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1、3. 4. 1三角函数的周期性以及函数y=Asin x, y=sin 3x的图象与 性质 _ 课前?預习导学_ ? ? ? KEQIANYUXIDAOXVE 1.三角函数的周期性 (1)一般地，对于函数y=fd),如果存在非零常数7,使得当 / 取定义域内每一个值时 , 都有定 义，并且fG吐7) = fix), 则这个苗数y= fx)称为周期函数 , 厂称为这个函数的 一个周期 . 如果周期函数y=f(0的所有的周一期中存在一个最小的正数，这个最小的正数就称为 这个函数的最小止周期 , 我们也常常将“瑕小止周期”简称为“周期”. (2) y=sin / 是周期函数 ,2M ( 圧Z, 3?能
2、分析y=sin y=sin 的 图象与y=sin / 图象的关系； 4.会解决函数y=Jsin A, y=sin (x 的性 质问题 . 重点：周期函数的定 ?义以及正弦函数、 余弦函数、止切函数的周期. 分析函 数 y=/4sin xf y=sin 的图象与 性质； 难点：周期函数的定义； 疑点：函数y=sin x, y=sin 的图象与函 数y=sin .x图象的关系 . 3.函数y=si n QX(Q0,qHI) 的图象与性质 (1)函数y=si n Q*G0, ?H1)的图象可以由y=si nx的图象上每一点(x, sin方 的纵坐标不变 , 横坐标仲长(01)为原来的丄得到 . CO
3、 (2)函数y=sin 少工1)的周期是7,值域为 一1, 1. CO 预习交流4 你能由周期函数的定义说明y=sin 3* 30,少工1)的周期为什么是匕吗 ? 提示：l+l于sin( H ) =sin x, 即si 预习 交流5 若对于函数f(x)定义域中的每个值尢都有f2x+T)=t2，能否说的周期为 “ 提示：不能 . 从周期 函数的定义式Kx+r)=f(x)可知，自变量丸木身增加的常数才是周 期. 当fx+T)=f(2x)时，有 *卜+勺=心) ，所以 心) 的周期不是T,而是f OO 感悟： 在预习中，还有哪些问题需要你在听课时加以关注？请在下列表格中做个备 忘吧！ 我的学困点我的
4、学疑点 课皇?令作探究 KETANGHEZUOTANJIU 晅越导 一、求三角函数的周期 ?活动与探丸 ? 求下列函数的周期： (l)y= 3sin x； (2)y=cos 5x； (3)y=3tan 3x. 思路分析：利用三角函数的周期以及周期的定 义求解 . 解：(1)由于一3sin x=3sin(x+2 兀) ，所以y=3sin / 的周期T=2 n ； 最小止周期为 2. _ 已知y=2sin e*0O)的周期 为4开，则 Q= _ 答案冷 2 n I 解析：依题意应有=4 Ji , 所以3=总? 3 Z 2 JI = sin “ 因此尸sin必的周期为石 由于cos 5x=cos(5
5、x+2 兀)=cos 右+ 2 JT 所以y=cos 5x的周期丁=； (3) 由于3tan 3=3tan(3+ n ) =3ta 乡迁9023用 . . 1. _ 函 数y=cos( 4x)的最小止周期为_ 所以y =3tan ?x 的周期T=. 答案熄 解析：y=cos(4%) =cos 4x,而cos 4x=cos(4x+2 兀)=cos 所以换数的 ( 师点律 ?- 般地，函数y=/sin( ?/+ 0)及，函数尸弭cos(必+ 0) (SHO, ?H0) 的周期为 函数y=tan(0)的周期为严一 . I e | 丨少 二、三角函数的图象变换 ?活动与探宛 ? 画出函数y=2sin|
6、x的图彖，并说明巾这个窗数的图彖怎样得到苗数y=sin / 的图彖？ 思路分析：利用五点作图法画两数F=2sin|x的图象，然厉通过横、纵坐标的变换得到函数 y=sin / 的图象 . 解：令分别取0,才，兀，斗二2兀，列表如下： X 0 兀2兀3兀4 n 1 2 X0 兀 T 兀 3 K 2 2 n y=2sinr020一 20 描点、连线即得函数y=2sin在一个周期上的图彖，然后根据周期性，将其向左、右扩 展，即得 . 尸2sinv,圧R的图彖 . 的图象，然后再将尸singv图象上每一点的纵坐标不变，横坐标变为原来的即可得到函数 尸sin x的图象 . 24嗨熏用. 1. (2012浙
7、丘高另，文6)把函数y=cos2x+l的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2 倍( 纵处标不变 ) ，然后向左平移1个单位氏度，再向下平移1个单位长度，得到的图象是 (). 答案：A 解析：y=cos 2x+l图彖上所有点的横处标伸长到原来的2倍得yi = cos x+,再向左平移1个 单位长度得y2 = cosd+l)+l,再向下平移1个单位长度得F3=cosd+1),故相应 图象为A. 2.为了得到函数y=sin / 的图彖，应将函数y=|sin x的图彖上每一点的横他标不变, 纵坐标变 为原來的 () 倍即可 . 1 3 A .3 B. C? 1 D?厅 O 乙 答案:A 昭师点津 ?.
