圆锥曲线高考真题专练(含答案),推荐文档.pdf

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1、2018 年数学全国1 卷设椭圆 2 2 :1 2 x Cy的右焦点为F，过F的直线l与C交于,A B两点，点M的坐标为(2,0). （1）当l与x轴垂直时，求直线 AM 的方程；（2）设O为坐标原点，证明：OMAOMB. 解：（1）由已知得(1,0)F，l 的方程为x=1. 由已知可得，点A 的坐标为 2 (1,) 2 或 2 (1,) 2 . 所以 AM 的方程为 2 2 2 yx或 2 2 2 yx. （2）当 l 与 x 轴重合时，0OMAOMB. 当 l 与 x 轴垂直时， OM 为 AB 的垂直平分线，所以OMAOMB. 当 l 与 x 轴不重合也不垂直时，设 l 的方程

2、为(1)(0)yk xk， 1221 (,),(,)AyxyxB，则 12 2,2xx，直线 MA，MB 的斜率之和为 2 12 1 22 MAMB xx yy kk. 由 1122 ,ykkxykxk得 1212 12 ( 23 ()4 2)(2) MAMB x xxxkk xx k kk. 将(1)yk x代入 2 2 1 2 x y得 2222 (21)4220kxk xk. 所以， 2 1221 2 22 422 , 2121 xxx kk k x k . 则 3 1 3 1 3 222 441284 23 ()40 21 kkkkk kkk k x xxx. 从而0 MAMB kk

3、，故 MA， MB 的倾斜角互补，所以OMAOMB. 综上，OMAOMB. 已知椭圆C： 22 22 =1 xy ab （ab0），四点P1（ 1,1），P2（0,1），P3（1 ， 3 2 ），P4（ 1， 3 2 ）中恰有三点在椭圆C上. （ 1）求 C的方程；（ 2）设直线 l 不经过 P2点且与 C相交于 A，B两点 .若直线 P2A 与直线 P2B 的斜率的和为 1，证明： l 过定点 . 解：（1）由于 3 P ， 4 P 两点关于y 轴对称，故由题设知C经过 3 P ， 4 P 两点 . 又由 2222 1113 4abab 知， C不经过点P1，所以点P2 在 C上

4、. 因此 2 22 1 1 13 1 4 b ab ，解得 2 2 4 1 a b . 故 C 的方程为 2 2 1 4 x y . （2）设直线P2A与直线 P2B的斜率分别为k1，k2，如果 l 与 x 轴垂直，设 l： x=t，由题设知 0t ，且 | |2t ，可得 A， B 的坐标分别为（t， 2 4 2 t ），（t， 2 4 2 t ）. 则 22 12 4242 1 22 tt kk tt ，得 2t ，不符合题设. 从而可设l： ykxm （ 1m ）.将 ykxm 代入 2 2 1 4 x y 得 222 (41)8440kxkmxm 由题设可知 22 =16

5、(41)0km . 设 A（x1，y1），B（x2，y2），则 x1+x2= 2 8 41 km k，x1x2= 2 2 44 41 m k . 而 12 12 12 11yy kk xx 12 12 11kxmkxm xx 1212 1 2 2(1)()kx xmxx x x . 由题设 121kk ，故 1212(21)(1)()0kx xmxx . 即 2 22 448 (21)(1)0 4141 mkm km kk . 解得 1 2 m k . 当且仅当 1m 时， 0，欲使 l： 1 2 m yxm ，即 1 1(2) 2 m yx ，所以 l 过定点（ 2， 1） 2016

6、年数学全国1 卷设圆 22 2150xyx的圆心为A，直线 l 过点 B（1,0）且与 x 轴不重合， l 交圆 A 于 C，D 两点，过B 作 AC 的平行线交AD 于点 E. （ I）证明EAEB为定值，并写出点E 的轨迹方程；（ II）设点 E 的轨迹为曲线C1，直线 l 交 C1于 M,N 两点，过 B 且与 l 垂直的直线与圆 A 交于 P,Q 两点，求四边形MPNQ 面积的取值范围. 【答案】（ I） 1 34 22 yx （0y）；（II）)38 ,12 【解析】试题分析：（I）利用椭圆定义求方程；（II）把面积表示为关于斜率k 的函数，再求最值。试题解析：（I

