《直角三角形的边角关系》锐角三角函数教学设计及教学反思、评课稿.doc.pdf

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1、锐角三角函数 一、 教材分析 1 ?教材内容 本节课是义务教育课程标准北师大版实验教科书九年级（下）第一章直角三角形的边角 关系的第一节 ?本课为第一课时，主要内容是：理解正切的概念，会进行简单的计算，了解坡 度. 2. 地位及作用 正切在生活中的运用非常广泛，如物体的倾斜程度、山的坡度等都往往用正切来刻画 ?同时 正切也是学生接触的第一个三角函数?学好正切，既为正弦余弦的学习打下基础，又为高中系统 学习三角函数做好铺垫 ?因此本节内容极其重要 . 二、 学情分析 1. 知识基础 九年级学生已经学习了直角三角形，函数和相似三角形的相关知识，具备了学习锐角三角 函数的知识基础 ?但是，锐角三角函

2、数和学生以前学习过的一次函数、反比例函数有所不同，它 揭示的是角度与线段比值之间的对应关系?学生是第一次接触用符号表示的函数，因此学生对锐 角三角函数的理解仍然比较抽象和困难. 2. 能力基础 学生已经经历了多次小组合作，探索新知的过程，对探究性学习掌握了一定的方法，具有 一定的活动学习的经验，这为本节课采用小组活动来感知概念打下了基础 . 3. 任教学生特点 我班学生数学基础较扎实，求知欲强，想彖力丰富?能较好地运用所学的知识解决问题 . 三、 目标分析 1 ?教学目标： （1）经历探索直角三角形边角关系的过程，理解正切的概念并能进行简单的计算. （2）经历数学活动过程，发展合情推理能力，能

3、有条理的、清晰的阐述自己的观点 . 教学 环节 教师活动学生活动 以诗句引导学生欣赏剑门关、乐山大佛、窦团山登山阶梯 图 片，再由 “ 激流勇进 ” 让学生感受斜坡的陡悄，提出问 题： 我们用数学知识怎样來比较阶梯的倾斜程度呢？ 设计意图 用实际问题引出本课的探 索 问题，让学生感悟数 学来源 2. 教学重点 理解正切概念 . 3. 教学难点 正切概念的形成过程 . 4?突出重点、突破难点的策略 抓住学生的认知盲点，教师加以启发诱导，抽象出本节课重要的数学模型直角三角 形，配合实验直观展示，帮助学生理解一个锐角和它的对边与邻边的比值之间的对应关系，确定 这是一种函数关系，给出正切概念，突破本节

4、课的难点?理解概念后，通过小组合作辨析、应用 概念，突出本节课重点 . 四、教法、学法 教法：启发式与自主探究结合的教法. 学法：自主探究、合作交流的学法. 五、过程设计 结合教材知识内容和教学目标，本课的教学环节如下: 感悟概念C= 理解概念应用概念 = 归纳小结 生活. 现实模型 学生欣赏图片，思考问题 合作 探究 念 1?请学生观察 4 幅图片 . 教师 提 出问题并巡视各个小组交流情况 . 并请小组代表汇报观察得出的结 论. 小组活动1 学牛观察4 幅图片，展开 讨论 . 学生代表发言，展 示探究四幅图片的成果 . 判断梯子的倾 斜程度可以通 过研究倾斜角 的度数 . 教师活动 问题

5、1：如图，梯子AB 和 DE 哪 个更陡？你是怎么判断的？ 学生活动设计意图 合 作探 感 7 S m 1 （图 ? 澜 / 顾 1 1 1 4 f Llmre L 打 Y 图 1 中的梯子等高，底小 的更陡。 图 2 中的梯子等底，较高 的更陡。 图 3 两个三角形相似，梯 子的倾斜角相等，所以一 样陡。 图 4 中的梯子底和高长度 均不等，直观无法判断. 问题 2：如图，梯子AB 和 DE 哪 个更陡？你是怎么判断的？ （图3） 问题 3：如图，梯子 AB 和 DE 哪 个更陡？你是怎么判断的？ （图 效果：学生可以解决问题 1 和 2,但现有知识可能无 法解决问题 3. 但通过小组活动，

6、能力较 强的同学若有方案， 将成为本节课的一大亮点 ?做好学生上台分 享解决方案的准备 . 图 3 是相似三角 形，可以转化为 倾斜角相等，梯 子的倾 斜程度相 同. 图 4 学生无 法类 比图 1.2.3 白勺方 法得出结论，出 现认知盲点，这 恰好是 本节课的 难点. 师 生 共 探 教师引导学生：当利用角度无法判 断时，不妨试试对三角形的边长入 手加以分析 ?抛出问题串. 学生思考问题 . 教师适当启发诱 导，设计由浅入 深的问题串，对 学生进 （接下页） 需 教师活动学生活动设计意图 感 师：比较图形的某一边长，能否 判断哪个梯子更陡？引导学牛考 虑图形中两边的比值. 今天我们先 探

