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1、第七章多元函数微分法及其应用 在前面的章节中，我们讨论的函数只含有一个自变量，也就是一元函数，但在很多实际 问题屮常常遇到依赖于两个或更多个自变量的函数，这种函数称为多元函数. 木章将讨论多 元函数的基本概念、 多元函数微分法及其应用. 讨论中我们将以二元函数为主，因为从一元函 数到二元函数，在内容和方法上都有一些实质性的差别，而从二元函数到三元或三元以上的 函数，基本上只是作一些推广，没有本质的差别. 学习本章时，要注意将多元函数与一元函数作对照，弄清楚它们之间的异同，特别要注 意它们 Z 间的差异，以便更好地掌握多元函数微分学的基本概念和基本方法. 第一节多元函数的基本概念 、平面点集维空
2、间 一? 元函数是定义在函数轴创的一个子集上的函数，在讨论一元函数吋，经常会使用一 维 数轴上的点集、两点I可的距离、区间和邻域等概念。因此，为了能将有关一元函数的 微分、积分等重要概念推广到多元函数的情况，我们先引入平面点集的一些基本概念，将 有关概念从创推广到 R2 中, 然后引入兀维空间 , 推广到一般的R“中. 1. 平面点集 我们知道，通过平面直角坐标系可以建立坐标平面上的点P与二元有序实数组（兀, y） 之 间的 对应关系，因此 有序实数组（兀, ），） 的全体，即集合 R2 二 RxR = （兀, 刃卜, ywR 就 表示坐标平面 . 平面点集是指坐标平面上具有某种性质P 的点的
3、集合，记作 = （匕刃 | （兀, 刃具有性质 P? 例如，平面上以点（ ,b）为圆心，为半径的圆内所有点的集合为 E 二 （兀, y）| J（兀- 0）2+0 - b）2 0 为半径的圆内部的点P（x,y） 的全体，而则是圆内部去掉圆心P的点的全体 . 如果不强调 / 邻域的半径，则用5 人）表示点人的某个邻域，点人的去心邻域记作 则). 下而利用邻域来描述点和点集之间的关系. 任意一点 PeR 2 与任意一个点集EUR?之间必有以下3种关系中的一种： (1)内点：设点 P是平而点集 E 中的一点，若存在点P的某邻域 U(P),使得 U(P)uE , 则 称点 P 为点集 E 的内点 . 如
4、图 7 - 1 所示，点片为点集E 的内点； (2)外点：设对平而上的点P及平而点集 E,若存在点 P的某邻域 U(P),使得 U(P)CE = 0,则称点 P为点集 E 的外点 . 如图 7-1 所示，点巴为点集E 的外点； (3)边界点：如果点P的任一邻域内既含有属于平面点集 E 的点，又含有不属于E 的 点，则称点 P为点集 E 的边界点. 如图 71 所示，点片为点集E 的边界点 . 点集 E 的边界点的全体称为E 的边界，记作dE? E 的内点必属于E, E的外点必不属于E,而 E 的边 界点可能 属于 E，也可能不属于E. 如果对于任意给定的力0,点 P的去心邻域 ( P,5)内
5、总有 E 中的点，则称点P是 E 的聚点 . 由聚点的定义可知， 点集 E 的聚点 P,可以属于 E,也 可以不属 于 ? 例如，设 E = i 是无界开区域，集合( 兀刃卜 2 + y2$是无界闭区域 . 2.维空间 记R为实数全体， /? 为取定的一个自然数，元有序实数组(xPx2,-,x,) 的全体所组成的 集合，记作R“,即 R“ = RxRx?xR = ( 兀|, 勺, ，兀“ )| 兀w R,i = 1,2,. R“中的元素 ( 召, 尤 2, ，兀 J常用单个字母兀来表示, 即 x = (x,x2,-,xn). R“中的元素 工 =(占, 兀 2,) 也称为R“中的一个点或一个n
6、 维向量，忑称为该点的第i 个坐标 . 当所有的 x.(/ = l,2,?,/?) 都为零时，称该元素为R“中的零元0 . 特别地，R”中的零元0称为R”中的坐 标原点 或 n维零向量 . 对集合R”中的元素定义如下的线性运算： 设 x = (x) ,x2,-,xn), y =( 必，旳，儿 ) 为R”中任意两个元素，花R，规定 (1)向量的加法运算 x + j = (x, 4- yvx2 + %，? ， + 儿) ； (2)向量的数乘运算 Ax = (2x) ,加 2, 加“ )? 这样定义了线性运算的集合R” 称为 n 维空间 . R“中两点 P(xl, 乞, ，兀 )和 QO1,力，儿