7、）因为|ACAD，ACEB/，故ADCACDEBD，所以|EDEB，故|ADEDEAEBEA. 又圆A的标准方程为16) 1( 22 yx，从而4| AD，所以4|EBEA. 由题设得)0, 1(A，)0, 1 (B，2| AB，由椭圆定义可得点E的轨迹方程为： 1 34 22 yx （0y）. （ II）当l与x轴不垂直时，设l的方程为)0)(1(kxky，),( 11 yxM，),( 22 yxN. 由 1 34 )1( 22 yx xky 得01248) 34( 2222 kxkxk. 则 34 8 2 2 21 k k xx， 34 124 2 2 21 k k xx. 所以 3

8、4 ) 1(12 |1| 2 2 21 2 k k xxkMN. 过点)0, 1(B且与l垂直的直线m：) 1( 1 x k y，A到m的距离为 1 2 2 k ，所以 1 34 4) 1 2 (42| 2 2 2 2 2 k k k PQ.故四边形MPNQ的面积 34 1 112| 2 1 2 k PQMNS. 可得当l与x轴不垂直时，四边形MPNQ面积的取值范围为)38 ,12. 当l与x轴垂直时，其方程为1x，3|MN，8|PQ，四边形MPNQ的面积为 12. 综上，四边形MPNQ面积的取值范围为)38,12. 2013 年数学全国1 卷已知圆:, 圆:, 动圆与圆外切并且与圆内切，

9、圆心的轨迹为曲线 C. （）求C的方程；（）是与圆, 圆都相切的一条直线，与曲线 C交于 A，B两点，当圆P的半径最长时，求 |AB|. 【解析】由已知得圆的圆心为（ -1，0）, 半径=1，圆的圆心为(1,0),半径 =3. 设动圆的圆心为（，），半径为 R. （）圆与圆外切且与圆内切， |PM|+|PN|=4，由椭圆的定义可知，曲线C是以 M ， N为左右焦点，场半轴长为2，短半轴长为的椭圆 ( 左顶点除外 )，其方程为. （）对于曲线C上任意一点（，），由于 |PM|-|PN|=2， R 2, 当且仅当圆 P的圆心为（ 2，0）时， R=2. 当圆 P的半径最长时，其方程为，当

10、的倾斜角为时，则与轴重合，可得 |AB|=. 当的倾斜角不为时，由R知不平行轴，设与轴的交点为 Q，则=，可求得 Q （-4 ，0），设：，由于圆 M 相切得，解得. 当=时，将代入并整理得，解得=， |AB|=. 当=时，由图形的对称性可知|AB|=，综上， |AB|=或 |AB|=. 2012 年数学全国1 卷设抛物线 2 2(0)Cxpy p：的焦点为 F，准线为 l，A为C上一点，已知以 F为圆心， FA为半径的圆F交l于 ,B D两点 . （1）若90BFD o ，ABD的面积为4 2，求p的值及圆F的方程；（2）若,A B F三点在同一直线m上，直线n与m平行，且n与C之

11、有一个公共点，求坐标原点到,m n距离的比值 . 【解析】（1）由对称性知：BFD是等腰直角，斜边2BDp 点A到准线 l 的距离2dFAFBp 1 4 24 22 2 ABD SBDdp 圆F的方程为 22 (1)8xy （2）由对称性设 2 0 00 (,)(0) 2 x A xx p ，则(0,) 2 p F 点,A B关于点F对称得： 22 2200 00 (,)3 222 xxp Bxppxp pp 得： 3 ( 3 ,) 2 p Ap，直线 3 3 22 :30 223 pp pp m yxxy p 2 2 33 2 233 xx xpyyyxp pp 切点 3 (,) 36 p

