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1、分式全章复习与巩固（提高） 【学习目标】 1.理解分式的概念，能求出使分式有意义、分式无意义、分式值为0的条件 . 2.了解分式的基本性质，掌握分式的约分和通分法则. 3.掌握分式的四则运算 . 4.结合实际情况，分析和解决实际问题，讨论可以化为一元一次方程的分式方程，掌握方程的解法，体 会解方程中的化归思想 . 【知识网络】 【要点梳理】 【高清课堂405794分式全章复习与巩固知识要点】 要点一、分式的有关概念及性质 1.分式 A 一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子一叫做分式. 其中A B 叫做分子，B叫做分母 . 要点诠释：分式屮的分母表示除数，由于除数不能为0,
2、所以分式的分母不能为0,即A 当BH0时，分式一才有意义 . B 2.分式的基本性质 A _ AxM A _AM B BxM r B（M为不等于0的整式） . 3.最简分式 分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式. 如果分子、分母中含有公因式，要进行约 分化简. 要点二、分式的运算 1.约分 利用分式的基本性质，把一个分式的分子和分母中的公因式约去，不改变分式的值，这 样的分式变形叫做分式的约分. 2.通分 利用分式的基本性质，使分子和分母同乘以适当的整式，不改变分式的值，把异分母 的分式化为同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分. 实 际 间 题 列左挂 目标 整式方程的解分式方程的解
3、分心程去分盘 * 3.基本运算法则 分式的运算法则与分数的运算法则类似, 具体运算法则如下： (1)加减运算 a h u + b -= ; 同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减. C C C a . c ad be - -= - ；异分母的分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减. b d bd ci c CIC (2)乘法运算- 其中b、c、d是整式，bd 0. b cl bd 两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母. (3)除法运算一=, 其中a、b、c d是整式，bed 0. b d b c he 两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后，与被除
4、式相乘. (4) 分式的乘方，把分子、分母分别乘方. 4.分式的混合运算顺序 先算乘方，再算乘除，最后加减，有括号先算括号里面的. 要点三、分式方程 1.分式方程的概念 分母中含有未知数的方程叫做分式方程. 2.分式方程的解法 解分式方程的关键是去分母，即方程两边都乘以最简公分母将分式方程转化为整式方程. 3.分式方程的增根问题 增根的产生：分式方程本身隐含着分母不为0的条件，当把分式方程转化为整式方程后，方程屮未知 数允许取值的范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好使原方程屮分母的值为0,那么就会出现不适合 原方程的根一 -增根. 要点诠释：因为解分式方程可能出现增根，所以解分式方程必须验
5、根. 验根的方法是将 所得的根带入到 最简公分母中，看它是否为0,如果为0,即为增根，不为0,就是原方程的解. 要点四、分式方程的应用 列分式方程解应用题与列一元一次方程解应用题类似，但要稍复杂一些 . 解题时应抓 住“找等量关系、 恰当设未知数、确定主耍等量关系、用含未知数的分式或整式表示未知量”等关键环节，从而正确列岀方 程，并进行求解 . 【典型例题】 类型一、分式及其基本性质 【思路点拨】根据分式有意义的条件来判断. 1 A. - 2x + l 、(2016-营口模拟 )下列各式中 , 不论字母取何值吋分式都有意义的是() 1 B. 2x 1 1-3% 5x + 3 【答案】D；A4
6、【解析】一个分式有无意义，取决于它的分母是否等于0?即若一是一个分式，则一有意义B B 5x + 3 OBHO.而选项D,分母2P+1N1,所以无论x取何值一 -一定有意义 . 2X2+ 1 【总结升华】分式有意义的条件是分母不为零，无意义的条件是分母为零. 【高清课堂分式全章复习与巩固例2】 不改变分式的值，把下列各式分子与分母屮各项的系数都化为最简整数. 14, 小3 a + b 23 1 1, -ab 34 【答案与解析】 0.3x + 0.2y _ (0.3x + 0.2y)xl00 _ 30x + 20y _ 5(6x + 4y) _ 6x + 4y 0.05x-y (0.05 兀一
7、y)x 100 5-100j 5(兀一20y) x-20y 原式_ (0A?+0.3;/)xl00 _40F+30b _ 5(8+6于)_ 8+6;/ 八珀一(0.25/ 0.6b)xl00 25? 60;/ 5(5x 2-12/) 5x2-12/ 【总结升华】在确定分子和分母屮所有分母的最小公倍数时，要把小数先化成最简分数；相乘时分子、 分母要加括号，注意不要漏乘. 类型二、分式运算 【思路点拨】本题如果直接通分计算太繁琐，观察比较发现，前两个分式分母之积为平方差公式，通分 后与第三个分式的分母又符合平方差公式，以此类推可解此题. 【答案与解析】 【总结升华】此类题在进行计算时采用“分步通分