7、) 的距离记作 p(x, y),规定 P( 兀, y) = J3 X 尸 + ( 兀 2 2 尸 + +( 几尸- ,1维空间 中的点集是指具有某种性质P 的,1元实数组的集合，即 = (召 , 兀 2， g)T(O.I) (2) (4) (6) .?1-cos Jx“ lim - (3)T(O? O)in(;r + y +1) lim “nW) lim (x 2 + y2 ) 厂 一 (1) lim gy ) T( oe)x y (2)设/(x,y)= x 4 + y2 0, 工，“HO, lim (x,y) T( 0,0) x2 + y 2 = 0, (1) z = ln(x 2 +) ；
8、 (2) 牛占 9.用二重极限定义证明：lim g)T(O.O) =0. Oz = Hm / （勺+心，几）一 / （兀 0，几）dx E? MTO 心 Wo 上述偏导数也可以记为/：Oo，）b），z；（ Xo，yo）或犬心 0，儿）， zXo ，%）. 类似地，函数z = /（x, y）在点（兀 , 儿）处对 y 的偏导数定义为 )TO 如果函数 z 二/（x, y）在区域 D 内每一点（兀 , 刃处对兀的偏导数都存在，那么这个偏导 数就 是兀， y 的函数，它就称为函数z = f（x, y）对自变量兀的偏导函数，记作賈 学 f? 刃，z；（x, y）或 fx（x, y） , zx（x, y
9、）. OX ox 类似地，可以定义函数z = f（x,y）对自变量 y 的偏导函数，记作 詈, 鲁，z；（x,y）或人（ x,y）, z）,Cr,y）? 由偏导函数的概念可知，Z = / （. ￥, V）在点（兀 0，儿）处对兀的偏导数（兀o，）b）， 就是偏导函数 fx（兀， y）在点（ X。, 儿）处的函数值，而fy （兀 0,儿）就是偏导函数f、 ?（X,刃在点（兀 0, X）处的函数 值. 在不至于引起混淆的情况下，通常也把偏导函数称为偏导数. 值得注意，一元函数的导数世可以看作函数的微分3 与自变量的微分血之商，而偏导dr 数的记号是一个整体记号，不能看作分子与分母之商. 偏导数的概
10、念还可推广到二元以上的函数. 例如三元函数W = /（x,y,Z）在点（兀 , ）“） 处对 兀的偏导数定义为 / ；. （兀, y, z） = lim /（Z?）7（W）, 心 TOAx 其中（x,y,z）是函数 u = f（x,y,z）的定义域的内点 . rfl 多元函数的偏导数的定义可知，在对某个自变量求偏导数时，可将其余的自变量视为 常量，按一元函数的求导方法求导即可. ?例 1 设 f（x,y） = x 2 求 （x,y）, fy（x,y）f A（1,1）, /v（2,2）? 解 将 y 视为常量，对兀求导，得fx（x,y） = 2xy 3. 将兀视为常量 , 对 y 求导，得 fy
11、（x9y） = 3x 2y2. 于是/r（l,l） = 2-bl 3=2, /V（2,2） = 3-22-22 =48. 求函数 z = /（兀, y）在点（ x0,y0）处对 x 的偏导数时， 由偏导函数与偏导数的关系，可以 先 求出偏导函数 （兀, y）,也就是将 y 看作常数而对x 求导数，然后将（如, 几）代入 .（x,y） 求出 人（兀 0，）0）；也可以先将y = yQ代入函数 Z = / （%, y）, 得 z = f（x,yQ）, 然后对 x 求导数 （兀 , ），再以 x = x0代入. 这两种解法的结果是一样的. lim / （心） 0+3）一/ （兀 0， 0） y F
12、或 .v=yo dy * 切 y= ，彳（勺 , 旳）， z；（Xo，y（），人（心旳），z）,（x（）,yo）. ?例 2 设 f(x,y) = (x 2 -y2)ln(x + y) + arctan求 (1,0). (x 丿 解因为 /(x,0) = x 2lnx,所以 川)= 心兀貯 I“ 兀)|= 广(2 川 x +巩貯 1 . 若用人 ( 1，0)=鲁/( 尢，叽 ) ， 也可求 d，o) ，但较麻烦 . ?例 3 求,= J_? + b+z2的偏导数 解把 y 和 z都看作常量，得 dr _ x _ x 旅 Jj? + y2 + z2 厂 2.偏导数的几何意义 根据定义，二元函数z
