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1、第 1 页 第十三章 轴对称 一、轴对称图形 1.概念：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条 直线就是它的对称轴。 下列交通标志是轴对称图形的是（） 下列图案是轴对称图形的是（） 图中所示的几个图形是国际通用的交通标志，其中不是轴对称图形的是（） 2.有些轴对称图形的对称轴只有一条，但有的轴对称图形的对称轴却不止一条，有的轴对称图形的对称轴甚至有 无数条。 注意 对称轴通常画成虚线，是直线，不能画成线段。 3.把“一个图形”沿着某一条直线折叠，如果它能够与“另一个图形”重合，那么就说这两个图形关于这条直线 对称。我们把这条直线叫做“对称轴”
2、。 折叠后重合的点是对应点，叫做“对称点”。 如右图，请写出小车的车牌号。答 ： 第 2 页 图形中 A B C与 ABC 关于直线 M N 成轴对称的是 ( ) 每组的两个图形中成轴对称的是 ( ) 小明在平面镜里看到背后墙上电子钟显示的时间如图所示，此刻的实际时间应该是 如右上图是一台球桌面示意图，图中小正方形的边长均相等.黑球放在如图所示的位置，经白球撞击后沿箭头 方向运动，经桌边反弹最后进入球洞的序号是 ( ) 4.轴对称图形与轴对称的区别与联系 下列说法中，正确的有 ( ) 两个关于某直线对称的图形是全等形; 两个图形关于某直线对称,对称点一定在直线两旁 ; 两个对称图形对应点连线的
3、垂直平分线就是它们的对称轴; 平面上两个全等的图形一定关于某直线对称. A.0 个B.1 个C.2 个D.3 个 如图所示，将一个正方形纸片按下列顺序折叠，然后将最后折叠的纸片沿虚线剪去一个三角形和一个形如 “1”的图形，将纸片展开，得到的图形是 ( ) 第 3 页 二、线段的垂直平分线 1.已知图中的两个三角形关于直线 m 对称，请说出图中的哪些点可以重合？ 答： 2.请问该图中的点和点的连线与直线 m 有什么样的关系？ 答：线段 AF 被直线 m 垂直平分。直线 m 叫做线段 AF 的“垂直平分线” 3.定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的“垂直 平分线”。 4.作线
4、段的垂直平分线的方法 如图，ABC 与 A B C关于某直线对称，请你作出它们的对称轴。 5.【性质】线段垂直平分线上的点与到条线段两个端点的距离“相等”。 已知点 P在线段 AB 的垂直平分线上，且PB=6 cm,则PA 的长度为 6.【逆定理】到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的“垂直平分线上”。 如图所示， AB=AC ，DB=DC ，E 是 AD 延长线上的一点，BE 与 CE 是否相等？试说明理由. 如图，在 ABC 中，BC=8 cm，AB 的垂直平分线交 AB 于点D，交边 AC 于点E， BCE 的周长等于 18 cm，求 AC 的长。 如图，在 ABC 中， DE 为
5、 AC 边的垂直平分线，AB=12 cm，BC=10 cm ，求 ABE 的周长。 第 4 页 三、画轴对称图形 1. 如图所示：点 B 的坐标为(- 4,2) ，点 C 的坐标为 (3，-4). 分别作出点B ，点 C 关于x轴的对称点B1，C1，写出它们的坐标为：B1_ ，C1_ 分别作出点 B，点 C 关于 y 轴的对称点B2，C2，写出它们的坐标为：B2_ ，C2 【总结】点 (x,y) 关于 x 轴对称的点的坐标为x,y；点(x,y) 关于 y 轴对称的点的坐标为x, y 在直角坐标系中，已知 P (- 4a,7),Q(8,b 2) 关于 x 轴对称，求出 a,b 的值. 下面各组点
6、关于y 轴对称的是 ( ) A.(0 ，10)与(0，10)B.( 3，2)与(3，2)C.( 3，2)与(3，2)D.( 3，2)与( 3，2) 平面内点A(- 1， 2) 和点 B(- 1，- 2) 的对称轴是 ( ) A.x 轴B.y 轴C.直线 y4D.直线 x -1 一学生误将点A 的纵、横坐标次序颠倒，写成A(a,b)，另一个学生误将点B 的坐标写成关于y 轴对称的点坐标( -b,-a)，则 A,B 两点原来的位置关系是() A.关于 y 轴对称B.关于 x 轴对称C.A 和 B 重合D.关于原点对称 已知点 P(x,y),Q(m,n),如果x m 0, y n 0 ，那么点P，Q
7、 关于 _ 对称 如图，写出 ABC 的各顶点坐标，并画出ABC 关于 y 轴的对称图形，并直接写出ABC 关于 x 轴对称的三 角形的各点坐标。 2. 如图, 分别作出点 P,M,N 关于直线 x 1的对称点 , 你能发现它们坐标之间分别有什么关系吗? 归纳 归纳 在平面直角坐标系中 , 点x, y关于直线 x 1对称点的坐标是x 2, y 在平面直角坐标系中 , 点x, y关于直线 x 1对称点的坐标是x 2, y 第 5 页 （ 0，3）关于直线x 1的对称点的坐标为 （ 0，3）关于直线x 2 的对称点的坐标为 （ 0，3）关于直线x 3的对称点的坐标为 （ 0，3）关于直线x1的对称
