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1、第1页（共 14页） 圆锥曲线经典题型 一选择题（共10小题） 1直线 y=x1 与双曲线 x2=1（b0）有两个不同的交点，则此双曲线离 心率的范围是（） A （1，）B （，+） C （1，+）D （1，）（，+） 2已知 M（x0，y0）是双曲线 C：=1 上的一点， F1，F2是 C 的左、右两 个焦点，若0，则 y0的取值范围是（） ABC D 3设 F1，F2分别是双曲线（a0，b0）的左、右焦点，若双曲线右 支 上 存 在 一 点P， 使 得， 其 中O 为 坐 标 原 点 ， 且 ，则该双曲线的离心率为（） AB C D 4过双曲线=1（a0，b0）的右焦点 F作直线 y=x
2、的垂线，垂足 为 A，交双曲线左支于B点，若=2，则该双曲线的离心率为（） AB2 C D 5若双曲线=1（a0，b0）的渐近线与圆（ x2）2+y2=2 相交，则此 双曲线的离心率的取值范围是（） A （2，+）B （1，2） C （1，）D （，+） 6已知双曲线 C：的右焦点为 F，以 F为圆心和双曲线 的渐近线相切的圆与双曲线的一个交点为M，且 MF 与双曲线的实轴垂直， 则双 曲线 C的离心率为（） 第2页（共 14页） ABC D2 7设点 P是双曲线=1（a0，b0）上的一点， F1、F2分别是双曲线的 左、 右焦点， 已知 PF1PF2， 且| PF1| =2| PF2| ，
3、则双曲线的一条渐近线方程是 （） ABCy=2x Dy=4x 8已知双曲线的渐近线与圆 x2+（y2）2=1相交，则该双曲线的离心 率的取值范围是（） A （，+） B （1，）C （2+）D （1，2） 9如果双曲线经过点P（2，） ，且它的一条渐近线方程为y=x，那么该双曲 线的方程是（） Ax2=1 B=1 C =1 D=1 10已知 F是双曲线 C：x2=1的右焦点， P是 C上一点，且 PF与 x 轴垂直， 点 A 的坐标是（ 1，3） ，则 APF的面积为（） ABC D 二填空题（共2 小题） 11 过双曲线的左焦点 F1作一条 l交双曲线左支于 P、 Q两点， 若| PQ| =
4、8， F2是双曲线的右焦点，则 PF2Q的周长是 12设 F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，若双曲线右 支上存在一点 P，使，O为坐标原点，且， 则该双曲线的离心率为 三解答题（共4 小题） 第3页（共 14页） 13已知点 F1、F2为双曲线 C：x2=1的左、右焦点，过F2作垂直于 x 轴的 直线，在 x 轴上方交双曲线 C于点 M，MF1F2=30 （1）求双曲线 C的方程； （2）过双曲线 C上任意一点 P作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为P1、 P2，求?的值 14已知曲线 C1：=1（a0，b0）和曲线 C2：+=1 有相同的焦 点，曲线 C1的离心率是曲线 C2的离心率的倍
5、 （）求曲线 C1的方程； （）设点 A 是曲线 C1的右支上一点， F为右焦点，连 AF交曲线 C1的右支于点 B，作 BC垂直于定直线 l：x=，垂足为 C，求证：直线 AC恒过 x 轴上一定点 15已知双曲线 ：的离心率 e=，双曲线 上任意一 点到其右焦点的最小距离为1 （）求双曲线 的方程； （）过点 P（1，1）是否存在直线 l，使直线 l 与双曲线 交于 R、T 两点，且 点 P是线段 RT的中点？若直线 l 存在，请求直线 l 的方程；若不存在，说明理由 16已知双曲线 C：的离心率 e=，且 b= （）求双曲线 C的方程； （）若 P为双曲线 C上一点，双曲线C的左右焦点分别
6、为E 、F，且?=0， 求PEF的面积 第4页（共 14页） 一选择题（共10小题） 1直线 y=x1 与双曲线 x2=1（b0）有两个不同的交点，则此双曲线离 心率的范围是（） A （1，）B （，+） C （1，+）D （1，）（，+） 【解答】 解：直线 y=x1 与双曲线 x2=1（b0）有两个不同的交点， 1b0 或 b1 e= =1 且 e 故选： D 2已知 M（x0，y0）是双曲线 C：=1 上的一点， F1，F2是 C 的左、右两 个焦点，若0，则 y0的取值范围是（） ABC D 【解答】 解：由题意，=（x0， y0）?（x0，y0）=x02 3+y02=3y0210，
