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1、第 1 题 y x B A O 福州八中 2015 届高三上学期第一次质量检查数学（理）试题 考试时间： 120 分钟试卷满分： 150 分 2014.8.29 本试卷分第I 卷(选择题 )和第 II 卷(非选择题 )，第 II 卷第 21 题为选考题，其他题为 必考题本试卷满分150 分考试时间120 分钟 参考公式： 样本数据 x1，x2， ，xn的标准差 s= 222 12 1 ()()() n xxxxxx n 其中 x 为样本平均数 锥体体积公式V= 3 1 Sh 其中 S为底面面积， h 为高 柱体体积公式V=Sh其中 S为底面面积， h 为高 球的表面积、体积公式 2 4SR，
2、3 4 3 VR其中 R为球的半径 第卷（选择题共 50 分） 一、选择题（本大题共10 小题，每小题5 分，共 50 分，在每个小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的.把正确选项涂在答题卡的相应位置上） 1如图，在复平面内，若复数 12 ,zz对应的向量分别是,OA OB， 则复数 12 zz所对应的点位于 A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 2. 一个简单几何体的主视图、侧视图如图所示，则其俯视图不可能为 长、宽不 相等的矩形；正方形；圆；三角形 . 其中正确的是 A. B. C. D. 3.命题“对任意xR， 均有 2 250xx”的 否定为 A.对任意xR，均有
3、2 250xxB.对任意 xR，均有 2 250xx C.存在xR，使得 2 250xxD.存在xR，使得 2 250xx 4. 对具有线性相关关系的变量x，y，有一组观测数据 ( i x， i y)(i=1，2，, ， 8) ， 第 2 题 其回归直线方程是： 1 6 yxa，且12381238 .3(.)6xxxxyyyy，则实 数a的值是 A 1 16 B 1 8 C 1 4 D 11 16 5. 已知, l m为两条不同的直线，为一个平面。 若/l，则“ml /”是“/m” 的 A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件 C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件 6. 已知在各项均不为零
4、的等差数列 n a中，022 11 2 73 aaa，数列 n b是等 比数列，且 77 ab，则 86 bb等于 A2 B. 4 C 8 D. 16 7.已知正方体的棱长为2，在正方体的外接球内任取一点，则该点落在正方体内的 概率为 A 4 2 B. 3 32 C 3 D. 8 1 8. 执行如图所示的程序框图，若输出的结果是9，则判断框 内m的取值范围是 A.(42 ，56 B.(56 ，72 C.(72 ，90 D.(42 ，90) 第 8 题 9. 已知向量若 8 5， a b 则tan的值为 A. 3 4 B. 4 3 C. 3 4 D. 4 3 10. 已知集合)(),(xfyyx
5、M， 若对于任意Myx),( 11 ， 存在Myx),( 22 ， 使得0 2121 yyxx成立，则称集合M是“集合” . 给出下列 4 个集合： x yyxM 1 ),(2),( x eyyxM xyyxMcos),(xyyxMln),( 其中所有“集合”的序号是 A. B. C. D. 第卷（非选择题共 100 分） 二、填空题 :本大题共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分把答案填在答题卡相应位置 11. 已知抛物线 2 20yx的焦点是双曲线 22 2 1(0) 9 xy a a 的一个焦点，则此双 曲线的实轴长为 . 12. 设变量x、 y 满足约束条件 22 1 1 xy x
6、y xy ，则 23zxy的最大值为 . 13. 若二项式 61 ()ax x 的展开式中的常数项为160，则 2 0 (31) a xdx= . 14. 已知( )41 x f x，( )4 x g x. 若偶函数( )h x满足( )( )( )h xmf xng x（其 中m,n为常数），且最小值为1，则mn 15.对于30个互异的实数，可以排成 m行n列的矩形数 阵，右图所示的5行6列的矩形数阵就是其中之一将30个 互异的实数排成m行n列的矩形数阵后， 把每行中最大的数 选出，记为 12 , m a aa，并设其中最小的数为a；把每列中 最小的数选出，记为 12 , n b bb，并设
7、其中最大的数为b. 两位同学通过各自的探究，分别得出两个结论如下： a和b必相等；a和b可能相等； a可能大于b；b可能大于a 以上四个结论中，正确结论的序号是_（请写出所有正确结论的序号） 三、解答题：本大题共6 小题，共 80 分解答应写出文字说明，证明过程或演算 126 126 126 xxx yyy zzz 3 sin,cos 2,12sin, 1 , 22 ，ab 步骤 . 16. ( 本小题满分13 分) 为增强市民的节能环保意识, 某市面向全市征召义务宣传志愿者. 从符合条件的500 名志愿者中随机抽取100 名志愿者 , 其年龄频率分布直方图如图所示, 其中年龄分 组区间是 :
8、45,40,40,35,35,30,30,25,25,20. （）求图中x的值并根据频率分布直方图估计这500 名志愿者中年龄在40,35岁 的人数 ; （）在抽出的 100 名志愿者中按年龄采用分层抽样的方法抽取20 名参加中心广场 的宣传活动 , 再从这 20 名中采用简单随机抽样方法选取3 名志愿者担任主要负责人. 记 这 3 名志愿者中“年龄低于35 岁”的人数为X , 求 X 的分布列及数学期望. 17 （本小题满分13 分） 某同学用“五点法”画函数) 2 ,0()sin()(xAxf在某一个周期内 的图象时，列表并填入的部分数据如下表： x 1 x 3 1 2 x 3 7 3 x
