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1、【例2】将 心N+ )的展开式中 h 的系数记为色，则 突破170分之江苏高三数学复习提升秘籍 问题二，非标准二项式定理求解特殊项问题 二项式定理是高考高频考点，基本上每年必考，难度中等或中等以下, 二项式定理作为一个 工具，也常与其他知识交汇命题，如与数列交汇、与不等式交汇等. 因此在一些题目中不仅仅考查二 项式定理，还要考查其他知识，其解题的关键点是它们的交汇点，注意它们的联系. 一、二项式定理与函数的交汇 (1 (X - )6/ XV 0 f 【例1设函数= s % 则当x0时川 /? 表达式的展开式中常数项为 乐,x0 , 【答案】?20 【解析】x0 时,f3=_“c-2r，由题 ?
2、 (1-x) -4/ ? (1-x)迄0 (1-X) 两边取导数可得斤 (1 +尤) 心二C： + 2C認+3C：” + +nCnnxn 令兀=1得C； + 2C； + 3? + +心=n?2“T? 五、二项式定理与信息迁移题的交汇 【例6】已知力是一个给定的正整数, 如果两个整数日力除以力所得的余数相同，则称曰与b 对模m同余记 作克如odrri)例如：5三13(/7?加4). 若则厂可能等于 () A.2013 B.2014 C.2015 D.2016 【答案】A 【解析】22015 二2“23“71 二4x8671 二4(7 + 1)671 二4(7671+ 0717670 + + 7
3、+ 1).因此 22015除以7的余数为4经验证只有2013除以7所得的余数为4. 故选A. 牛刀小试用a代表红球 / 代表蓝球I代表黑球 . 由加法原理及乘法原理，从1个红球和1 个蓝球中取出若 干个球的所有取法可由(1 + a)(l +切的展开式1 + a+ b+ ab表示出来如： T 表示一个球都不取、表示取出一个红球、而“力则表示把红球和蓝球都取出来依此类推，下列各式 中，其展开式可用来表示从5个无区别的红球、5个无区别的蓝球、5个 有区别的黑球中取出若干个球, 且所有的蓝球都取出或都不取岀的所有取法的是 _ . 【答案】(l + m+a 2 + a3 + a4 + 却)(1 + (l
4、 + 6) 5 【解析】分三步 : 第一步 ,5个无区别的红球可能取出0个门个5个，则有(1+ &+/+/ + +勿种不同 的取法； 第二步,5个无区别的蓝球都取出或都不取出，则有(1+F)种不同的取法；第三步,5个有区别的黑球中任取0 个,1个宀5个，有(1 +血+曲+酬+曲+苕) = (1+扩种不同的取法，所以所求为(1+& + 才 + 金 + s + h) (14- b) (14- c) 【迁移运用】 1.【吉林省长春市普通高中2017届高三质量监测 ( 一) 数学( 理) 试题】 (宀 丄丁展 2x 开式中的常数项是_ . 【答案】 1O 【解析】 试题分析：常数项为7；=C：(x 2
5、)2(-)4=|. 2x 16 考点：二项展开式系数 【方法点睛】求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略 求展开式中的特定项. 可依据条件写出第厂+1项，再由特定项的特点求岀厂值即可. (2)已知展开式的某项，求特定项的系数. 可由某项得出参数项，再由通项写出第厂+ 1项，由 特定项得出厂值，最后求出其参数. 2.【山西大学附中2017届高三第二次模拟测试数学(理)试题】 ( 理科)( 兀-2y) 6 的展 开式中，Ty 2 的系数为 () A . 15 B . -15 C . 60 D . -60 【答案】C 【解析】试题分析：依题意有C 4（-2y）2=60x4r，故系数为 60. 考点
6、：二项式 . 3.【江西省新余市2016届高三第二次模拟考试数学（理）试题】（卓-%） 9 展开式中除常Q X 数项外的其余项的系数之和为_ . 【答案】-5377 【解析】 7； = C； x 2 x（-1） 3 = -5376,除常数项外的其余项的系数之和为 -5376-1 = -5377. 考点：二项式定理 . 4 . 【湖南省郴州市2017届高三上学期第一次教学质量监测数学（理试题】已知（2兀-古） 展开式的二项式系数之和为64 ,则其展开式中常数项是_ . 【答案】60 【解析】 试题分析 工6-乂 r 2?, = 64 = /? = 6 = 7；.+1 = C；(2x) 6_r(-