13、 = /(x,y)在点 Cq,%)处对 兀的偏导数 .( 兀0，儿) 就是一元函数z = /(x,o) 在点 兀。处的导数 , 而导数的儿何意义就是曲线 的切线斜率 . 由于一元函数z = f(x,y0)是二元函数 z = f(x,y) 中 y 取常数儿的结果，这在几何上表示空间曲面z = /(x, y)与垂直于 y 轴的平面丿 =北的交线0, x#l), 证明它满足方程 - + = 2z. y ox lnx dy 由所给函数关丁 ?口变量的对称性( 多元函数关于口变量的对称性是指当函数表达式中 任 证明 由于￥ =)*7, UX =x y In x ,所以 x dz1 dz xv_i - 1
14、 - = yx y dx Inx dy - y + - xy In x = 2x y = 2z Inx 图 7-5 , x2 + y2丰 0, 例如，函数 z = /(x,y)= + K 在点(0,0)对兀的偏导数为 0, x 2 + y2 = 0, (Ax)0 _ r /(0 + Ar,0)-/(0,0) r (A.V ) 2 + 02 r n n f( 0,0) = lim - - 八 =Iim - - - = limO = O. Ax-0 心AXTO “TO 同理，有人 (0,0) = 0.而在上节例 7的讨论中，该函数在点(0,0)处极限不存在，是不连续的. 反过来，容易找到函数在点人
15、连续，而在该点的偏导数不存在的例子. 例如，二元函数 /( 兀, y) = +長是初等函数，点 (0,0)是其定义区域内的一点，故/(x,y)在点(0,0)处是连续的. 但 在点(0,0)处的偏导数不存在 . 首先固定 y = 0,此时/(x,O) = VZ+O=|x|, 而函数 | 兀| 在“0 处是不 可导的，即 /(x,y)在点(0,0)处对兀的偏导数不存在. 同样可证 f(x,y)在点 (0,0)处对 y 的偏导数 也不存在 . 以上两例说明，多元函数在一点偏导数存在与函数在该点连续并无直接联系. 二、高阶偏导数 设函数 z = f(x, y)在区域 内具有偏导数￥ = 人 (兀, y
16、),车=人( 兀, 刃，如果 fv(X,y). dx dy /Jx,y)的偏导数也存在，贝IJ 称它们是函数z = /Cr,y)的二阶偏导数 . 按照对变量求导次序的 不同有下列四个二阶偏导数： 9 忝 dx 其中宾、冀两个偏导数称为混合偏导数 ?同样可定义三 阶、四阶、以及几阶偏导数. dxdy dydx 二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数. ?例 5 求 z = sin2(x + 2*) 的二阶偏导数 . 解 丰= 2sin(x + 2y)cos(x+2y) = sin(2x + 4y), dx dz 一 =2 sin(x + 2y)cos( 兀 + 2y) -2 = 2 sm(2x
17、+ 4y), dy ?=sin(2x + 4 y) = 2cos(2x + 4y), dx r 2 ) =sin(2x + 4 y)J = 4cos(2x + 4y), dxdy dy r 2 = =2sin(2 兀+ 4y) = 4cos(2x + 4y), dydx dx = 一2sin(2 兀+ 4y) = 8cos(2x + 4y). dy d2z r a =- = / “ （圮 Im dx2“dy _ J _ 九 (兀, ) ， a ? a 此处的两个二阶混合偏导数是相等的. x 2 - y2 2 2 n xy, x +y 0 兀 Ob 求/o,(0,0),人(0,()? 0, x