7、讨 铅 直 高度 与 水 平 宽 度 的 比.( 将直角边与斜边的比留作下 一节课探讨) 师 请学生动手做实验，书看作墙， 尺子看作梯子，观察梯子滑动的 过程? ： 生师：梯子在上升变陡的过程中， 哪些量发生了变化？倾斜角，铅 直高度与水平宽度的比 悟共发生了什么变化？ 探师：能不能解决前面的问题3? 建立数学模型一一直角三角 概形，引导学生继续探索一个锐角 的大小与其对边与邻边的比值之 间的对应关系 . 展示动画，观察点B1 在斜 边 上的滑动 . 师： ZA 的大小不变时，ZA 的对 边与邻边的比值改变吗？ 念 师：如果 ZA 的大小改变，ZA 的 对边与邻边的比值会改变吗？ 学生思考问题

8、 . ( 接上页 ) 学牛动手做实验，思考 并回答： (1)、倾斜角越大 - 梯子越陡 . 行启发 . 同时通 过学生自己动手 做实验，让 (2)、铅直高度与水平 宽度的比值越大一一 学生亲身感悟 梯子越陡? 事物的发展变 学生利用刚才的结论解决 问题 3. 化过程，从变 4 3 化的角度实施 V 3 2 ? ? 梯 子 动态化、形象 DE更陡. 化、直观化教 学生观察动画，并思考。 学，揭示了上八 的大小和上 A 效果：由三角形相似，的对边与邻边 学生很快得出结论：的比值是函数 Z A 的大小不变时， 关系，顺利引 出正切函数概 Z A 的对边与邻边的 念. 比值不变。 当上 A 改变， Z

9、 A 的对 边与邻边的比值也随 之改变 . 即/ A 的对边 与邻边的比和上 A 两 个变量之间是 - 对 应关系 . 教学教师活动学生活动设计意图 环节 教师给出正切的定义，并板书. 学生学习正切的 通过学生 定义:在 RtAABC 中，如果锐角 A 确定，定义，并在教科书感悟概念 那么 ZA 的对边与邻边的比值也随之确上勾出概念，掌握 的背景， 定，这个比叫做ZA 的正切 . 记作 tanA.表示方法 . 生 tanA= 再由教师 理 教师板书：在 RtAABC 八 b。中， 学生发现 tanA 与 来生成概 念，准确 定义正切 成 概 a tanB 的值互为倒 并板书 . tanA =b

10、 数，由此得到结 学生在学 帅：tanB 如何表不？观察 tanA 与 tanB论： 解念有什么关系？ 当 ZA+ Z B=90 习的过程 时， tanA ? tanB=1. 中恰好解 决教材 P5 4 题联系 拓广 概在 RtA ABC 中， Z 090 , tanA 与 念tanB 有什 么关系？ 对 tanA 的几点说明： 学生掌握教师强调 的三点说明 . 数学概念 解(1)初中阶段，正切是在直角三角形中 读 定义的， ZA 是一个锐角 . (2)记号里习惯省去角的符号“Z”， 是用精练 的数学语 概若用三个字母表示角或者用阿拉伯数字表示角 则不能省略，如ZABC 的 言表达出 来的，在

11、 念正切表示为 tanZABC Z1 的正切表示为： tanZl Z a 的正切表示为： tana 教学中 , 抽 象概括 出概 念 后，还要 注意深入剖 析概 （接下页） 教学 环节 教师活动学生活动设计意图 （3） tanA 是一个完整的符号 , 学生掌握教师强调的 （接上页） 不表示 “tan ”乘以“A” .三点说明 . 念，帮助学生 解进一步理解概 读 念，让学生在 理第一次接触正 概 切函数时，能 念 准确理解正切 及其表示方法 . 教师布置小组活动2,小组活动 2 解提出活动要求：1、学生独立完成 . 为了使学生更 （1）、独立完成题冃；2、小组成员相互订正、 （2）、组内同学相