7、l)rx2 =C-) 22 x 2 =6- = 0=r = 4 = =60 . 考点：二项式定理 . 5.【山西省临汾一中、忻州一中、长治二中等五校2017届高三上学期第二次联考数学（理） 试題分析：令“1,得各项系数和为（2-1）1, 3上一9 -x） ?展幵的通项 x (F = ? x(_l)U,令 试题】已知（仮 +弓 的展开式中的第四项为常数项，则“_ 【答案】9 考点：二项式定理 . （1） 6 ?已知心）二|x+2| + |x?4|的最小值为。则二项式 / J 【答案】15 【解析】因为函数心）=|x+ 2| + |x?4|的最小值为4? （?2）二6,即n= 6. 展开式的通项公
8、式 ?二4炉“ （?1为由6-2C2,得C2,所以T3 = C（?1尸二 即0项的系数为15. 7. 设复数 * 二百（i 是虚数单位） , 贝IC!oi5X+C2oi 5M + C3oi5 “ + ? + C280 i5 = 【答案】?i J 2i 【解析】 %= 二? 1 + i,C! 015%+ C2 0150 + + C? 8於M 015 二（1 + 力2 015 ? 1 二i2 015 .二. 1 - I / 8 .已知（1+对）=兔）+ a兀+ a?*-+ +尢了 + 鸟尢蔦则从集合M = 试题分析 : 依+二！的展开式通项为為=噪依厂匸J2C衣丁，由展开式中第四项为常数项, X丿
9、 1X丿 【解析】 即尸=3时, n-3r =0宀=9,故填9. “展开式中 % 2 项的系数为 x x =,xe R CI J (Z = 0,l,2, ，& 丿= 0,1,2, ,8 )到集合 “ = 1,0,1的映射个数是 _ ? 【答案】6561 【解析】(l + x 2)4 = 14-4x2 + 6x4 + 4x5 + xs ,所以 ? = 迢=1 a. = =4:a4 = 6 = a3 = a5 = a7 = 0 , J 2 1 1 所以集合M中有0、lx 4、6、 x -7 x x才从M到N的映射共有3、= 81亠=6561个? 3 2 4 6 9 . ( 1+x ) n的展开式中
10、 ,xk的系数可以表示从n个不同物体中选出k个的方法总数 . 下列 各式的展开式中护的系数恰能表示从重量分别为1,2,3,4，,10克的5码( 每种狂码各一个 ) 中选出若干个，使其总重量恰为8克的方法总数的选项是 _ . 【答案】 (l+x ) ( l+x2) ( l+x3) . (l+x】o ) 【解析】 / 是由X、x3、x4、x5、x6、x X*、X X】。中的指数和等于8的那些项的 乘积构成，有多少种这样的乘积, 就有多少个 / ? 各个这样的乘积，分别对应从重量1、2、3、. 10克的弦码 ( 每种誌码各一个 ) 中，选出若干个表示8克的方法 ?故 “从重量1、2、3、. 10克的
11、狂码 ( 每种狂码各一个 ) 中选出若干个?使其总重量恰为8克的方法总数，就是 “(1+X)(1 + X2)(1 + X3 ) . ( 1 + X10 y的展开式中X8 的系数 “? -b - 10. 设/( 尢) 是错误 ! 未找到引用源。 展开式的中间项若/(x) 初得 Q 討在区间 J 上恒(2x,| 亠 2 L 2 成立，所5,故选D? ( n 11. 设 GH0,?2是大于1的自然数，1 + 的展开式为aQ+ a2x2 + ? ? ? + anxn . 若点 k a丿 A (i，4 )( = 0,1,2)的位置如图所示，则a = _ . 【答案】3 【解析】由图易知= 1,坷=3,。
12、2 = 4 , 则坷=C：丄=3,0 = C；( 丄尸=4 ,即 a 一a 亠3 a n(n-i) .2a 2 的展开式中的常数项为T . /(%) 是以T为周期的偶函数，且当 x e 0,1时,/(x) = x，若在区间-1,3内，函数g(x) = f(x)-kx-k有4个零点，则 实数k的 取值范围是 _ 【答案】 T ，解得a = 3, 4 一 1 12 .已知x 2 【解析】：严C?&)l(-总才=(-1)0($)整1亠, 令10-2广佔0,得r=2, ?常数项T = C；xl=2；/.f(x)的周期 为2,且是偶函数 , ?当x? 0,101, Xx) = x,/.xe-1,0f(x) =-x；/- 在区间卜1, 3内，画出函数y=f (x)和y=kx+k的團象，如團所示：结合图象知，直线y=kx+k过定 点 A ( - lj 0 ) $ 且 - =十) . 函数心“ “k在 Z內有4个零点时 *的取值范围