8、点的坐标为 （ 0，3）关于直线x2 的对称点的坐标为 （ 0，3）关于直线x3的对称点的坐标为 3.如图, 作点,N关于直线 y 1的对称点 , 你能发现它们坐标之间分别有什么关系吗? 归纳 归纳 （ 0，3）关于直线y 1的对称点的坐标为 （ 0，3）关于直线y 2 的对称点的坐标为 （ 0，3）关于直线y 3的对称点的坐标为 （ 0，3）关于直线y1的对称点的坐标为 （ 0，3）关于直线y2的对称点的坐标为 （ 0，3）关于直线y3的对称点的坐标为 在平面直角坐标系中, 点x, y关于直线 y 1对称点的坐标是x, y 2 在平面直角坐标系中 , 点x, y关于直线 y 1对称点的坐标是
9、x, y2 第 6 页 第十二章 轴对称 第三节 等腰三角形 一、等腰三角形及其相关概念 1.定义：有“两条边”相等的三角形叫做等腰三角形。等腰三角形中，相等的两边都叫做腰，另一边叫做底边， 两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。 2.等腰三角形的性质 轴对称性： 如图， ABC 是等腰三角形，AB AC，沿顶角的平分线 AD 对折，则 ABD 与 ACD 完全 重合。 等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”） 等腰三角形的“顶角平分线、底边上的中线、底边上的高”相互重合（简写成“三线合一”）如“ AD ”。 推论：等角也对等边。 等腰三角形的底边长为3cm, 腰长为 2cm,
10、则周长为 7 cm （） 等腰三角形的底边长为3cm,腰长为1cm,则周长为5 cm. （） 1 如图，在 ABC 中， AB=AC ， A=30， DE 垂直平分AC ，求 BCD 的度数。 2 已知 AB=CD ， B C，AC 和 BD 相交于点O ，E 是 AD 的中点，连接OE.求 AEO 的度数。 第 7 页 3 如图， AE BD ，C 是 BD 上的点，且AB=BC ， ACD 110，求 EAB 的度数。 4 如图，等腰ABC 中， AB AC ，AD 是顶角 BAC 的外角的平分线. 证明： AD BC. 5 如图所示， BAC= ABD=90 ， AC=BD ，点 O 是
11、 AD ，BC 的交点，点E 是 AB 的中点，试判断OE 和 AB 的位置 关系，并给予证明。 二、判定等腰三角形的两种方法 1. 等腰三角形的定义：有“两边相等”的三角形是等腰三角形。 2. 如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形。 1 已知 ACBC ，BD AD，AC 与 BD 交于 O ，AC=BD.求证： OAB 是等腰三角形。 2 如图所示，在ABC 中， ADBC 于 D， B=2C.求证： AB BD CD 第 8 页 一、等边三角形及其相关概念 第十二章 轴对称 第三节 等边三角形 1. 定义：三条边都相等的三角形是等边三角形（又称正三边形）。等边三角形是特
12、殊的等腰三角形，所以等边三角形拥有 等腰三角形的一切性质。 2. 等边三角形的性质 1 等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60 度 2 等边三角形的三条边都相等。 3 等边三角形是轴对称图形，一共有“三条“对称轴。同步训 练： 1 ABC 为等边三角形，点M 是 BC 上任意一点，点N 是 CA 上任意一点，且BM=CN ，BN 与 AM 相交于 Q 点，则 AQN 等于多少度？ 2 如图，在等边ABC 中，点 D 是 BC 边的中点，以AD 为边作等边 ADE ，求 CAE 的度数。 3. 等边三角形的判定方法 1 三个角都相等的三角形是等边三角形。 2 有一个角是 60的等腰三
13、角形是等边三角形。同步训练： 1 点 E 为等边三角形ABC 的边 AC 上一点，且 1= 2，CD=BE ，试判断 ADE 的形状，并说明理由. 二、含 30 角的直角三角形的性质 1. 如图，将两个含有 30角的三角板放在一起，你能借助这个图形，找到 Rt ABC的直角边 BC 与斜边 AB 之间的数量关系吗？ 定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于 30 , 那么它所对的直角边等于斜边的一半。 第 9 页 1 如图，在 RtABC 中， C=90 ， BAC=60 ， BAC 的平分线AM 的长为 15cm，求 BC 的长 . 2 如图， AOP= BOP=15 ， PC OA ，PDOA ，若 PC=10 ，求 PD 的长。 3 在 ABC 中， A=60， ABAC ，BD 平分 ABC ，DE AB 于点 E，若 CD 4，求 AE 的长。 4 如图，已知，在ABC 中， AB=AC ， BAC=120 ， AC 的垂直平分线EF 交 AC 于点 E，交 BC 于点 F. 求证： BF 2CF 三、在直角三角形中，若一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角是否为 30 ？ 1 1. 已知：在 ACB中， ACB 90，AC AB ， 求证： B=30 2 第 10 页