12、p P 直线 333 :()30 6336 pp n yxxyp 坐标原点到,m n距离的比值为 33 :3 26 pp 。已知 O为坐标原点，F为椭圆 C ： 2 2 1 2 y x在y轴正半轴上的焦点，过F且斜率为2 的直线 l 与 C 交与 A、B两点，点P满足 0OAOBOP uu ruu u ruu u rr . (I)证明：点P在C 上； (II)设点 P 关于点 O的对称点为Q，证明： A、 P 、B 、Q 四点在同一圆上 . 【命题意图】本题考查直线方程、平面向量的坐标运算、点与曲线的位置关系、曲线交点坐标求法及四点共圆的条件。【解析】 (I)(0,1)F,l 的方

13、程为21yx,代入 2 2 1 2 y x并化简得 2 42 210xx. 2分设 112233 (,),(,),(,)A xyB xyP xy, 则 12 2626 , 44 xx 121212 2 ,2()21, 2 xxyyxx 由题意得 312312 2 (),()1, 2 xxxyyy 所以点P的坐标为 2 (,1) 2 . 经验证点P的坐标 2 (,1) 2 满足方程 2 2 1 2 y x,故点P在椭圆 C 上 6分 (II)由P 2 (, 1) 2 和题设知，Q 2 (,1) 2 ，PQ的垂直平分线 1 l的方程为 2 2 yx. 设AB的中点为M,则 2 1 (,) 42

15、相交于A、B、 C、D四个点。（I）求r得取值范围；（II）当四边形ABCD的面积最大时，求对角线AC、BD的交点 P坐标分析：（I）这一问学生易下手。将抛物线 2 :Eyx与圆 222 :(4)(0)Mxyrr的方程联立，消去 2 y，整理得 22 7160xxr （）抛物线 2 :Eyx与圆 222 :(4)(0)Mxyrr相交于A、B、C、D四个点的充要条件是：方程（）有两个不相等的正根即可.易得 15 (,4) 2 r.考生利用数形结合及函数和方程的思想来处理也可以（II）考纲中明确提出不考查求两个圆锥曲线的交点的坐标。因此利用设而不求、整体代入的方法处理本小题

16、是一个较好的切入点设四个交点的坐标分别为 11 (,)A xx、 11 (,)B xx、 22 (,)C xx、 22 (,)D xx。则由（ I）根据韦达定理有 2 1212 7,16xxx xr， 15 (,4) 2 r 则 21122112 1 2 |()| () 2 Sxxxxxxxx 2222 12121212 ()4(2)(72 16)(415)Sxxx xxxx xrr 令 2 16rt，则 22 (72 ) (72 )Stt下面求 2 S的最大值。方法一：利用三次均值求解。三次均值目前在两纲中虽不要求，但在处理一些最值问题有时很方便。它的主要手段是配凑系数或常数，但要注

17、意取等号的条件，这和二次均值类似。 221 (72 ) (72 )(72 )(72 )(144 ) 2 Sttttt 33 1 7272144128 ()() 2323 ttt 当且仅当72144tt，即 7 6 t时取最大值。经检验此时 15 (,4) 2 r满足题意。方法二：利用求导处理，这是命题人的意图。具体解法略。下面来处理点P的坐标。设点P的坐标为：(,0) p P x 由APC、、三点共线，则 121 121p xxx xxxx 得 12 7 6 p xx xt。设抛物线 2 4Cyx：的焦点为F，过F且斜率为 (0)k k的直线 l 与 C 交于 A，B两点， |

18、8AB （1）求 l 的方程；（2）求过点A，B且与 C 的准线相切的圆的方程解：（1）由题意得(1,0)F，l 的方程为(1)(0)yk xk. 设 1221(,),(,)AyxyxB ，由 2 (1), 4 yk x yx 得 2222 (24)0k xkxk. 2 16160k，故 12 2 2 24 k x k x. 所以 12 2 2 44 | | (1)(1)x k ABAFBF k x. 由题设知 2 2 44 8 k k ，解得1k（舍去），1k. 因此 l 的方程为1yx. （2）由（1）得 AB 的中点坐标为(3,2)，所以 AB 的垂直平分线方程为2(3)