7、所以y0 第5页（共 14页） 故选： A 3设 F1，F2分别是双曲线（a0，b0）的左、右焦点，若双曲线右 支 上 存 在 一 点P， 使 得， 其 中O 为 坐 标 原 点 ， 且 ，则该双曲线的离心率为（） AB C D 【解答】 解：取 PF2的中点 A，则 ， O是 F1F2的中点 OAPF1， PF1PF2， | PF1| =3| PF2| ， 2a=| PF1| | PF2| =2| PF2| ， | PF1| 2+| PF 2| 2=4c2， 10a2=4c 2， e= 故选 C 4过双曲线=1（a0，b0）的右焦点 F作直线 y=x 的垂线，垂足 为 A，交双曲线左支于B点
8、，若=2，则该双曲线的离心率为（） AB2 C D 【解答】 解：设 F（c，0） ，则直线 AB的方程为 y= （xc）代入双曲线渐近线 方程 y=x 得 A（，） ， 第6页（共 14页） 由=2，可得 B（，） ， 把 B点坐标代入双曲线方程=1， 即=1，整理可得 c=a， 即离心率 e= 故选： C 5若双曲线=1（a0，b0）的渐近线与圆（ x2）2+y2=2 相交，则此 双曲线的离心率的取值范围是（） A （2，+）B （1，2） C （1，）D （，+） 【解答】 解：双曲线渐近线为bxay=0，与圆（ x2）2+y2=2 相交 圆心到渐近线的距离小于半径，即 b2a2， c
9、2=a2+b22a2， e= e1 1e 故选 C 6已知双曲线 C：的右焦点为 F，以 F为圆心和双曲线 的渐近线相切的圆与双曲线的一个交点为M，且 MF 与双曲线的实轴垂直， 则双 曲线 C的离心率为（） ABC D2 【解答】 解：设 F（c，0） ，渐近线方程为 y=x， 第7页（共 14页） 可得 F到渐近线的距离为=b， 即有圆 F的半径为 b， 令 x=c，可得 y=b=， 由题意可得=b， 即 a=b，c=a， 即离心率 e=， 故选 C 7设点 P是双曲线=1（a0，b0）上的一点， F1、F2分别是双曲线的 左、 右焦点， 已知 PF1PF2， 且| PF1| =2| PF
10、2| ， 则双曲线的一条渐近线方程是 （） ABCy=2x Dy=4x 【解答】 解：由双曲线的定义可得 | PF1| | PF2| =2a， 又| PF1| =2| PF2| ， 得| PF2| =2a，| PF1| =4a； 在 RT PF1F2中，| F1F2| 2=| PF 1| 2+| PF 2| 2， 4c 2=16a2+4a2，即 c2=5a2， 则 b2=4a2即 b=2a， 双曲线=1一条渐近线方程： y=2x； 故选： C 8已知双曲线的渐近线与圆 x2+（y2）2=1相交，则该双曲线的离心 率的取值范围是（） A （，+） B （1，）C （2+）D （1，2） 第8页（
11、共 14页） 【解答】 解：双曲线渐近线为bxay=0，与圆 x2+（y2）2=1相交 圆心到渐近线的距离小于半径，即1 3a 2b2， c 2=a2+b24a2， e= 2 故选： C 9如果双曲线经过点P（2，） ，且它的一条渐近线方程为y=x，那么该双曲 线的方程是（） Ax2=1 B=1 C =1 D=1 【解答】 解：由双曲线的一条渐近线方程为y=x， 可设双曲线的方程为x2y2= （ 0） ， 代入点 P（2，） ，可得 =4 2=2， 可得双曲线的方程为x2y2=2， 即为=1 故选： B 10已知 F是双曲线 C：x2=1的右焦点， P是 C上一点，且 PF与 x 轴垂直， 点
12、 A 的坐标是（ 1，3） ，则 APF的面积为（） ABC D 【解答】 解：由双曲线 C：x 2 =1 的右焦点 F（2，0） ， PF与 x轴垂直，设（ 2，y） ，y0，则 y=3， 则 P（2，3） ， 第9页（共 14页） AP PF，则丨 AP丨=1，丨 PF丨=3， APF的面积 S= 丨 AP丨丨 PF丨= ， 同理当 y0 时，则 APF的面积 S= ， 故选 D 二填空题（共2 小题） 11 过双曲线的左焦点 F1作一条 l交双曲线左支于 P、 Q两点， 若| PQ| =8， F2是双曲线的右焦点，则 PF2Q的周长是20 【解答】 解： | PF1|+| QF1| =|
13、 PQ | =8 双曲线 x2=1的通径为=8 PQ=8 PQ是双曲线的通径 PQ F1F2，且 PF1=QF1=PQ=4 由题意， | PF2| | PF1| =2，| QF2| | QF1| =2 | PF2|+| QF2| =| PF1|+| QF1|+ 4=4+4+4=12 PF2Q 的周长 =| PF2|+| QF2|+| PQ | =12+8=20， 故答案为 20 第10页（共 14页） 12设 F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，若双曲线右 支上存在一点 P，使，O为坐标原点，且， 则该双曲线的离心率为 【解答】 解：取 PF2的中点 A，则 ， 2?=0， ， OA是PF1F