8、”的方法，逐步进行计算，达到化繁为简的目的 . 在解 题时既要看到局部特征，又要全局考虑. 举一反三： 变式】计算心 * ）+（Q * % * 2）+ ?十2）（。+ 3）十十 + 2005）（。+ 2006） 0?3x + 0? 2y 0.05x-j (3) 1 4. -a + b 解： 7- -a-b 3 4 ( 4 ) -a + -h xl2 (2 3丿 卜2 (3 4 ) 6a + 16b Aa-3b (2) 解: 2 2 4 原式F+口 F 4 4 l-x 4 1 + X4 8 1-x 8 * 111111 i i - 1 - 1 - H - a d + 1 c + 2 d + 2
9、c + 3 a + 2005 a + 2006 _ 1 1 _ _ _ 2006 a a + 2006 aa + 2006) aa + 2006) a 1 + 2006a 类型三、分式条件求值的常用技巧 【高清课堂405794分式全章复习与巩固例5】 4、已知兀 +丄=4,求 一的值 . X X + + 1 【思路点拨】直接求值很困难，根据其特点和己知条件，能够求出其倒数的值，这样便对求 【答案与解析】 X 4 + X2 + 1 (X 4 + 兀 2 + 1)十兀2 X 1 利用它们之I可的关系进行互相转化 . 举一反三： 【变式】（2015春?惠州校级月考）若0 VX 厂+ 2+ 1x +
10、- X(f丿 兀丿 【总结升华】 数式来求值 . 原式= 1 L = “ -1 ?(x - 丄) 2= (x+) 2 - 4=36 - 4=32, x x /.x - 丄二4“, x 又VOxl, x - = - 4A/2- 4a 2-5b2-6c2 * 5、设abcHO,且3Q + 2Z7 7C = 0, 7d + 4b 15c = 0,求一 的值. a 2+ 2h2- 3c2 【答案与解析】 解：解关于a、b的方程组 + 7c = 7a + 4b 15c = 0 a c 把 i 代入原式中 , 【总结升华】当所求分式的分子、公母无法约分，也无法通过解方程组后代入求值时，若将两个三元一 次方
11、程中的一个未知数当作已知数时，即可通过解方程组代入求值. 举一反三： Y 【变式】已知2x 2-xy-3y2=() f且XHy,求一 的值. X y 兀一y 【答案】 解：因为2x 2-xy-3y2=O, 所以( 兀+y)(2x-3y) =0, 所以x+y = O或2兀一3歹=0, 又因为xHy,所以尢 +丿乂0, 2 所以2x-3y = 0 ,所以y = %, X _ 2 - XX 3 x _ 3 x - 3x x 7 3 3 所以一 X y 兀y 4疋一5(2刀2-6圧 C2+2(2C)2+3C2 原式= -22c2 12c2 H 6 类型四、分式方程的解法 a6、解方程 - = - -+
12、- - X 2 -25 ( X + 3)(兀 + 5)( 兀 + 3)(% - 5) 【答案与解析】 解：原方程整理得： 6 3 5 (x + 5)(x-5) (x + 3)(x +5) (x + 3)(x-5) 方程两边同乘以 (兀+ 3)(x + 5)(兀5)得： 6(兀 + 3) = 3(x-5) + 5(x+5) 去括号，移项合并同类项得：2兀=8,?x = 4. 检验：扌巴兀 =4彳弋入（x+3）（ % + 5）（兀+5）（x5） H 0 ?x = 4是原方程的根 . 【总结升华】解分式方程的基本思想是：设法将分式方程“转化”为整式方程，去分母是解分式方程的 一般方法，在方程两边同乘
13、以各分式的最简公分母，使分式方程转化为整式方程. 但要注意可能会产生增根， 所以必须验根 . 举一反三： 【变式】35春?靖江市校级月考）若关于x的方程罢號总有增根，求增根和k的值. 【答案】解：最简公分母为3x （x- 1）, 去分母得：3x+3k - x+l= - 2x, 由分式方程有增根，得到x=0或x=l, 把x=（）代入整式方程得： k二丄； 3 把x=l代入整式方程得：k二 3 类型五、分式方程的应用 ￥ 7、（2015*扬州）扬州建城2500年之际，为了继续美化城市，计划在路旁栽树1200棵, 由于志愿者 的参加，实际每天栽树的棵数比原计划多20%,结果提前2天完成，求原计划每天
14、栽树多少棵？ 【思路点拨】设原计划每天种树x棵，则实际每天栽树的棵数为（1+20%）,根据题意可得 , 实际比计划 少用2天，据此列方程求解 . 【答案与解析】 解：设原计划每天种树x棵，则实际每天栽树的棵数为（1+20%）, 解得：x=100, 经检验，x=100是原分式方程的解，且符合题意. 由题意得，1200 x 1200 _2 (1+20%) 丁 答：原计划每天种树100棵. 【总结升华】本题考查了分式方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量 关系，列方程求解，注意检验. 举一反三： 【变式】某项工程限期完成，甲队独做止好按期完成，乙队独做则要误期3天?现两队合做2天后，余 下的工程再由乙队独做，也正好在限期内完成，问该工程限期是多少天？ 【答案】 解：设该工作限期为X天，则甲队的工作效率为丄，乙队的工作效率为丄；. x x + 3 依题意列出方程： (11、1 2 - + +(x-2)x =1. x兀+ 3丿兀+ 3 整理，得？ +亠=1. x x + 3 两边都乘以兀(x + 3),得2(兀+3) + F = x(x4- 3). 解这个整式方程，得x = 6. 经检验，x = 6是原方程的根 . 答：该工程限期是6天.