19、yx，即5yx. 设所求圆的圆心坐标为 00 (,)xy，则 00 2 200 0 5, (1) (1)16. 2 yx yx x 解得 0 0 3, 2 x y 或 0 0 11, 6. x y 因此所求圆的方程为 22 (3)(2)16xy或 22 (11)(6)144xy. 设 O 为坐标原点，动点M 在椭圆 C： 2 2 1 2 x y上，过 M 做 x 轴的垂线，垂足为N，点 P 满足2NPNM uuu ruuuu r . (1) 求点 P的轨迹方程； (2) 设点 Q 在直线 x=-3上，且1OP PQ uu u r uuu r .证明：过点 P 且垂直于 OQ的直线 l 过 C

20、的左焦点 F. 解（1）设 P（x,y）,M（x0,y0）,设 N（x0,0）, 00 ,0,NPxxyNMy u uu ru uu u r 由2NPNM uuu ruuuu r 得 00 2 = , 2 xx yy 因为 M（x0,y0）在 C 上，所以 22 1 22 xy 因此点 P的轨迹方程为 22 2xy （2）由题意知F（-1,0）.设 Q（-3，t）,P(m,n),则 3,1,33tOQ, PFmnOQ PFmtn u u u ru uu ruuu r uu u r g， ,3,OPm,nPQm,tn u u u ruuu r 由1OP PQ uuu r uuu r g得 2

21、2 -31mmtnn，又由（ 1）知 22 +=2mn，故 3+3m-tn=0 所以0OQ PF uuu r uuu r g，即OQPF uuu ruuu r .学.科网又过点P存在唯一直线垂直于OQ，所以过点 P且垂直于 OQ 的直线 l 过 C 的左焦点F. 已知椭圆 E: 22 1 3 xy t 的焦点在x轴上，A 是 E 的左顶点，斜率为 k(k0)的直线交E 于 A,M 两点，点 N 在 E 上， MANA. （I）当 t=4，AMAN时，求 AMN 的面积；（II ）当2 AMAN时，求 k 的取值范围 . 【解析】试题分析：（）先求直线AM的方程，再求点M的纵坐标，最

22、后求AMN的面积；（）设 11 ,Mx y，，将直线AM的方程与椭圆方程组成方程组，消去y，用k表示 1 x，从而表示|AM，同理用k表示|AN，再由2 AMAN求k. 试题解析：（ I ）设 11 ,Mx y，则由题意知 1 0y，当4t时，E的方程为 22 1 43 xy ， 2,0A. 由已知及椭圆的对称性知，直线AM的倾斜角为 4 . 因此直线AM的方程为2yx. 将2xy代入 22 1 43 xy 得 2 7120yy. 解得0y或 12 7 y，所以 1 12 7 y. 因此AMN的面积 11212144 2 27749 . （II ）由题意3t，0k， ,0At. 将直线

23、AM的方程()yk xt代入 22 1 3 xy t 得 22222 3230tkxttk xt kt. 由 22 12 3 t k xt tk 得 2 1 2 3 3 ttk x tk ，故 2 2 12 62 1 3 tk AMxtk tk . 由题设，直线AN的方程为 1 yxt k ，故同理可得 2 2 61 3 k tk AN kt ，由2 AMAN得 22 2 33 k tkkt ，即 3 2321ktkk. 当 3 2k时上式不成立，因此 3 321 2 kk t k .3t等价于 2 32 33 21 32 0 22 kk kkk kk ，即 3 2 0 2 k k .