18、2 +) ，= 0. 解当 x 2+/=0 时， =lim /( 0+?0) 7( 0,0)= lim0z2 = 0, At-o A r At-o AY 同理可得 ,X 2 4-/0, AUo? )= (F + b) 0, F + b = o (Ay) 5 () 人(0,0) = Iim mo + ggo)= lim M = _1 Ay 0 yy Ay-() 人(0,0) = lhn 腔鼻迥= ?山 TOAx 心TO Ax 这里两个二阶混合偏导数在(0,0)点的值不相等 . 从以上两个例子中看到二阶混合偏导数有可能相等，也可能不等?事实上，我们有下述 定理. 如果函数 “/( 七刃的两个二阶混
19、合偏导数冀及矣在区域D 内连续，那么dxdy uydx 在该区域内这两个二阶混合偏导数必相等. 换句话说，二阶混合偏导数在连续的条件下与求导的次序无关?定理的证明从略. 对于二元以上的函数，我们也可以类似地定义高阶偏导数. 而且高阶混合偏导数在连续 的条件下也与求导的次序无关. ?例 7 设函数 u=, 证明票 +興+票=0? 股 + b + z2 dx dy 2 dz 证令=* +) ,2+Z2 , 则” = _L,于是 r du _ dr _1 x _ x r 2 dx r J兀 2 + 于 + 尸 Ax 当宀宀 0时，心 , 沪昇+心丁 (?) - 卍+4 兀 2 2 4 y (x,y)
20、 = o h (3) iim/gb+2“) -/( XoJb), i h 2?求下列函数的一阶偏导数： X (1) z = xy + ； y (3) z = ej (5) z = x 2 ln(x2 + 才) ； (7) z = sec?)； (9) u = arctan(x一 y)z； 3. 设 f(x, y) = In 兀+ 丄 2x 4. 设 fx. y) = x + (y -1) arcsin ( 2) iim/5“o ) /( x() ，)o-/2) ； A-O h Hm/g+儿) o) 一/(K) 一九 Vo) A-O h x (2) z = In tan ； y 2 2 / 八犷
21、+ * (4) z = - ； xy ( 6) z = Jln(xy)； (8) z = (14-xy)y； / 、Z Y (10) u=-. y) 人(i,o) . 5. 设 /(x, y) = j e_/dt , 求 .(x,y), fy (x, y). _ x2 + y 2 7. (1) Z= 4 在点(2,4,5)处的切线与兀轴正向所成的倾角是多少? 32M dx 2 e 八 -U C“丿 5 r 3J 因此 ，求 (i,o) , ，求 ACM). y 6 ?设 z = x)xe x证明芒 + dx dz ydy=X )，+ Z dx 1 3x Sr 4 ? r4dx S + y2 在
22、点(1,1,73)处的切线与 y 轴正向所成的倾角是多少? x= 1 8?求下列函数的二阶偏函数： 己知 z =兀 sin y + y3 sin x , ( 1)y sin JU 满足竽=上映;(2) r = yjx 2 + y2 + z2 满足兽 + ?4 +兽=? dt dx0JT 萌 dz z r 第三节全微分 一、全微分的定义 一元函数 y = /(x) 的微分 dy是函数增量 Ay 关于自变量增量心的线性主部，且Ay-dy 是 一个比心高阶的无穷小，对于多元函数也有类似的情形，下面以二元函数为例加以阐述. 先看一个引例，设矩形的长宽分别为无，y,则此矩形的面积为5 = ,如果边长兀与
23、， 分别取增量心与那么面积S相应的有增量 S = (x + Ax)(y + Ay) -xy = yAx + x/y + AxAy , 上式右端包含两个部分，前一部分yAx + A Ay 是关于 Ax, )，的线性函数，后一部分 AvAy, 当 p = y(Ax) 2 +(Ay)2 T0时，是比 p 高阶的无穷小，当 |Ax|, lAyl 很小时，可用Ax + xAy 近 似表示 A5 . 我们称线性函数y Ax + A Ay 为面积 S =. 巧的全微分 . AS 为函数 S(x,y)在 点(x, y) 的对应于自变量增量心，的全增量. 下面给出二元函数全微分的定义. 潮 如果函数 z = /