12、互订正，分交流。 好地掌握数学 析错误原因，交流疑问和困惑. 3、学生代表展示正确 概念，此处设 辨 答案. 1如图，填空：4.举于反馈。 计了三道练习 概 析 (l).tan = AC -BC 厶厶 BC tan = 效果：通过举手反馈， 来帮助学生辨 析概念 . 采用学 概 正确率很高 ?教师在巡 生独立完成， (2).女口图 , ZACB=90 CD1AB? 视过程中发现仍有少 小组成员相互 念tan ZACD= =讲解，对概念 念 tanB 二 = = 2、在 RtAABC 中，锐角 A 的对 边 和邻边同时扩大为原来的 20 倍，tanA 的值（ ） A、 扩大为原来的 20 倍 B

13、、 缩小为原来的丄 20 C、 不变 量错误较少，错题集中 在 1 题小题及 3 题. 集 中点评效果较好 . 进行剖析，突 出本课重点 . 1? 教师活动学生活动 设计意图 3、判断对错，错误请说明原因. 理 ( 图 1) tanA= ( AC )小组成员互批互订效 1 题巩固正切 B B概念。 7 / 果较好，激发了学生的 辨 / Ax r 2 题强调 tanA A - C A 8cm C 学习热情，增强了团队 只与/A 的大 解 析 AC ( 图 2) tanA= - ( BC )互助的精神 . 小有关，而与 BC ( tan A 二 ( ) 直角三角形大 AB 概 tanB 二 2cm

14、 () 小无关 . 概tanA=0.5 () 3 题强调 念tanA0 且无单 位，因为它表 念 示一个比值 . 例题：(1)在 RtAABC 中，Z C=90 ?若 AC=4, BC=6, 求 tanA 学生应用止切概念，学习 解题规范 . 结合教材例 应 和 tanB. 题，设计了本 例题，目的是 例 R C 用 应用概念 . 在直 题 教师分析：根据正切概念求解. 角三角形中， 讲并且规范板书，强调必须书写已知任意两边 概 直角三角形这一前提条件。 解 解：在 RtAABC 中， 可求锐角的正 切值. BC 6 3 念 tanA= AC = 4 = 2 AC 4 2 tanB=BC=6=

15、3学牛独立求解 . (2)若 AC=9, AB=15, 求 tanA 和 tanB. S 教师活动学生活动设计意图 应 用 例 题 讲 解 3 若 AB=25, tanB= 一，求 AC 4 和 BC 的长度 . 教师归纳两种解题类型：已知任意 两边可求锐角的止切值 . 反之已知 一边及一锐角的正切值，可求另两 边， 完成 3 道小题后，再次观察 (2) 小 题，给它赋予一定的生活背景. 橐人从小山坡下的点B 走了 15 米 后到达坡顶的点A,已知点 A 到坡脚 的垂直距离为 9 米，求 坡的坡度？ 学生了解坡度。 . 回答： 9 3 坡度 对比梯子，得出结论：i 坡角越大，坡越陡 . 2、坡

16、度越大，坡越陡 . 学生独立求解，回答解题 方法。 反之已知一边及 一 锐 角 的 正切 值 ， 可 求 另两 边，渗透解直角 三角形 . 教 师 赋 予 (2) 小 题生活背景，介 绍坡度，体现数 学来源于生活， 又服务于生活 . 同时 印证了解决 生 活中的数学问题必须抽象出 与之对应的数学模型 . 如图，求 tanC=( ) 5 4 5 (A) 1 (B) - (C) - (D)- b 3 3 作辅助线构造 直角三角形，体 现数学的 “ 转化思想 ” . 教师点评：见比设K 后利用勾股定 理建立方程求解，体现方程思想 . 归纳：在直角三角形中，已知任意 两边的长度，可求两锐角的正切值 .

17、 已知任一边长度和一锐角的止切 值，也可求另两边的长度 . 学生独立解决，添加辅助 线解决了本题 . 效果：要在非直角三角形 中求角的正切值，就必须 作辅 助 线 构 造 直角 三 角 形，体现数学的 “转化思想” . 教学 环节 教师活动学生活动设计意图 小组活动 3 1. 探索 30 , 45 , 60。角的正切值. 请一名学生回答方法 . 2. 探索菲特殊角的止切值 . 如图， AABC 是等腰肓角三角形， ZC=90 .AD 是 ZB AC 的 平分线， 求 ZBAD 的正切值 . 小组活动 3 1学生独立探索30。, 45 , 60。角的正切值 . 效果：犬部分学生都是 采用构造直角