24、由此得 3 20 20 k k ，或 3 20 20 k k ，解得 3 22k. 因此k的取值范围是 3 2, 2. 考点：椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系. 平面直角坐标系 xOy中，过椭圆 M ： 22 22 =1 xy ab (ab0) 右焦点的直线 30xy交 M于 A，B两点， P为 AB的中点，且 OP的斜率为 1 2 . (1) 求 M的方程； (2)C， D为 M上两点，若四边形 ACBD 的对角线 CD AB ，求四边形 ACBD 面积的最大值解：(1) 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)，则 22 11 22 =1 xy ab ， 22 22

25、22 =1 xy ab ， 21 21 =1 yy xx ，由此可得 2 2121 2 2121 =1 bxxyy ayyxx . 因为 x1x22x0，y1y22y0， 0 0 1 2 y x ，所以 a 22b2. 又由题意知， M的右焦点为 ( 3，0)，故 a 2b23. 因此 a 2 6，b 23. 所以 M的方程为 22 =1 63 xy . (2) 由 22 30, 1, 63 xy xy 解得 4 3 , 3 3 , 3 x y 或 0, 3. x y 因此|AB| 4 6 3 . 由题意可设直线 CD的方程为 y 5 3 3 3 xnn，设 C(x3，y3)，D(x4，

26、y4) 由 22 , 1 63 yxn xy 得 3x 24nx2n260. 于是 x3,4 2 22 9 3 nn . 因为直线 CD的斜率为 1，所以|CD| 2 43 4 2 |9 3 xxn. 由已知，四边形 ACBD 的面积 2 18 6 | |9 29 SCDABn. 当 n0 时，S取得最大值，最大值为 8 6 3 . 所以四边形 ACBD 面积的最大值为 8 6 3 . 已知 O 为坐标原点， F 为椭圆 2 2 :1 2 y Cx在 y 轴正半轴上的焦点，过 F 且斜率为2 的直线 l 与 C 交于 A、B 两点，点 P 满足0OAOBOP uu u ruuu ru u

27、u r . （I）证明：点 P 在 C 上；（II）设点 P 关于点 O 的对称点为 Q，证明 APBQ、、、四点在同一圆上。解：（I）(0,1)F，l 的方程为21yx，代入 2 2 1 2 y x并化简得2 分 2 42 210x 设 112233 ,(,)A xyB xyP xy ，则 12 2626 , 44 xx，得 121212 2 ,221 2 xxyyxx 得 312312 2 ,1 2 xxxyyy 所以点 P 的坐标为 2 , 1 2 ，验证得 P 在椭圆上。 6 分（II）由 2 , 1 2 P，知 2 ,1 2 Q， PQ的垂直平分线 1 l的方程为

28、2 . 2 yx 设 AB 的中点为 M，则 2 1 ,? 42 M，AB 的垂直平分线 2 l的方程为 21 9 24 yx分联立 1 2 l l ，得 2 1 , 88 N ， 9 分 2 2 2 2 1 2 2 22 3 2 |, 2 3 2 |, 4 223 3 | 4 2213 11 |1, 2888 |1(2) 11 288 3 11 |, 8 | |, | |,| |, | | | |, 8 | x AM MN NAAM NPNA NPNQNANB NAN NP AB PNBNQ Q MN AB x P 故又所以由此可知、、、四点在以 NNA为圆心，为半径的圆上 1

29、2分己知斜率为1 的直线 l 与双曲线 C： 22 22 100 xy ab ab ，相交于 B、D 两点，且 BD 的中点为1,3M （）求C 的离心率；（）设C 的右顶点为A，右焦点为F，17DFBFg，证明：过A、B、D 三点的圆与 x 轴相切解：（I）由题设知，l的方程为.2xy 代入 C 的方程，并化简得， .044)( 2222222 baaxaxab 设),(),( 2211 yxDyxB 则, 4 , 4 22 22 2122 2 21 ab baa xx ab a xx 由)3, 1(M为 B D 的中点知, 1 2 21xx 故 .1 4 2 1 22 2

30、ab a 即,3 22 ab 故.2 22 abac 所以 C 的离心率.2 a c e （II）由、知，C 的方程为： 222 33ayx A（a，0）， F（2a， 0），,0 2 34 ,2 2 2121 a xxxx 故不妨设.a, 21 xax ,233)2()2(| 1 22 1 2 1 2 1 2 2 xaaxaxyaxBF . 845 )(24 )2)(2(| .233)2()2(| 2 2 2121 21 2 22 2 2 2 2 2 2 2 aa axxaxx axxaFDBF axaxaxyaxFD 9 分又.17|FDBF 故.17845 2 aa 解得 5 9