24、(兀,) ，)在点( 兀, 刃的全增量 Az = /(x + Ax, y + Ay) 一 /(x, y) 可表示为 Az =仏 i + BAy + o(p), 其中 A、B 不依赖于 Ar、)，而仅与 x、y 有关， /? = 7( A.v) 2 +(Ay)2 ,则称函数 z = /(x, y)在 点 O,y)处可微分，而AAx + BAy称为函数 z = /(x, y)在点( 兀, 刃的全微分，记作dz ,即 dz = AAx + BAy . 求爲 (2) 已知z =)严，求真 dxdy (3) 己知 z - ln(x + yx 2 + y2), 己知 1 z = arctan , 求 x
25、dr 9?设 f(xy y, z) = xy 2 + yz2 + zx2, 10.验证： (4) 十 d2z曲 d2z 求丽和 w ; 空、空和业 . dy r dxdy dydx 求几( 0,0,1) ，九(1,0,2),人(),-1,0)及入(2,0,1). (1) 如果函数在区域D 内各点处都可微分，那么称这函数在D 内可微分 . 二、全微分存在的条件 下面，我们来研究多元函数的可微性与连续性以及偏导数存在性之间的关系. (可微的必要条件1)如果函数 z = f(x, y)在点( 兀, y)处可微，贝 ljz = /(x, 刃在 点( 兀, 刃处连续 . 证根据函数可微的定义，有Az =
26、 AAx + BAy + o(p) , 当心TO, $ () 时，有pTO,于 是 o(p) TO.因此 lim Az = 0 从而 lim f(x + X y + Ay) = hmf(x,y) + AzJ = f(x, y). (Av.Ay)-? (O.O) p-0 由函数连续性定义知z = /(x, y)在点(x,y)连续. ( 可微的必要条件2)如果函数 z = /(x,y)在点(x,y)可微分，则该函数在点( 兀, y) 的 偏导数车、车必定存在，且函数z = f(x, y)在点( 兀, y)的全微分为 ,3z Adz A dz =心+Av. dx dy ? 证 设函数 z = f(x
27、,y)在点 P(x,y)可微分?于是，在点P的某个邻域内有Az = AAx + BAy + o(p) 总成立 . 特别当 = ()时上式也成立，这时p=|Ar| ,所以 Az = f(x + Ar, y) f(x, y) = AAx + o(| Ar|)? 上式两边各除以心，再令心TO 収极限，得 Az /( 兀+心, 刃一/( 如) 丿) 0(1 心 I) 4 lim =lim - - - =A + lim !-=A , 山 a Ax Ax 山TO Ax 从而偏导数半存在，且等于A? 同样可证雯 =3.所以 dz 二尖心 +尖)，?dx dy dx dy 我们知道，一元函数在某点的导数存在是
28、微分存在的充分必耍条件?但对于多元函数來说， 情形就不同了 . 当函数的各偏导数都存在时，虽然从形式上能写岀半ZU +尖，但 Az 与 dx dy 它之差不一定是较p 高阶的无穷小，因此它不一定是函数的全微分. 例如，第一节例7 屮讨 论的函数 T，x2 + y 2 0, f 0, x2 + y 2 = 0. 在点(0,0)处不连续，故由定理1 可知，函数在 (0,0)点是不可微的 . 但这个函数在 (0,0)点的 两 个偏导数是存在的，且 (0,0) = 0, /v(0,0) = 0. 这说明，偏导数存在是可微的必要条件而不是充分条件. 但是，如果再假定函数的各个 偏导数连续，则可以证明函数
29、是可微分的，即有下面的定理. ( 可微的充分条件 ) 如果函数 z = /(x,y)的偏导数多、羊在点( 不刃连续， ox dy 定理 1 定理 2 dx dy f(x, y)= 0 H = Zr (x，刃心 +fy (x，yy+ aAx+? 容易证明，上式右边最后两项之和ax + /?Ay 是 p = J(dr)2 +(0 尸的高阶无穷小，事实 上 竺严*1辱+10 愕 *|+|0|, 因此当 qt() 时，心+处厶0,于是 oAx + y 可记为 o(p).这样，全增量Az 可以表示P 为 Az = AAr + BAy + op) 其屮 A = /,(兀, y), B = fy(x,y).
