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1、二项分布与超几何分布辨析 山东 韩文文 二项分布与超几何分布是两个非常重要的、应用广泛的概率模型，实际中的许多问题都可 以利用这两个概率模型来解决. 在实际应用屮，理解并区分两个概率模型是至关重要的. 下 而举 例进行对比辨析 . 例袋中有8个白球、2个黑球，从中随机地连续抽取3次，每次取1个球. 求： （1）有放回抽样时，取到黑球的个数X的分布列； （2）不放回抽样时，取到黑球的个数Y的分布列 . 解：（1）有放回抽样时，取到的黑球数X可能的取值为0 , 1，2, 3.又由于每次取到 黑球的概率均为，3次取球可以看成3次独立重复试验，则X?6 3/ . I 5； 64 125 P(X = )
2、 = C 3 因此，X的分布列为 X 012 3 P 6448 121 125125125125 2.不放回抽样时，取到的黑球数Y可能的取值为0 , 1, 2,且有: 因此，r的分布列为 Y 012 P 7 15 7 15 1 15 辨析：通过此例付以看出：有放回抽样时，每次抽取时的总体没有改变，因而每次抽到某 物的概率都是相同的，可以看成是独立重复试验，此种抽样是二项分布模型. 而不放回抽样时， 取出一个则总体中就少一个，因此每次取到某物的概率是不同的，此种抽样为超儿何分布模型 . 因此，二项分布模型和超几何分布模型最主要的区别在于是有放回抽样还是不放回抽样 . 所以， 在解有关二项分布和超
3、几何分布问题时，仔细阅读、辨析题目条件是非常重 2 X 7 p( X=2) = C； 12 12 5 48 125 P(X=3) = C 125 p(r = = 1) 1 5 P(Y = 2)= 0 要的. 超儿何分布和二项分布都是离散型分布 超儿何分布和二项分布的区别： 超儿何分布需要知道总体的容量，而二项分布不需要； 超儿何分布是不放回抽取，而二项分布是放回抽取（独立重复） 当总体的容董非常大时，超儿何分布近似于二项分布 二项分布与超几何分布辨析 山东 韩文文 二项分布与超几何分布是两个非常重要的、应用广泛的概率模型，实际中的许多问题都可 以利用这两个概率模型来解决. 在实际应用屮，理解并
4、区分两个概率模型是至关重要的. 下 而举 例进行对比辨析 . 例袋中有8个白球、2个黑球，从中随机地连续抽取3次，每次取1个球. 求： （1）有放回抽样时，取到黑球的个数X的分布列； （2）不放回抽样时，取到黑球的个数Y的分布列 . 解：（1）有放回抽样时，取到的黑球数X可能的取值为0 , 1，2, 3.又由于每次取到黑球的 概率均为，3次取球可以看成3次独立重复试验，则X? P（X=3） = C 因此，X的分布列为 X 012 3 p 6448 121 125125125125 ? p （x=o ）= cf 64 125 1 X X 48 ?25 q、2 p（X=2） = C； 4 xi 5
5、 _I2 _ 125 125 2.不放回抽样时，取到的黑球数Y可能的取值为0 , 1, 2,且有: 因此，y的分布列为 Y 012 P 7 15 7 15 1 15 辨析：通过此例付以看出：有放回抽样时，每次抽取时的总体没有改变，因而每次抽到某 物的概率都是相同的，可以看成是独立重复试验，此种抽样是二项分布模型. 而不放回抽样时， 取出一个则总体中就少一个，因此每次取到某物的概率是不同的，此种抽样为超儿何分布模型 . 因此，二项分布模型和超几何分布模型最主要的区别在于是有放回抽样还是不放回抽样 . 所以， 在解有关二项分布和超几何分布问题时，仔细阅读、辨析题目条件是非常重要的. 超J L何分布
6、和二项分布都是离散型分布 超儿何分布和二项分布的区别： 超几何分布谣要知道总体的容量，而二项分布不耑要； 超几何分布是不放回抽収，而二项分布是放回抽収（独立重复） 当总体的容量非常大时，超几何分布近似于二项分布 教材分析 椭圆的简单儿何性质是数学选修2-1第二章第一节的内容，在此之前，学生己经学习 了椭圆的定义及其标准方程，为过渡到本节的学习起着铺垫作用. 本节涉及到数形结合这种重要 的数学思想方法，是高考重点考察内界，并为双曲线、抛物线的学习打下基础，因此, 在高中数 学中占据重要地位 . 本课是在学生学习了椭圆的定义、标准方程的基础上根据方程研究曲线的性质. 先引导 学生 观察椭圆儿何直观
7、，了解应该关注椭圆的哪些方而的性质，然后再引导学生考虑方程的各种特 征对应着椭圆的哪些儿何特征，逐渐让学生掌握研究曲线的儿何性质的方法. 这 样由形到数、由 数到形，通过对曲线的范围、对称性及特殊点的讨论，从整体上把握曲线形状、大小、和位置 . 对于学生來说，利用曲线方程研宄曲线性质这是笫一次，因此它在教学中起到承上启下的作用， 教学中教师要注意引导、点拨. p（y = p（r = i ） 1 5 P（Y = 2）= 2.2.2 椭的简单几何性质（1） 课时分配 本节内容用2课吋的吋间完成： 策一课时的主要内容是楠圆的简单几何性质（对称性、范围、顶点、离心率）； 第二课时的主要内容是椭圆性质的
