常州模拟) 己知点O 为坐标原点 ,/(0,2), 3(4,6), OM=t OA+t2AB. (1)求点M在第二或第三象限的充要条件； (2)求证：当h = l时，不论b为何实数，A. B、M三点都共线；若t 求当皿丄乔且的面积为 12时a的值. 尖子生走向成功的精品课程(WWW.91 ) 如何求解向 量线性运算中参数的取值范围 答案精析 第19练平面向量
8、中的线性问题 常考题型典例剖析 例1 (1)? 解析 9：BC=3CD f :.AC-AB=3(AD-AC), ?1 ? 4 -? 即4AC-AB=3AD 9 :.AD=-AB+AC. ? | BO=k 2BF= k2(AF-AB)=k2(b a) = -k 2a+k2b(k2为实数 ) ， -? ?1 1 又BO=BD+DO=-a+(-a+k b) = (+k)a+kby 由， 得一*2。 +壬2方=*(l+*i)a+岛方, 即 *( 1 + b 2k2)a+(奴2岛=0. 又a,方不共线，所以 *(1+局一2 局) = 0, 如一右=0 所以曲 = 所以花 =乔+丽=口+(器+器)=扣1+
9、方). 变式训练1 (1)1+2 (2与 解析(1)根据向量的基本定理可得 4 4 由此解得人 =“= 22,所以久 +“= &=? 例2 (1)-3 解析?F=(2, 1),方=(1, 2), :.ma+nb=(2m+n 9加一2”)=(9, -8),即 ? =AB+BC, ? ? 1 ? AN=AB+BN=AB+BC； 又乔=XAM+fiAN, 于是有乔 =久(沁+岡+“( 乔+近) 2加+齐=9, a+ c=(3+4化2+灯，2方一a=( 5,2), ?.* (akc)/ (2ba) y ?2X(3+4Q-(-5)(2+Q = 0, ?k=匹 ?代13- 设d=(x 9 y), dc=(
10、x4, y 1), a+=(2,4), 4(x-4)-2(y-l)=0, 女一4)2+01)2=5, ?=(3, 1)或 =(5,3). 变式训练2 (lh/7+1 解析 设D(x, y),由cb=(x-3, y)及|&)|=1知(x-3) 2+y=l, 即动点D的轨迹为以点C 为圆心的单位圆 . 又0丁+丽 + 52) = (1,0) + (0,萌)+ (x, y) = (x-l, y + 迈) ，?OA + OBOD = 寸( 兀一iF+e+V5 )2. 问题转化为圆(X-3) 2+/=1 上的点与点P(l，迈) 间距离的最大值 . ?圆心C(3,0)与点P(l, 迈) 之间的距离为/(3
11、-1) 2 + (0+3)2=7, 故(x 1)2 + 0，+筋f的最大值为y/7 +1. (2)加 解析 因为04 = (3, -4), OB=(6, -3), OC=(5m, 3?)，所以乔=(3,1), BC=(rn 1, /?). 由于点 / 、B、C能构成三角形，所以乔与荒不共线，而当乔与荒共线时，有一 = 丄，解得 m 1 m L 故当点 / 、B、C能构成三角形时实数 ?满足的条件是加工 *? 常考题型精练 1.3 由题意得 “ 解吨二或 I x=5, y=3. 解析a=(2,4),方=(兀6), Td瓦Z.4x-2X6 = 0, /.x=3. 2. 解析 在/3C 中, 由荒=
12、ACAB=2a+b2a=b,得b=2.又|a|= 1，所以a/=|a|cos 120 =-1,所以 (4a+b)?荒=(4a+Z)/=4a? b+|2=4X(l)+4 = 0,所以(4a+b)丄荒，故正确. 33 解析过C作CE丄X轴于点E( 图略). 由ZAOC=l ，知|OE = CE = 2, 所以OC=OE+OB=XOA+OB, 即OE=).OA, 解析 由CP=2PR知，乔一花=2（麻一乔），知乔 =j （AC+2AR）.由赢=2越，得AR=2 （AB- ? 2 ? 1 ? 4 -?7 AR ）, ?AR=AB,故AP=AC+gAB,所以?+&= . 4 解析（特例法）过重心作平行于
13、底边BC的直线，利用相似三角形的性质，易得x=y=l，则辛 = 丄 =亍 6.5 解析T 加+方=0, *.ka=b, ? | 加 | =d+2=逅, |A| = 逅. 又|a| =1, |2| =逅. 解析由题意知=（一3,0）,励=（0,萌）, 则荒=（一3久，、疗），由ZAOC=30 知以x轴的非负 半轴为始边，OC为终边的一个角为150。, 2 3 - A 故 7_-9 4 以所 ?Itan 500=22 即一￥ =当 , ?久=】? 解析因为a/b, 所以sin 20=cos。，2sin Ocos 0,得2sin 0=cos 3, tan &=*? 同理花 =(* 一) 花 +翔，又
14、M, 0, N三点共线， 故&一細+捉=風一坯 +堀 即g占分旋 +(* ￥+分花=, 由于乔，花不共线，根据平面向量基本定理得 *+一务0且*号+ 彳=0,消掉2即得加 +心2, 故丄+$=*( 加+砒佔+申 m n 2VnJ = 5+金+晋) 詁(5+4)=号.( 当且仅当n=2m时，等号成立 ) 10.4 解析 以向量a和方的交点为原点建直角坐标系( 图略) ，则a=(1,1), =(6,2), c=(1, 3),根据 c=Aa+妙=(1, 3)=2(1,1)+ “(6,2)有一久+6“= 1,久+2“= 3,解之得2 =2 且 “=一*, 故吟 =4. 乙卩 11丄一丄 lk 2 6
15、解析AC+(ABAC) =AB AC, ? 1 1 ?匚，尸一 &? 12.(1)解OM=t AOA + t2AB = /I(0,2)+/2(4,4)= (4/2,2/I +4Z2). 9-2 9 解析MO=AOAM 当点M在第二或第三象限时， 用20, 有 |2 “+4/2工0, 故所求的充要条件为/20且“ + 2/20. 证明当“ =1时， 由(1)知筋=(4&4(2+2). 9：AB=OB-OA=(4A) 9 AM= OM- OA = (44/2) = b(4,4) = t 2AB, ?不论/2为何实数，A. B 、M三点共线 . (3)解 当h=a 2 时，dM=(4t24t 2+2a 2). 又乔= (4,4),皿丄乔， ?.4“ X 4+(4/2 + 2a) X 4=0, ?/2=护，故0M=( a 2, a2). 又| 乔|=4迈, 点M到直线力3： xy+2=0的距离 /+2| :S、ABM= 12, 4迈 X 迈 |/ 一 |= I?, 解得Q=2,故所求Q的值为 2. d=