30、这就证明了函数z 二 f(x,y)在点(x,.y)处是可微的 . 以上关于二元函数全微分的定义及可微分的必要条件和充分条件，可以完全类似地推广 到三元和三元以上的多元函数. 习惯上，我们将自变量的增量心，4y 分别记作血， dy,并分别称为自变量x, y 的微 分. 另外，称 fx(x,y)dr fv(x,y)dy为函数 z = f(x,y)在点(x,刃处对自变量兀， y 的偏微分 . 函数“/(x, y)的全微分就可写为 dz = fx (x, y)dx + fy (x, y)dy. 通常我们把二元函数的全微分等于它的两个偏微分之和称为二元函数的全微分叠加原 理. 叠加原理也适用于二元以上的
31、函数的情形. 例如，如果三元函数u = f(x.y,z)可微分，那 么它的全微分就等于它的3个偏微分之和，即 习题7-3 (2) z = arctan 在 x = , y = l 处的全微分 . 1 + b 3. 求函数z = x 2y3 当兀=2, y = -l, Ax = 0.02 , Ay = -0.01 时的全微分 . 4. 求函数 z= Xy当 x = 2, = 1 , Ax = 0.01 , Ay = 0.03 时的全微分和全增量，并求 f 一厂 两者之差 . 第四节多元复合函数的求导法则 一、多元复合函数的求导法则 (1) 9 9 S 1 + 厂 U= 0 2 ； s 2 -r
32、(2) (3) x z = arcsin (y 0)； y (4) (5) u = ln(x 2 + y2 + z2)； (6) 1. 求下列函数的全微 分: 2. 求下列函数的全微分： (1) z = ln(l+F + 尸) 在 x = 1 , U = x y. dw = wv (x, y. z)dr + uy(x, y, z)dj + u: (x, y, z)dz. 兀、 u人皿也八 _ I 4 厂 解因为 =2xsin y , = x 2 cos y. dx dy dz ?例 1 求 z = x 2 sin iny 在点 1,上处的全微分 . dz ) A-l 2 dz = /2(ir
33、+ - dy. 2 ?例 2 计算函数 = 兀+血丄+尹的全微分 . 2 du 1 y 血 du =cos+ ze , = ye , 2 2 dz (I ?、 d? = dx+ cos+ ze vz 12 2 丿 所以有 解因为単 =1, ox dy 所以dy + ye y:dz. y = 2 处的全微分 ; 前而已经提到，求多元函数对某一自变量的偏导数时，只耍将其它自变量都视为常量， 然后按一元函数的求导法则求导即可. 但对于多元的复合函数就不那么简单了?本节我们将 探讨多元复合函数求偏导数的方法. F 面按照多元复合函数不同的复合情形，分3种情况讨论 . 1. 复合函数的中间变量均为一元函
34、数的情形. 如果函数 u = cp及* =鸭都在点 r 可导，函数 z = /(w,v)在对应点 (w,v)具有 连续偏导数，则复合函数Z =在点/ 可导，且有 空=主竺+主空(1) dr du dr dv dr 证 设 r 获得增量这时u = (p，* = 0(!) 的对应增量为“，Av ,由此，函数z = f(u.v)相 应地获得增量Az? 由于函数乙 =/( H,v)在点仏叭具有连续偏导数，于是 Az = AM + + CKAM + 5Z du dv 由于定理 1 中的函数 z 是自变量 / 的一元复合函数，所以z 对/ 的导数称为全导数 . 定理 1 的结论可推广到复合函数的中间变量多
35、于两个的情形. 例如，设 Z 二 f(u,v,w)是由 u =(p(t), v = y/(t), w = co(t) 复合而成的复合函数 则在与定理相类似的条件下，该复合函数在点r 可导，且其全导数为 dz dz du dz dv dz dw = - 1 - 1 - ? dZ du dt dv d/ dw dt 如果函数 u =(p(x. y)及 v = y)都在点 (x,y)存在对 x , z = f(u.v)在对应点 (u,u)具有连续偏导数，则复合函数z= f0( x,y)0( Xy) 在点(x,y)的两 个偏导数存在，且有 dz _ dz du dz dv dx du dx 3v dx
