《重庆南开中学2015届高三10月月考数学(理)试题Word含解析.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《重庆南开中学2015届高三10月月考数学(理)试题Word含解析.pdf（12页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、重庆南开中学 2015 届高三 10月月考数学（理）试题（解析版） 本试卷是高三理科试卷，以基础知识和基本技能为为主导，在注重考查运算能力和分析问题 解决问题的能力，知识考查注重基础、注重常规、注重主干知识，兼顾覆盖面.试题重点考查： 不等式、复数、导数、圆锥曲线、数列、函数的性质及图象、三角函数的性质、三角恒等变 换与解三角形、等；考查学生解决实际问题的综合能力，是份较好的试卷. 【题文】一 .选择题：本大题共10小题，每小题5分，共 50 分。在每小题给出的四个备选项中， 只有一项是符合题目要求的 【题文】 1 复数Z(1)ii(i是虚数单位）在复平面内对应的点位于 A. 第一象限B. 第
2、二象限C第三象限D 第四象限 【知识点】复数的基本概念与运算L4 【答案解析】B i（1+i）=i+i 2=-1+i ， i（1+i ）即复数为 -1+i， -1+i 在复平面内对应的点（-1，1）位于第二象限故答案为：B 【思路点拨】由i（1+i ）=-1+i ，由此能求出复数i（1+i ）的复数在复平面内对应的点所在的象 限 【题文】 2.角终边经过点（ 1 ，-1 ） ，c o s A.1 B.-1 C 2 2 D 2 2 【知识点】角的概念及任意角的三角函数C1 【答案解析】C 角终边经过点（1 ，-1 ） ，所以cos 22 1 1( 1) = 2 2 故选 C 。 【思路点拨】可直
3、接根据定义确定余弦值 【题文】 3.设 0.3 2 1 log3 ,2,log, 3 abc则 A.abcB.acbC.cabD.bac 【知识点】指数对数B6 B7 【答案解析】D 由题意得0log 31, 0.3 21, 2 1 log0 3 则bac所以 D 【思路点拨】根据指数对数性质求出范围再比较。 【题文】 4. “ 3 sin 2 x” 是“ 3 x” 的 A. 充要条件B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件D. 既不充分又不必要条件 【知识点】角的概念及任意角的三角函数C1 【答案解析】C 若 3 x则 3 sin 2 x，若 3 sin 2 x则 3 x还能为 2 3 故
4、选 C. 【思路点拨】根据角的范围为任意角去得到必要不充分条件。 【题文】 5.函数 2 ( )82f xxx的一个零点所在区间为 A. （ 1 ，2）B. （2，3）C. （3， 4）D. （4，5） 【知识点】函数与方程B9 【答案解析】B 因为 2 ( )82f xxx，f(2)0,f(3)0, 所以 3 (,) 4 3 2(,2 ) 2 则 cos2 = 3 2 所以sin(2 ) 3 -1. 【思路点拨】根据角的范围求出三角函数值，再利用三角恒等变换求出最后结果。 【题文】 考生注意： 14 、15 、16为选做题，请从中任选两道题作答，若三题全做，则按前两题 给分。 【题文】 14
5、. 如图，PQ为半圆O的直径，A为以OQ为直径的半圆A的圆心，圆O的弦PN切圆A 于点M，PN=8 ，则圆A的半径为 _ 【知识点】选修4-1 几何证明选讲N1 【答案解析】 3 2 2 如图所示，连接AM ，QN 由于 PQ 是 O 的直径， PNQ=90 圆 O 的弦 PN 切圆 A 于点 M， AM PN AM QN， 3 4 PMPA PNPQ 又 PN=8 ， PM=6 根据切割线定理可得：PM 2=PO?PQ 设 O 的半径为R则 62=R?2R， R=3 2， A 的半径 r= 1 2 R= 3 2 2 故答案为： 3 2 2 【思路点拨】利用圆的直径的性质、圆的切线的性质可得：