14、2的中位线， PF1PF2，OA= PF1 由双曲线的定义得 | PF1| | PF2| =2a， | PF1| =| PF2| ， | PF2| =，| PF1| = PF1F2中，由勾股定理得 | PF1| 2+| PF 2| 2=4c2， （） 2+（ ）2=4c2， e= 故答案为： 三解答题（共4 小题） 13已知点 F1、F2为双曲线 C：x2=1的左、右焦点，过F2作垂直于 x 轴的 直线，在 x 轴上方交双曲线 C于点 M，MF1F2=30 （1）求双曲线 C的方程； （2）过双曲线 C上任意一点 P作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为P1、 P2，求?的值 【解答】 解：
15、（1）设 F2，M 的坐标分别为， 第11页（共 14页） 因为点 M 在双曲线 C上，所以，即，所以， 在 RtMF2F1中， MF1F2=30 ，所以 （3 分） 由双曲线的定义可知： 故双曲线 C的方程为： （6 分） （2）由条件可知：两条渐近线分别为 （8 分） 设双曲线 C上的点 Q（x0，y0） ，设两渐近线的夹角为 ， 则点Q到两条渐近线的距离分别为 ， （11 分） 因为 Q（x0，y0）在双曲线 C ：上， 所以，又 cos= ， 所以= （14 分） 14已知曲线 C1：=1（a0，b0）和曲线 C2：+=1 有相同的焦 点，曲线 C1的离心率是曲线 C2的离心率的倍 （
16、）求曲线 C1的方程； （）设点 A 是曲线 C1的右支上一点， F为右焦点，连 AF交曲线 C1的右支于点 B，作 BC垂直于定直线 l：x=，垂足为 C，求证：直线 AC恒过 x 轴上一定点 【解答】 （）解：由题知： a 2+b2=2，曲线 C 2的离心率为 （2 分） 曲线 C1的离心率是曲线 C2的离心率的倍， =即 a2=b2， （3 分） 第12页（共 14页） a=b=1，曲线 C1的方程为 x2y2=1； （4 分） （）证明：由直线AB 的斜率不能为零知可设直线AB 的方程为： x=ny+ （5 分） 与双曲线方程 x2y2=1 联立，可得（ n21）y2+2ny+1=0
17、设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，则 y1+y2=，y1y2=， （7 分） 由题可设点 C（，y2） ， 由点斜式得直线 AC的方程： yy2=（x） （9 分） 令 y=0，可得 x= （11 分） 直线 AC过定点（，0） （12分） 15已知双曲线 ：的离心率 e=，双曲线 上任意一 点到其右焦点的最小距离为1 （）求双曲线 的方程； （）过点 P（1，1）是否存在直线 l，使直线 l 与双曲线 交于 R、T 两点，且 点 P是线段 RT的中点？若直线 l 存在，请求直线 l 的方程；若不存在，说明理由 【解答】 解： （）由题意可得 e=， 当 P为右顶点时，可得PF取得最
18、小值， 即有 ca=1， 解得 a=1，c=，b=， 可得双曲线的方程为x2=1； （）过点 P（1，1）假设存在直线 l，使直线 l 与双曲线 交于 R、T 两点， 第13页（共 14页） 且点 P是线段 RT的中点 设 R（x1，y1） ，T（x2，y2） ，可得 x12=1，x22=1， 两式相减可得（ x1x2） （x1+x2）=（y1y2） （y1+y2） ， 由中点坐标公式可得x1+x2=2，y1+y2=2， 可得直线 l 的斜率为 k=2， 即有直线 l 的方程为 y1=2（x1） ，即为 y=2x1， 代入双曲线的方程，可得2x24x+3=0， 由判别式为 16423=80， 可得二次方程无实数解 故这样的直线 l 不存在 16已知双曲线 C：的离心率 e=，且 b= （）求双曲线 C的方程； （）若 P为双曲线 C上一点，双曲线C的左右焦点分别为E 、F，且?=0， 求PEF的面积 【解答】 解： （）C ：的离心率 e=，且 b=， =，且 b=， a=1，c= 双曲线 C的方程； （）令| PE | =p，| PF| =q 由双曲线定义： | pq|=2a=2 平方得： p22pq+q2=4 ?=0，EPF=90 ，由勾股定理得： p2+q2=| EF | 2=12 第14页（共 14页） 所以 pq=4 即 S= | PE | ?| PF| =2