8、画函数尸彳sin 0*力0,。0)的图彖时，仍然可以用“五点法”，但应先作变量 代换，令GX=O,斗，JT , 鹫，2 H , 求得X相应的值，然后根据X, y的值描 点，连线画出函数的图象. 2.进行图象变换时，一是要牢记横坐标与纵坐标的变化规则，二是要分清哪是一变换前的函 数，哪是变换后的函数 . 三、函数y=Asin ex的性质 ?活动与探究 ? 己知惭数f(x) =3cos(2x+0),其中00兀，若f(x)是奇函数 . (1)求0的值 ; 求/U)的?单调区间? 思路分析：结合诱导公式求0的值，根据0的值，将fd)解析式化简，然后求其单调区间. 解：(1)由于cos(2%+j= si
9、n 2x. 而y= sin 2x是奇函数，从jflj y= 3sin 也是奇函数 , 时，f(%) =3cosf2%+j=3sin 2x是奇函数，即0的值为才 . (2)由知f(x)=-3sin 2x. , JT H z , zt lJT JT 令2A兀一石W2/W2&H +三- 解得A兀xkn +, AeZ, 所以的单调减区间是An-y, AJi+y (Aez) ； , JT 3兀JT 3 H 令2&兀+2x2kn + 刁一解得 &兀+xkn + 所以的单调递增区间是巾+十，M+牛 ( 圧Z). 故当 2 堂费 0）的周期为3兀，则其递减区间为 答案：3斤兀+乎，3&JI+￥ （?WZ） 9
10、 j9 解析：由于fd）的周期为3n,所以=3n, 3 o 于是f（x） =*sin|x.令2k 只 + 专-W彳+才， 3兀Q 角军得 ? 3AIT H W/W3斤口 + 兀，&WZ. 故f3的减区间是3“ +晋，3加+乎（圧Z）. （?师点津 ? ?求y=sin ex的单- 调区间，可以把看作一个幣体（保证gAO ）放入r=sin x的 单调区间内，解不等式求得. ? 钞检测： 1.函数y= sinx的周期为（） JI A.开B. 2 Ji C. 4 n D. 答案：B 2.函数y= 3cos 2x的最大值是（） A. -1 B. -3 C. 1 D. 3 答案： D 3.要得到函数y=s
11、in 4x的图彖，只须将函数y=sin / 的图象上每一点的（） A.横朋标不变，纵朋标变为原来的4倍 B.纵处标不变，横处标变为原来的4倍 C.横坐标不变，纵坐标变为原来的+倍 D.纵坐标不变，横坐标变为原来的+倍 答案 :D 4.函数y=sin 的图象，可以由函数y=|sin 3x的图象上每一点（）得到. A.横坐标变为原來的3倍 B.纵坐标变为原来的 *倍 C.横处标变为原來的 *倍 D.纵处标变为原來的2倍 答案： D 5.若函数y=-5cos 3x（ 30）的周期为4,则其递增区间是 _ ? 答案：4丘仏+2（斤EZ） 解析：依题意有壬=4,所以.G=斗，即y=5cos-. 3 乙厶 令2&Ji W*XW2&JI + Ji ,解得4&WxW4&+2, AGZ, 因此函数的递增区间是4乙4&+2 （AeZ）. 倒? 收 获： 川秸练的语言把你当堂掌握的核心知识的粘华部分和棊木技能的耍领 部分写下来，并进行识记. 知识精华技能要领