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1、第9练 顾全局一函数零点问题 题型分析 ?高考展望 函数零点问题是高考常考题型，一般以填空题的形式考查，难度为中档. 其考查点有两个方面：一是函数零点所在区间、零点个数；二是由函数零点的个数或取值范围 求解参数的取值范围 . 常考题型精析 题型一零点个数与零点区间问题 例1 (1)(2014-湖北改编 ) 已知/( X)是定义在R上的奇函数 , 当xNO时,fix)=-3x，则函数 g(x)=/(.r)-x+3的零点的集合为 _ ? f2 xa, xVl, (2)(2015-北京) 设函数、/ 八 4(x a)(x 2a)9 xl. 若1 ,则/( X)的最小值为 _ ； 若. 沧) 恰有2个
2、零点，贝IJ实数a的取值范围是 _ . 点评确定函数零点的常用方法： (1)若方程易求解时，用解方程判定法； (2)数形结合法，在研究函数零点、方程的根及图象交点的问题时，当从正面求解难以入手时， 可以转化为某一易入手的等价问题求解，如求解含有绝对值、分式、指数、对数、三角函数式 等较复杂的函数寥点问题，常转化为熟悉的两个函数图象的交点问题求解. 变式训练1 (2015?宿迁模拟)x表示不超过x的最大整数，例如2.9 = 2, 4.1 = 5.已知 /(.X) =Xx(%eR), g(x) = log4 (x1),则函数力=f(x) g(x)的零点个数是 _ . 题型二由函数零点求参数范围问题
3、 |X 2+5X +4|, XWO, 例2 (2014-天津) 已知函数 /( 对=仁若函数y=fx) ax| 恰有4个零点， 2|兀2|,兀0. 则实数a的取值范围为_ . 点评 利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法： (1)利用零点存在性定理构建不等式求解. (2)分离参数后转化为求函数的值域( 最值) 问题求解 . (3)转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解. 变式训练2 (2015?扬州模拟) 函数沧 ) 是定义在R上的偶函数 , 且满足Xx+2)=/(.r).当用0,1 时，./?=2x.若在区间2,3上方程ax+2a-f(x)=0恰有四个不相等的实数根，
4、则实数。的 取值范围是 _ . 高考题型精练 1. _ 已知旳，也是函数/(x)=c “一|lnx| 的两个零点，则_ 12, 函数y=Jlx) g(x)恰有4个零点，则b的収值 范围是 _ . 21, xWl, 3. (2015?泰州模拟) 已知函数 A , i 1 则函数兀r)的零点为 _ . 1 十10g2X, X1, 4. _ 函数,/x)=2sin7Lv-r+l的零点个数为 . 5. _ (2 015-南京模拟 ) 若方程1ILV-6+2X=0的解为勺 , 则不等式xWx。的最大整数解是 _ . 6?方程2飞+兀2 = 3的实数解的个数为_ ? 7.(2015徐州模拟 ) 己知函数
5、. 心)=严丿4若函数gM=fx)_k有两个不同的零 Jog?x, 00,且aHl),当21则方程l)+gWI = 1 实根的 个数为 _ . fy|, xy, - 11. (2015-南通模拟 ) 定义运算M ：秒= 设函数 ?)=(, 3)吃一1),若函数y x, x0, 所以 _/( x)=(X) 2+3x=x 2+3x. 因为./( X)是定义在R上的奇函数， 所以./(-%)=-/? 所以当xvO 时，J(X)=- X2-3X. 所以当xNO 时，g(x)=*-4x+3.令g(x) = O,即X 2-4X +3=0,解得或兀=3.当x0(舍去) 或x=-2-命. 所以函数g(x)有三
6、个零 点，故其集合为 2萌，1,3? 2X-1, xl 时无零点 . 因此心 2满足题意 . 当x)=2 xa, xl,因此*Wa0). 当a=2时，函数/(x)的图象与函数的图象有3个交点 . 故a1, 所以此时方程无解 . 综上，函数几丫 ) 的零点只有0. 4.5 解析T2siiwcx+1 =0, /.2sin7Lr=x 1,图象如图所示，由图象看出y=2sin7ix与y=x -1有5个交点， ? /W =2sin7Lvx+1 的零点个数为5. 5.2 解析 令. 心)=1眦一6 + 2心 则./(1)=山1一6 + 2=40, ?*.2=l-b0, 因此函数必在区间(2,3)内存在零点
7、，故n = 2. 由图象可知lAx)+g(x)|=l的实根个数为4. 11.(一3, 一2)U2, +oo) 解析 由题意作出/( X)在1,3上的图象如图，记y=A(x+l)+l, .I函 数 的图象过定点 /( 1,1).记3(2,0),由图象知 , 方程有四个根， 即函数y=A x) 与，=恋+&+1的图象有四个交点 , 故, kaB=2_(_ )=予3比0. 10.4 解析令/?(x)=/(x)+g(x), lnr, 0xWl, 则h(x) = x 2 + lnx+2, 1 x2, X + lnx 6, x$2. I 1 2x 2 当lVx2时，h (x)= -2x+= 0,故当lVx
8、2时加兀 ) 单调递减，在同一坐标X X 系中画出y=|(x)|和丿=1的图象如图所示 . 解析由%23x1, 得xW 1 或x$2, 所以./(x) = x 11, xW 1 或xM2, I X 23, x2. 函数y=/(x) c恰有两个零点，即函数yi=/(x)与y2 = c的图象恰有两个 交点，作出函数刃=A), y2=c的图象如图，由图象可知，当一3c-2或c$2时，两个图象有两 个不同的交点，故实数c的取值范围是 ( 一3, -2)U2, +oo). 12一2“ 解析当OW*1时，/(x)WO. 由F(X)=/(X)Q=O,画出函数y=fx)与y=a的图象如图 . 函数F(x)=jx)a有5个零点 . 当一1“0 时，0-%1, 所以X X) = logo.5( -X + 1) = Iog2( 1 X), 即./( X) = 10g2( 1 兀)，一1 X0. 由/(X) = 10g2(l-X ) = t7, 解得x=l-2% 因为函数/U)为奇函数， 所以函数F(x)=心) 一a (0av 1)的所有零点之和为1 一2“ .