31、,1aa或（舍去）故2| BD.64)(2| 21 2 2121 xxxxxx 连结 MA ，则由 A（1， 0），M（1，3）知 |MA|=3 ，从而 MA=MB=MD，且 MA x 轴，因此以M 为圆主， MA 为半径的圆经地A、B、D 三点，且在点A 处与 x 轴相切，所以过 A、B、D 三点的圆与x 轴相切。 12 分已知斜率为的直线与椭圆交于，两点，线段的中点为（1）证明：；（2）设为的右焦点，为上一点 ,且证明：，成等差数列，并求该数列的公差 kl 22 1 43 xy C：ABAB 10Mmm， 1 2 k F C P CFPFAFB0 uu u ruuu ruuu

32、 r FA uu u r FP uu u r FB u uu r 解：（1）设，则. 两式相减，并由得 . 由题设知，于是 . 由题设得，故. （2）由题意得，设，则 . 由（ 1）及题设得. 又点 P 在 C 上，所以，从而，. 于是 . 同理. 所以. 故，即成等差数列 . 设该数列的公差为d，则 . 1221 (,),(,)AyxyxB 2222 1212 1,1 4343 yxyx 1 2 2 1 y x y k x 1122 0 43 yxy k x 1212 1, 22 xyxy m 3 4 k m 3 0 2 m 1 2 k (1,0)F 33 (,)P xy 331122 (

34、l 的方程为，代入 C 的方程，并整理得. 故，代入解得. 所以该数列的公差为或. 已知抛物线C：y2=2x，过点（ 2,0）的直线 l 交 C与 A,B 两点，圆 M 是以线段 AB为直径的圆（1）证明：坐标原点O 在圆 M 上；（2）设圆 M 过点 P（4，-2），求直线l 与圆 M 的方程解（1）设 1122 2A x ,y,B x ,y,l : xmy 由 2 2 2 xmy yx 可得 2 12 240 则4ymy,y y 又 2 22 12 12 1212 =故= 224 y y yy x,x,x x=4 因此 OA 的斜率与 OB 的斜率之积为 12 12 -4 =-1

35、 4 yy xx g 所以 OAOB 故坐标原点O 在圆 M 上. （2）由（ 1）可得 2 121212 +=2+=+4=24yym,xxm yym 故圆心 M 的坐标为 2+2， mm，圆 M 的半径 2 22 2rmm 由于圆 M 过点 P（ 4，-2），因此0AP BP uu u r u uu r g,故 1212 44220xxyy 即 12121212 4+2200x xxxy yyy 由（ 1）可得 1212 =-4，=4y yx x， 3 4 m1k 7 4 yx 2 1 7140 4 xx 1212 1 2, 28 xxx x 3 21 | 28 d 3 21 28 3 2

36、1 28 所以 2 210mm，解得 1 1或 2 mm. 当 m=1 时，直线l 的方程为x-y-2=0，圆心 M 的坐标为（ 3,1），圆 M 的半径为10，圆 M 的方程为 22 3110xy 当 1 2 m时，直线 l 的方程为240xy，圆心 M 的坐标为 91 ， - 42 ，圆 M 的半径为 85 4 ，圆 M 的方程为 22 9185 + 4216 xy 矩形ABCD的两条对角线相交于点(2 0)M，AB边所在直线的方程为360xy，点 ( 11)T，在AD边所在直线上（I）求AD边所在直线的方程；（II ）求矩形ABCD外接圆的方程；（III ）若动圆P过点( 2 0