18、三角形 的方法，根据正切的概 探索 30, 45 , 60 。角 的 正切值是对正切 概念的延伸提高 ?需要学 生构造 直角三角形，再 次强 伸 用 提 高 概 念 方法一 : 教学 环节 方法二 : 教师活动 念求值 . 但也有小部分学 生，在求出了tan30 后利 用互余的两锐角的正切值 互为 倒数这一结论，求出 tan60 的值 . 运用了前面 发现的结论 . 这是我在课 堂预设中没有想到的. 2、学生先独立思考 , 再 小组交流 . 学生活动 活动预设：教师做好学生 无法解决求非特殊值的正 切值的思想准备. 调了直角三角形 是求正切值的前 提条件，犬部分 学生能 完成. 探索非特殊角的

19、 正切值较难，采 用小组讨论解决 . 学 生中出现了两 种辅助线的添法 也是构造直角三 角形，体现数学 的一题多解，思 维的 发散. （接下页） 设计意图 （接上页）要 求 锐 角 的 正切 值，需要将此锐 角构造到一个直 角三角形中 . 所 以添 加辅助线， 将 非直角三角形 转化为直角三 用 概 伸 提 高 3、引导学生发现： Z BAD=22.5 0 ,我们已知 tan45 ,可 求得 tan22.5 . 那么 已知 30 角的 正切值，可不可以求 15 角的正切 值呢？ 3 ?学生展示习题分析过 程. 效果：课堂上，部分小组 的学生添加了两种辅助线 角形，体现转化 的数学思想，同 时深

20、化了正切的 概 念. 而 Z BAD 二 22. 5 是 一 个 非 特 殊 角，体现了特殊 到一般的数学思 想. 念 4. 汇总数据4、学生观察表格，发学生观察数 教师展示表格，请学生观察. 现结论： ZA 与它的正据，再次感受 切值对应。 tanA角度与正切值 随 ZA 的增大而增大 . 之间是一个函数 关系，体现函数 味. 教学 环节 教师活动学生活动设计意图 归 小 结 教师请学生畅谈本节课的收获。 学生自由发言。 效果：大部分学生总结到 了本课学习到的概念，方 法，发现的结论 . 有同学 提到团队对她 本环节由学生自 主归纳，总结本 堂课的收获和感 悟. 采用开放式 总 结，让学生畅

21、 所欲言 . 纳 小 结 的帮助 . 作 业 布置作业 （1）、教材 P4 习题 1.1 1 2 题； （2）、预习第二课时正弦、 余 弦 选作题：教材 P4 习题 1.1 3 题. 要求完成调查报告 . 学牛记录家庭作业 . 考虑到学生层次 和个体的差异， 分层布置作业. 作业 1、2 是教材 上的习 题，可以 巩固 所学基础知 识；预习作业为 学习正弦余弦做 铺垫. 选作 题要 求学生，解决生 活中的 数学问 题. 板书设计 锐角三角函数 （1）二. 结论思考：已知a的正切 正切的定义 ZA+ZB=90时 a 在RtAABC中，如果锐角AtanA ? tanB=l 值，求3正切值的方 法.

22、 确定，那么ZA的对边与邻边 例题： 的比值也随之确定 . 这个比叫解：在RtAABC中. 做ZA的正切 .记作tanA. BC 6 3 tanA= tanA= AC =4=2 A C AC 4 2 DU O J 注：由于多媒体辅助教学，部分内容由 PPT展示. 七、教学反思 根据教学经历和学生的反馈信息，我对本课的教学有如下反思： （一）目标达成 在新课程中课堂教学活动的基本理念 教师应激发学生的学习积极性，向学牛提供充分 从事数学活动的机会，帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识 和技能，数学思想和方法，获得广泛的数学活动经验”. 基于这一理念，我选取了身边熟悉的

23、激 流勇进的实例來进行探究引入，通过教师的引导，学生的小组活动探究，让学生亲历发现事物特 征、本质的过程，了解知识的来龙去脉，更有利于帮助学生深刻理解止切的概念?实际教学过程 中, 绝大多数学牛能很好的掌握正切概念，并能应用概念解决相关问题，获得了较好的数学学习 经验，从而达成了本课第一个教学目标. 在活动中，学生是否能积极地思考，是否能与他人很好的交流合作，是否能够从活动里得 出规律和结论等等，这也是新课程理念下对学生能力的一种评价. 因此我采用小组合作感悟概 念，小组互助理解概念、小组交流应用概念来达成木课第二个教学目标 . （二）设计亮点 1、 教学过程渗透函数思想 新版教材从从梯子的倾