6、PNQ=90 =PMA 进而得到 AM QN，可得 3 4 PMPA PNPQ 可得PM，再根据切割线定理可得：PM 2=PO?PQ 可得 PO 【题文】 15. 已知曲线C 1、C2的极坐标方程分别为 2sin,cossin10，则曲线 C1上的点与曲线C2上的点的最近距离为_ 【知识点】选修4-4 参数与参数方程N3 【答案解析】2-1 由于曲线C1、C2的极坐标方程分别为=2sin ，cos+sin +1=0， 则它们的直角坐标方程分别为x 2+（y-1）2=1，x+y+1=0 曲线 C1上表示一个半径为1 的圆，圆心为（0，1）， 曲线 C2表示一条直线，圆心到直线的距离为d= 01
7、1 2 2 d， 故曲线 C1上的点与曲线C2上的点的最近距离为2-1，故答案为：2-1 【思路点拨】 把极坐标方程化为直角坐标方程，求出圆心到直线的距离为d， 再把 d 减去半径， 即为所求 【题文】 16. 若不等式 2 373xxaa的解集为R，则实数a的取值范围是_ 【知识点】选修4-5 不等式选讲N4 【答案解析】-2，5 |x+3|+|x- 7| |（x+3 ）+（ 7-x）|=10 ， |x+3|+|x- 7| a 2-3a 的解集为 R? a 2-3a10 ，解得 -2a5 实数 a 的取值范围是-2，5故答案为：-2，5 【思路点拨】 利用绝对值三角不等式可求得|x+3|+|
8、x- 7| 10 ， 依题意， 解不等式 a 2-3a10即可 【题文】三、解答题：本大题共6 小题，共75分。解答时写出文字说明、证明过程或演算步 骤。 【题文】 17. （本小题满分13分） 已知函数( )sin()cos()coscos() 22 f xxxxx （1 ）求函数( )f x的最小正周期； （2）当, 44 x 时，求函数( )f x的最大值和最小值. 【知识点】三角函数的图象与性质C3 【答案解析】（1） （2）最大值是0 最小值是 -1 （1） 由题意得， f （x）=sin（ 2 +x）cos（ 2 -x）+cosxcos （ -x） =sinxcosx-cosxco
9、sx=-cos2x， 函数 f（x）的最小正周期T= 2 2 =； （2）由 x- 4 ， 4 得， 2x- 2 ， 2 ，所以 0cos2x1 ，即 -1 -cos2x0 ，则函数的最大 值是 0，最小值是 -1 【思路点拨】（1）根据诱导公式、两角和的余弦公式化简函数解析式，再由周期公式求出函 数 f（ x）的最小正周期； （2）由 x- 4 ， 4 得 2x- 2 ， 2 ，根据余弦函数的性质求出cos2x 的范围，再求 出函数的值域，即可求函数的最值 【题文】 18. （本小题满分13分） 已知函数( )2sin() , 6 f xxxR （1 ）已知tan2 ,(,) 2 ，求( )
10、f的值； （2）若 8 ,0,()2,() 35 ff ，求(22 )f的值 . 【知识点】两角和与差的正弦、余弦、正切C5 【答案解析】 （1） 2 155 5 （2） 14 25 （1）tan2 (,) 2 2 55 sin,cos 55 ()2 sin()3 sincos 6 f 2 155 5 (2)()2sin()2 6 fsin()1 6 又0, 3 +0, 62 +=，故= 623 8 又()2 sin() 65 f， 4 sin() 65 25 (22 )2 sin(2+)2sin(2) 366 f2cos(2) 3 2 212 sin () 6 14 = - 25 【思路点拨
11、】根据同角三角函数基本关系求出，利用三角恒等变换求出。 【题文】 19. （本小题满分13分） 设函数 3221 ( )(1)() 3 f xxxmxxR （1 ）当1m时，求函数( )f x的单调区间与极值； （2）若函数(sin)yfx在0, 2 x 上单调递增，求实数m的取值范围 . 【知识点】导数的应用B12 【答案解析】（1）略（ 2）（ 0， 2 -1 （1） f（x）=- 1 3 x 3+x2+（m2-1）x，（ xR）， f （x） =-x 2 +2x+m 2 -1 令 f （x） =0，解得 x=1-m ，或 x=1+m 因为 m0，所以 1+m 1-m 当 x 变化时， f