36、 定理 1 其中，当 MTOAv 0 时，ex -0 9 0 -0 ? 将上式两边同除以d,得 Az dz Aw dz Av Au “ Av - = 1 F a F u. Az du Ar dv / - Ar Ar 因为函数 u =(p(t), v = i/ (7)是/ 的可导函数，所以 0时，”0 , Av 0, Av dv - - ?所以 / dr AM AV lim a + p 山TO I Ar Ar T口“ Az dz du dz dv 口门 so Ar du dz 3v dr dz dz du dz dv = - H - dr du dr dv dr A w Ar dw dr dw
37、,imcr d/d-o ) 烷蝕0卜。? (2) y 的偏导数，函数 2.复合函数的中间变量均为多元函数的情形. 定理 2 dz dz du dz 3v = - 1 - dy du dy dv dy y 看作常数，中间变暈H和 u 看作一元函数而应用定理1,再将导数记 号改为偏导数记号，可得( 3)式，同理可得 (4)式. 对于中间变量多于两个的情形，也有类似的结论： 设函数 u =y) , v = y), w=co(x,y)都在点 (x,y)具有对 x 及对 y 的偏导数，函数 z 二/(?, v, w)在对应点 (i/, v, w)具有连续偏导数，则复合函数 z = f(p(x, y),
38、0( 兀, y),施, y) 在点( 兀, y)的两个偏导数都存在，且可用下列公式计算： dz dz du dz dv dz dw = - 1- 1- , dx du dx dv dx dw dx dz dz du dz dv dz dw = - 1- + - dy du dy dv dy dw dy 3. 复合函数的中间变量既有一元函数，又有多元函数的情形. 如果函数 u =(p(x,y)在点(x,y)具有对 x 及对 y的偏导数 , 函数 u = 0(y)在点 y 可导, 函数 z = f(u,v) 在对应点 ( ,“) 具有连续偏导数 , 则复合函数 Z = f(p(x,yy/(y) 在
39、点( 兀 刃的两个偏导数存在，且有 dz dz du - - 9 dx du dx dz dz Ou dz dv = - 1 - ? dy du dy dv dy 证 上述情形实际上是情形2的一种特例，即在情形2屮，变量 3 是 y 的一元函数，与 无 无关，从而些 =0；在卩对 y 求导时， , 这就证明了上述结果. ax dy dy 在情形 3 中，述会遇到这样的情形：复合函数的某些中间变量本身又是复合函数的自变 量. 例如，设函数z = f(x,y, w)具有连续偏导数，而w=co(x,y)具有偏导数，则复合函数z = fx, y,论,y)可以看作情形2屮当八兀， v=y 的特殊情形 .
40、 因此 包=1,也“ ，也=0,也=1. dx dy dx dy 从而复合函数z = fx,y,co(x,y) 具有对自变量兀及y 的偏导数， II 由公式 (5) (6)得 dz _df df dw dx dx dw dx dz _df df dw dy dy dw dy 值得注意，上面李与嬰是不同的，半是把复合函数z = fx,yy) 中的 y 看作常数OX OX 0X 而对兀的偏导数，而冬是把函数/( “, 阴中的y, w 看作常数而对兀的偏导数，尖与嬰也ox ay dy 有类似的区别 . 上述复合函数的求导法则称为复合函数求导的链式法则. 在求雯时 , UX (5) (6) 定理 3
41、(7) (8) 及“ =) ，+丄，v = x4-丄复合而成的复合函数. 于是 dz dz du dz 3v , = - + - = / dx du dx dv dx 2w-v H = In x v = sinx i 求 ?dr 解 dz =ddu * 主空=2宀丄 + e 2w - v ? (-1)? cosx =严小阮dr du dr dv dx x w-v 2 cosx l牙) ?例 2 设?f ，+八求瓠善 dz dz du dzSv “ .“, = - H - = e sin v - y+ e cos v -1 dx du dx dv dx = e n ysin(x+y) + cos