37、)N，且与矩形ABCD的外接圆外切，求动圆P的圆心的轨迹方程解：（I）因为AB边所在直线的方程为360xy，且AD与AB垂直，所以直线AD的斜率为3 又因为点( 11)T，在直线AD上，所以AD边所在直线的方程为13(1)yx 320xy （II ）由 360 32 = 0 xy xy ，解得点A的坐标为(02)，因为矩形ABCD两条对角线的交点为(2 0)M，所以M为矩形ABCD外接圆的圆心又 22 (20)(02)2 2AM 从而矩形ABCD外接圆的方程为 22 (2)8xy （III ）因为动圆P过点N，所以PN是该圆的半径，又因为动圆P与圆M外切，所以2 2PMP

38、N，即2 2PMPN 故点P的轨迹是以MN，为焦点，实轴长为2 2的双曲线的左支因为实半轴长2a，半焦距2c 所以虚半轴长 22 2bca 从而动圆P的圆心的轨迹方程为 22 1(2) 22 xy x 在平面直角坐标系xOy 中，点 B 与点 A（-1,1 ）关于原点O对称， P是动点，且直线AP与 BP的斜率之积等于 1 3 . ( ) 求动点 P的轨迹方程； ( ) 设直线 AP和 BP分别与直线x=3 交于点 M,N，问：是否存在点P使得 PAB与 PMN的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由。（I）解：因为点B 与 A( 1,1)关于原点O对称，所以点B得坐标为

39、(1, 1). 设点P的坐标为( ,)x y 由题意得 111 113 yy xx g 化简得 22 34(1)xyx. 故动点P的轨迹方程为 22 34(1)xyx （II）解法一：设点 P的坐标为 00 (,)xy，点M，N得坐标分别为(3,) M y,(3,) N y. 则直线AP的方程为 0 0 1 1(1) 1 y yx x ，直线BP的方程为 0 0 1 1(1) 1 y yx x 令3x得 00 0 43 1 M yx y x ， 00 0 23 1 N yx y x . 于是PMNV得面积 2 000 02 0 |(3)1 |(3) 2|1| PMNMN xyx Syyx x

41、则 11 | |sin| |sin 22 PAPBAPBPMPNMPNgg. 因为sinsinAPBMPN, 所以 | | PAPN PMPB 所以 00 0 |1|3| |3|1| xx xx 即 22 00 (3)|1|xx，解得 0 x 5 3 因为 22 00 34xy，所以 0 33 9 y 故存在点 PS 使得PABV 与PMNV的面积相等，此时点P的坐标为 533 (,) 39 . 已知曲线. （1）若曲线是焦点在轴上的椭圆，求的取值范围；（2）设，曲线与轴的交点为，（点位于点的上方），直线与曲线交于不同的两点，直线与直线交于点，求证：，三点共线

42、 . 解：（1）原曲线方程可化简得：由题意可得：，解得：（2）由已知直线代入椭圆方程化简得：，，解得：由韦达定理得：，设，方程为：，则，，欲证三点共线，只需证，共线即成立，化简得：将代入易知等式成立，则三点共线得证。已知椭圆 22 :24C xy，（1）求椭圆C的离心率 . （2）设O为原点，若点A在椭圆C上，点B在直线 2y 上，且OAOB，求直线 AB 22 : 528Cm xmymR Cxm 4mCyABAB4ykx CMN1yBMGAGN 22 1 88 52 xy mm 88 52 8 0 5 8 0 2 mm m m 7 5 2 m 22 (21)162

43、40kxkx 2 =32(23)k 23 2 k 2 16 21 MN k xx k 2 24 21 MN x x k (,4) NN N xk x(,4) MM M xkx(1) G G x ， MB 6 2 M M kx yx x 3 1 6 M M x G kx ， 3 1 6 M M x AG x k uuu r ， 2 NN ANxx k uu u r ， AGN，AG u uu r AN u uu r 3 (2) 6 M NN M x x kx x k (3)6() MNMN kk x xxx AGN，与圆 22 2xy的位置关系，并证明你的结论. 解：（I）由题意，椭圆C的标