24、斜程度谈起变为锐角三角函数，从学生的直观感受上升到 理性思维，更为严谨 ?本课的设计重在学生对正切概念的理解过程. 感悟概念环节先由学生探究， 以实验从变化的角度实施动态化、形象化、直观化教学，揭示了 ZA 的大小和 ZA 的对边与邻边 的比值是函数关系，顺利引出正切概念. 理解概念环节，给出定义后揭示：当锐角A 变化吋， tan A 的值也随之变化. 最后将产生的 30 , 45 , 60 , 22.5。的正切值填入表格，学生观察，再次感 受角度与正切值之间是一个函数关系，体现这节课的函数味. 2、 整合教材，延伸提高 数学教学的最终目的在于实现学习主体的数学发展，具体表现为数学知识的获取、

25、数学能 力的提高、数学思维的养成. 所以本课整合了教材，探究30。， 45 , 60 及 22.5 角的正切值， 强调应用正切的前提条件在直角三角形中. 所 以必然要添加辅助线，构造直角三角形，强调了构 造法，体现了转化和从特殊到一般的数学思想 . 3、 意外收获 特别可贵的是，在理解概念环节的学习过程中，学生理解了：当ZA+Z B=90 时 tanAtanB=l 这一结论，有些学生还能在练习中运用。这是本节课的意外收获 . 在解决非特殊角正切值的过程中，学生能运用多方法思考解决问题. （三）遗憾之处。 表格部分学有余力的学牛还可以从表格的数据中感受到：当ZA 越大， tanA 也越大，将本

26、课推广到正切函数的增减性及极限思想，为高中学习奠定基础. 以上就是我对这节课的教学感悟，不足之处，恳请各位专家批评指正. 谢谢! 锐角三角函数评课稿 锐角三角函数对于初中学生的学习是一个难点，本节课采取实验探究的教学方式来突破教 学难点 ?在教师引导下通过观察、实验、思考、推理等方法完成锐角三角函数的概念生成，达到 教学目标的实现 . 本节课突出的地方有以下几点： 1 ?利用贴近学生生活的实例进行引课，不但能激发学生的学习兴趣，同时也达到提出问题 的目的 . 2. 在正弦函数生成的过程中，借助两组数学实验进行探究，实现合情推理，感受直角三角 形锐角的对边与斜边的比为一个常数，还对正弦函数的生成

27、进行了探究，让学生真正体会到三角 函数也是函数 . 3. 在概念生成的过程中体现数学思想的渗透，始终围绕从特殊到一般的探究过程完成 本节课的学习，学生经历了从30。角、 45。角到一般的 55。角，再到任意的 G 角的对边与斜边 的比为一个定值的探究，增加了数学思维的活动量，有利于学生学习能力的形成与发展. 4. 由合情推理到演绎推理的完成，体现了教师对数学教学的严谨态度，在这个过程中教师 能把时间和空间留给学生，让学生不斷地参与，不断的思考和争论, 教师将学生的主体地位提升 到了较高的层面 . 5. 教师没有把做题做为本节课的重点，重心放在了知识的形成过程，教给学生解决问题的 方法. 6.

28、对教材进行了处理，只讲正弦函数，对于余弦函数、正切函数留在下节课，正弦函数理 解了，另外两个函数可以让学生用类比的方法进行学习. 不足之处：学生在参与的过程中有溜号的，本节课如果能更好地关注学习相对比较薄弱的 个体，给他们更多的个性化指导，激发他们的兴趣和动机，可能教学效果会更好 . 评价及建议 数学课要有“数学味”，这“数学味”通常体现在数学的“理性味”，即“数学研究”味 道。个人认为小朱老师这节课很有数学味。 首先，在“感悟”概念环节，巧妙利用研究梯子倾斜程度四幅图（实为四种情况），引导学 生观察分析，感悟“铅直高度与水平宽度之比”与“倾斜角之间”的联系，自然生成正切概念， 并巧妙追问：

29、“tanB 呢？ ”看似意外地生成 “tan A?tan B = 1 ” 这个结论，实则是独具匠心的设 计。把发现结论的成功感让给学生。 其次，在理解概念环节，突出“正切即两直角边比值”这个实质，与三角形大小无关, 只与 角的大小有关。精心设计的例、习题，覆盖了解直角三角形的几类问题，并且突显正切的实质 （比值），引导学生总结出“见比设K” 的方法，渗透“方程思想”，感悟“间接设元”的数学 方法“美”！应用概念环节，探索特殊角30 、45 、60 的正切值，其数学研究味更浓。通过小 组合作研究，引导学生构造直角三角形解决问题，特别是追问“求Tan22.5 如何构造直角三角 形？ ”把探索研究推向高潮。再辅之以课后思考题，把问题推广到一般。 总之，本节课感悟概念、理解概念、应用概念环环相扣，步步深入，由一般演绎到特殊角的 硏究，很有数学硏究味。当然，不足之处也有，限于篇幅不再赘述