42、(x +y) ， dz dz du dz3v “ .“(? , 、( “ = - + - = e sinv-x + e cosv? 1 =e 兀 sin(x+y) + cos(x+y)? dy du dy dv dy ?例 3 设W = /(x,y,z) = e r+ +z?. -du du z = sin x ,求一，一dx dy 屯二 + 必虫=2 兀产心 +2ze W+，ycosx dx dx dz dx =2er+v+ v“sin_ -v (x + y4 cos xsin x), 包=绥 + 艺虫=2 唐+心 +2z/+E ? 2ysinx =2) ef+f (1 + 2 几血 2兀)
43、. dy dy dz dy / 2兀 x，, xyz l y ? ?例 4 设 I、, dsds ds w = xyz, 解令 U = X 2 f V =, y ds du = - +- + - du dx dv dx dw dx ds 3v ds dw x N E ds dw =皿?ow dz 其中化，化,尤分别表示函数对中间变量- ( 1 1、 ?例 5 已知 z = / y +丄“丄，且 / 具有二阶连续偏导数， I兀y) 解 令 M = + , V = X + , 则 Z = , 因此，函数Z = /)，+ 上 35 一 rg 35 一 rs ?ds 3v 叫 2 处扣皿 w 求偏导数
44、 . p d2z c) 2z 是由 z = /(w,v) dz _ dz du dz dv _ , / 在求二阶偏导数时，注意托,尤仍然是以 戶:- 尹 y 为屮间变量，以兀，y 为自变量的复合 函数，根据复合函数的求导法则，有 与一元函数的微分的形式不变性类似，多元函数的全微分也有形式不变性，也就是说, 不 论“，卩是自变量，或是中间变量，当z = /(W,v)的全微分存在时，其形式是一样的，即 ,dzdz . dz =du 4 - dv , du dv U 是自变量口函数z = /(M, V )可微时，式 ( 9)成立. 如果 M, V 是中间变v = y/(x,y), 且复合函数 z =
45、 /0Cx,y),0( x,y)可微 , 则 z 的全微分为 .dz - dz . az =ax + ay dx dy 由于 dz dz du dz dv dz dz du dz dv = - +- 9 = - + - dx du dx dv dx dy du dy dv dy 代入 dz,得 例如, d(wv)=dw+dv=vdw+wdv. du dv 以上其余两个公式的证明类似. 丨 2 1 厂 + 厂=ff“X: + 屯 + av-3X av 一 2 111 2 1 2 =_ f z + - _ f“ f“ + f“=_ f z + _ / f“ + f“. 3 Ju 4 丿“2 Juv
46、2 丿vw 丿w 3 Ju 4 丿“2 丿“ 丿艸 X X X X XXX = d_(丄 、 dxdy dy ( x =-fuu + 冗 + x x y XT f ” du “ dv “ “ dy 丄 二、全微分的形式不变性 a2z lfu +fv = - -7 X JT 屯+f“. 也dy Jvv dy ?o) 的某一邻域内能唯一确定一个连 它满足条件儿 =/( 兀), 并且有虬上 dx _ F、 公式(2)就是隐函数的求导公式. x+y f求, dz dx 6. 设“二 sin(F +) /+ z?), x = /? + 5 + Z? y = rs + st + tr , z = rst,
47、 R , , dr ds dz dz u 一 v - 1- =- du It 7. iS z = arctan , x = u + v , y = u-vf求亠， , 并验证 : y du dv du dv u 2 + v2 8. ：z = f(x,y,t) = x2 - y 2 + r , x = sint, y = cost, 求 J. ?dt 9?求下列函数的一阶偏导数(其中/ 具有一阶连续偏导数): (1) z = /(x 2-y2)； (3) u - xy.xyz)； 10.设 z = xy + xF(u), hi u = , x u = f 孚; (y z 丿 (4) u = /(x 2 -y2,evv,Inx). F(u)为可导函数，证明： x 学+y = z + xy. ux dy “?设 z = y(pcos(x- y)XL (p 为可导函数，试证 : 12. 设 u = x kF (且 F具有一阶连续偏导数, dz dz z - 1 - =. dx dy y 试证： x+y 13?设 z = sin y + /(s