8、简单综合应用. 教学目标 : 椭圆的简单几何性质及其探究过程： : 运用曲线方程研宄曲线几何性质的基本方法； :1.掌握椭圆的简单几何性质（对称性、范围、顶点、离心率）； 2.能说明离心率的大小对椭圆形状的影响； 3.运用数形结合思想，研究曲线方程儿何性质； 能力点：体会数形结合的思想，掌握利用方程研究曲线性质的基本方法： 教育点：感受解析法研究M题的思想，感知椭圆曲线的对称美，培养学生的学习兴趣； 自主探宂点：从直观几何图形出发，探宂椭圆的几何性质； 考试点：椭圆性质的简单应用，离心率对椭圆形状的影响； 易错易混点：a，b，c之间的关系；罔心率e*的记义及范围； 教具准备直尺，绳子，投影仪，
9、多媒体课件等课堂模式三段六步教学、探究学习、学案 导学 一、引入新课： 复习引入： 1.椭圆的定义 : 平而闪与两个定点的距离之和等于常数（大于|6厂2|）的点的轨迹叫做椭圆 . 3.椭圓中tz，/? ，c的关系是：a 2 =b2 +c2 ? 【设计意图】根据曲线的方程研宄曲线的儿何性质并正确地画出它的陶形足解析儿何的基本问 题之一，在此之前，学生一定要能熟练写出椭圆的标准方程. 课题引入： 2 2 观察椭圆 = 的形状，你能从图上看出它的范围吗？它具有怎样的对称 Zr 性？椭圆上哪些点比较特殊？ 【设计意图】借助多媒体辅助手段，先给出一个可以直观的椭圆，创设问题情景，让学生从形 的角度先对椭
10、圆的几何性质有一个整体的把握，引导学生观察、分析、猜测、论证，然后 点 点 点识 重 难 知 2.椭圆的标准方程：当焦点在x轴上时， + = l （ab0 ）；当焦点在y轴上时， = l(6f /? 0). 再重点从数的角度也就是方程组织讨论，合作交流，启发学生积极思维，不断探索后汇报研究 成果，得到结论后总结，及吋进行反馈应用和反思总结. 二、探究新知： 【师】观察椭圆久 +人：收 : ”勺形状，你能从图上看出它的范围吗？它具有怎样的 a b“ 对称性？ 【生】1.椭圆是轴对称图形，关于X轴、y轴对称；椭圆还是中心对称图形，关于坐标原点对 称. 2.椭圆与坐标轴有四个交点，其中与x轴的两个交
11、点分别为(tz，0)，(-rz,O)，与y轴 的两个交点分别是(0，/?)，(0，-Z?). 3. A?的取值范阑是-46/，的取値范围是 -/? ，/? . 【师】由图形观察出的儿何性质，能否由方程得到？【生】思考、研究、交流，展示自己的研 究方法 . 1.范围 (1)从图像上容易看出，椭圆上的点的横坐标的范围是-a，=/? 所围成的矩形框里. 2.对称性 (1)观察椭圆的形状，可以发现椭圆既是轴对称图形，也是中心对称图 形. (i)把x换成-X，方程不变，故图象关于 :V轴对称； (ii)把y换成-，方程不变，故图象关于x轴对称； (iii)把 A:换成-X，同时把换成 -y,方程不变，故
12、图象关于原点成屮心对称. 【师】综上， 椭圆关于x轴和;v轴都是轴对称的，关于原点是中心对称的，这时，坐标轴是 椭圆的对称轴，坐标原点是椭圆的对称中心，椭圆的对称中心又叫椭圆的中心. 3.顶点 令;v = 0,得y = Z?，说明椭圆与；v轴的交点为 ( 士么0);令 =0,得x = a，说明椭圆 与X轴的交点为(6Z，0). 顶点：椭圆与它的对称轴的四个交点，叫做椭圆的顶点. 椭圆的四个顶点分别为A (-6Z ，0)，4 (a, 0) ，辱(0, -b),B 2(0,b). 长轴、短轴：线段44，分别叫做椭圆的长轴和短轴.6分別叫做椭圆的长半轴长和短半轴长 . 【练习】根据前而所学有关知识画
13、出下列阁形: 【设计意图】引导学生分析图像，从图像屮体会对椭閫扁平程度的影响， 分析其中的相应变化，从而自然引出离心率的概念，显得不突兀；另外，除了离 心率外， 1 或的大小也是可以刻画椭圆的扁平程度，具体的情况要学生自己探 a b 索，教师做到授之以渔就可以了. 4.离心率 【师】我们把椭圆的焦距与长轴长的比称为椭圆的离心率，Rk表示，即6 = . a (1)离心率的取值范围：0 B2 7 夂， F, At 标准方程 2 2 -+2_= I(6Z/70) cr b 一 2 2 + = l(ab0) a o 范围 -a x a , 一b y b一b x b , -a y a 隹占 (-c ，0
14、), (c,0)(0, -c), (0 ，c) 顶点 (-3,0),(3,0). (0,-/2), (0,) (0,-2), (0,6Z) 对称性 关于X轴、jy轴成轴对称；关于原点成中心对称 离心率 e = f 0 e 1 a a，b，c的关 系 a 1 =b 2 +c2 半轴长 长半轴长，短半轴长 /? ， 【设计意图】用表格的形式呈现，更方便学生理解和应用，为继续学习打好坚实的基础. 例1.求椭圆16x 2 +25/=400 的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点坐标. 9 ? 分析：先把椭圆的方程化成标准方程吾 =1. 解：把己知方程化成标准方程 ! 1 运用新知 : 于是，a = 5 ，b = 4 ，c = yja 2 -b2 =3 ? 所以，长轴与短轴的长分别为26/ = 10,2/? = 8, 离心率 e = - = - 9两个焦点坐标分别为 f ( 一3,0) ，(3,0), a 5