44、准方程为 22 1 42 xy 。所以 22 4,2ab，从而 222 2cab。因此2,2ac。故椭圆 C的离心率 2 2 c e a 。（）直线 AB与圆 22 2xy相切。证明如下：设点 A,B 的坐标分别为 00 (,)xy，( ,2)t，其中 0 0x。因为OAOB，所以0OA OB u u u r uuu r ，即 00 20txy，解得 0 0 2y t x 。当 0 xt时， 2 0 2 t y，代入椭圆C的方程，得2t，故直线 AB 的方程为2x。圆心 O 到直线 AB的距离2d。此时直线AB与圆 22 2xy相切。当 0 xt时，直线AB的方程为 0 0

45、2 2() y yxt xt ，即 0000 (2)()20yxxt yxty，圆心 0 到直线 AB 的距离 00 22 00 2 (2)() xty d yxt ，又 22 00 24xy， 0 0 2y t x 故 2 0 0 0 2 22 0 002 0 2 2 4 4 y x x d y xy x 0 0 42 00 2 0 4 2 816 2 x x xx x 此时直线AB与圆 22 2xy相切 . 已知椭圆 C ： 22 22 1 xy ab （0ab）的离心率为 2 2 ，点 0,1P ，和点(, )(0)A m nm都在椭圆 C 上，直线PA交x轴于点M M （）求椭圆

46、C 的方程，并求点M的坐标（用 m，n表示）；（）设 O 为原点，点B与点A关于x轴对称，直线PB交x轴于点 N 问： y轴上是否存在点 Q Q，使得若存在，求点 Q 的坐标；若不不存在，说明理由解：（）由题意知1b， 2 2 c a ，又 222 abc，解得2,1abc，所以C的方程为 2 2 1 2 x y PA的斜率 1 PA n k m ，所以PA方程 1 1 n yx m ，令0y，解得 1 m x n ，所以,0 1 m M n （）,B mn，同（ I）可得,0 1 m N n ， 1 tan QM OQM k ，tan QN ONQk，因为OQMONQ所以1

47、QNQM kk，设,0Q t则1 11 tt mm nn 即 2 2 2 1 m t n ，又A在椭圆C上，所以 2 2 1 2 m n，即 2 2 2 1 m n ，所以2t，故存在2,0Q 使得OQMONQ 已知椭圆C：（）的离心率为， OAB 的面积为1. （I）求椭圆C 的方程；（II ）设 P 是椭圆 C 上一点，直线PA 与 y 轴交于点 M，直线 PB 与 x 轴交于点N. 求证：为定值 . 【答案】（I）；（II ）见解析 . 【解析】试题分析：（ I）根据离心率为，即，OAB 的面积为1，即，椭圆中列方程组进行求解；（ II）根据已知条件分别求出的值，求其乘积

48、为定值 . 试题解析：（ I）由题意得解得. 所以椭圆的方程为. （II ）由（ I）知，设，则. 当时，直线的方程为. 令，得，从而. 直线的方程为. 令，得，从而. 所以 . 当时，所以. 综上，为定值 . 【考点】椭圆方程、直线与椭圆的位置关系、运算求解能力【名师点睛】解决定值、定点的方法一般有两种：(1)从特殊入手，求出定点、定值、定线，再证明定点、定值、定线与变量无关；(2)直接计算、推理，并在计算、推理的过程中消去变量，从而得到定点、定值、定线.应注意到繁难的代数运算是此类问题的特点，设而不求方法、整体思想和消元思想的运用可有效地简化运算. 已知抛物线C： 2 y =2px 经过点P（1，2）过点 Q（0，1）的直线 l 与抛物线C 有两个不同的交点 A，B，且直线 PA 交 y 轴于 M，直线 PB 交 y 轴于 N （）求直线l 的斜率的取值范围；（）设 O 为原点， QMQO uuu u ru uu r ， QNQO uuu ruu u r ，求证： 11 为定值解：（）因为抛物线y2=2px 经过点 P（ 1，2），所以 4=2p，解得 p=2，所以抛物线的方程为y2=4x 由题意可知直线l 的斜率存在且不为

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