9、 x 0 22 32 )sin(xA0 3 0 3 0 （）请写出上表的 1 x、 2 x、 3 x，并直接写出函数的解析式； 1 C 1 B 1 A C B A D （） 将( )f x的图象沿 x轴向右平移 2 3 个单位得到函数( )g x 的图象， P 、Q分别为 函数( )g x 图象的最高点和最低点（如图），求OQP 的大小 . 18.(本小题满分 13 分) 如图直三棱柱 111 ABCABC中， 1 2,ACCCABBC，D 是 1 BA上一点，且 AD平面 1 ABC. （I ）求证：BC平面 11 ABB A； （）在棱 1 BB是否存在一点E ，使平面AEC与平面 11
10、ABB A的夹角等于60，若 存在，试确定E 点的位置，若不存在，说明理由. 19. （本小题满分13 分） 已知椭圆 22 22 :1 xy C ab (0)ab的两个焦点分别为 1 F， 2 F，离心率为 1 2 ，过 1 F 的直线l与椭圆C交于 M ，N两点，且 2 MNF的周长为8 （）求椭圆C的方程； （）过原点 O的两条互相垂直的射线与椭圆C分别交于 A ， B 两点，证明：点O 到直线 AB 的距离为定值，并求出这个定值 20.( 本小题满分14 分) 已知函数 2 ( )lnf xxx. （I ）若函数( )( )g xf xax在定义域内为增函数，求实数a的取值范围； （）
11、在（ 1）的条件下，若1a， 3 ( )3 xx h xeae，0,ln 2x，求( )h x的极 小值； ( ) 设 2 ( )2 ( )3()F xf xxkx kR， 若 函 数( )F x存 在 两 个 零 点 ,( 0)mnmn，且满足 0 2xmn，问：函数( )F x在 00 (,()x F x处的切线能否平 行于x轴？若能，求出该切线方程，若不能，请说明理由. 21. 本题有（ 1） 、 （2） 、 （3）三个选答题，每小题7 分，请考生任选2 小题作答， 满分 14 分如果多做，则按所做的前两题记分 （1） （本小题满分7 分）选修 42：矩阵与变换 把曲线 22 21xy先
12、进行横坐标缩为原来的一半，纵坐标保持不变的伸缩变换，再做 关于x轴的反射变换变为曲线C，求曲线C的方程 （2） （本 小题满分 7 分）选修 4 一 4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为： 1 xt ykt （t为参数），以O为原点，Ox 轴为极轴，单位长度不变，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为： 2 sin4cos 写出直线l和曲线C的普通方程。 若直线l和曲线C相切，求实数k的值。 （3） （本 小题满分 7 分）选修 4 一 5：不等式选讲 设函数 f(x)=|x4|+3x, （）求 f(x)的最小值 m （）当mcba32(a,b,c R)时 , 求 222
13、 cba的最小值 . 福州八中 20142015学年高三毕业班第一次质量检查 数学 (理) 试卷参考答案及评分标准 一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算每小题5 分，满分50 分 三、解答题：本大题共6 小题，共80 分,解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17. 解： （） 3 2 1 x， 3 4 2 x， 3 10 3 x,3 分 ( )3sin() 23 f xx所以,6 分 （）将( )f x的图像沿x轴向右平移 2 3 个单位得到函数( )3 sin 2 g xx,7 分 因为P、Q分别为该图像的最高点和最低点， 所以(1,3),(3,3)PQ,9 分 所以2,4,OPPQ
14、,10 分 222 3 12,cos 22 OQPQOP OQ OQ QP ,12 分 所以 6 ,13 分 法 2：60 ,60 ,30=30 oooo POxPQOx可以得所以 法 3：利用数量积公式 ( 2,23) ( 3, 3)3 cos 2 41293 QP QO QPQO ，=30 o 所以 19. 解： （I）由题意知，48a，所以2a 高三数学（理）第一次质量检查试卷答案第 1 页 共 4 页高三数学（理）第一 因为 1 2 e 所以 222 2 22 3 1 4 bac e aa ，所以 2 3b 所以椭圆C的方程为 22 1 43 xy -4分 （II ）由题意 , 当直线
15、AB的斜率不存在，此时可设 00 (,)A x x， 00 (,)B xx. 又A，B两点在椭圆C上， 所以 22 00 1 43 xx ， 2 0 12 7 x 所以点O到直线AB的距离 122 21 77 d -6分 当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为ykxm 所以 222 22 22 4128 (1)0 3434 mk m km kk -11分 整理得 )1(127 22 km，满足0 所以点O到直线AB的距离 2 |122 21 77 1 m d k 为定值 -13分 20. 解： （） 21 ( )( )ln,( )2.g xf xaxxxax gxxa x 由题意，知( )
16、0,(0,)gxx恒成立，即 min 1 (2)ax x . , 2 分 又 1 0,22 2xx x ，当且仅当 2 2 x时等号成立 . 故 min 1 (2)2 2x x ，所以 2 2a . ,4 分 设(0,1) m u n ，式变为 2(1) ln0(0,1). 1 u uu u 设 2(1) ln(0,1) 1 u yuu u ， 22 222 12(1)2(1)(1)4(1) 0, (1)(1)(1) uuuuu y uuu uu u 所以函数 2(1) ln 1 u yu u 在(0,1)上单调递增， 因此， 1 |0 u yy，即 2(1) ln0. 1 u u u 也就是， 2(1) ln 1 m m n m n n ，此式与矛盾. 所以( )F x在 00 (,()x F x处的切线不能平行于x轴. ,14 分 21.（1 ）解： 先伸缩变换M= 1 0 , 2 01 后反射变 换N= 10 01 ,得 A=NM=1 0 01 1 0 2 01 = 1 0 2 01 ,4分 在 A变换下得到曲线C为124 22 yx。,7 分