12、 （x）， f（x）的变化情况如下表： x （-，1-m ） 1-m （1-m ，1+m ） 1+m （1+m ，+） f （x）- 0 + 0 - f（x）极小值极大值 所以 f（x）在（ - ，1-m ），（ 1+m ，+）内是减函数，在（1-m ，1+m ）内是增函数 f（x）在 x=1-m 处取极小值f（1-m ） =- 2 3 m 3+m2-1 3 f（x）在 x=1+m 处取极大值f（1+m ）= 2 3 m 3+m2-1 3 （2）由（ 1）知函数f（x）在（ 1-m ，1+m ）上单调递增， y=sinx 在 x 0， 2 上单调递增，又y=f（ sinx）在 x0， 2 上单
13、调递增， 10 1 2 11 m m mm ，解得 0m 2 -1，故 m 的取值范围为（0， 2 -1。 【思路点拨】（1）由已知我们易求出函数的导函数，令导函数值为0，我们则求出导函数的零 点，根据 m0，我们可将函数的定义域分成若干个区间，分别在每个区间上讨论导函数的符 号，即可得到函数的单调区间和极值 （2）根据复合函数的单调性质，得到关于m 的不等式，解得即可 【题文】 20. （本小题满分12分） 已知函数 1 ( )sin() 3 f xx的部分图象如图所示，其中P 为函数图象的最高点，A、B 是函数图象与x轴的相邻两个交点，若y 轴不是函数( )f x图象的对称轴，且 1 ta
14、n 2 APB. （1 ）求函数( )f x的解析式； （2）已知、满足： 212122 ()() 333 ff且 3 , tan2 , 4 求 sin()sin() cos2 的值 . 【知识点】三角函数的图象与性质两角和与差的正弦、余弦、正切C3 C5 【答案解析】 （1 ）( )sin() 26 f xx（2） 2 2 9 （1 ）过点P作PCx轴，则3BCAC，故tan3 tanBPCAPC tantan()APBBPCAPC 2 2 tan1 213 tan APC APC 解得 1 tan1或 3 APC. 若 111 tan, 则 333 APCACPC， 此 时( )f x的
15、最 小 正 周 期 4 4 3 TAC， 3 故 2 ， 313 ()sin()cos 232 f xxx，其图像关于y轴对称，舍去 若tan1,则11APCACPC， 此 时 ( )f x 的 最 小 正 周 期44TAC， 1 故 2 ， 1 ( )sin()sin() 2326 f xxx，符合题意 （2）， 3 2 sinsin) 3 12 () 3 12 (ff且 3 4 cos()coscossinsin 6 2 ， 6 2 coscos原式 = 22 (sincoscossin)(sincoscossin) cossin 22 22 sinsincoscoscossinsin()
16、sincos cossin 2 2 sinsincoscostansin()tan 1tan9 22 【思路点拨】根据三角函数的性质求出周期求出解析式，根据两角和的三角函数求出结果。 【题文】 21. （本小题满分12分） 已知函数 2 ( )() x f xaxxa e （1 ）若函数( )yfx在点（ 0，(0)f）处的切线与直线310xy平行，求a的值； （2）当 0,4x 时， 4 ( )f xe恒成立，求实数a的取值范围 . 【知识点】函数与方程B9 【答案解析】 （）2a（） 4 ea （） 2 (21)1 ( ) x axaxa fx e 由条件知(0)1fa， 因为函数( )f
17、 x在点(0,(0)f的切线与直线013yx平行 所以31a,2a （） 2 (21)1 ( ) x axaxa fx e (1)(1) x axax e 当0a时，1x，在(0,1)上，有( )0fx，函数( )f x增；在)4, 1(上，有( )0fx 函数( )f x减， 4 4)4(, 0)0(eff函数( )f x的最小值为0，结论不成立 当0a时， 12 1 1,1xx a (1) 若0a，(0)0fa，结论不成立 (2) 若01a，则 1 10 a ，在(0,1)上，有( )0fx，函数( )f x增； 在)4, 1 (上，有( )0fx，函数( )f x减， 只需 4 4 )4
18、( )0( ef ef ，所以1 4 ae (3) 若1a，则 1 011 a ，在) 1 1 ,0( a 上，有( )0fx，函数( )f x减； 在)1 , 1 1 a （, 有( )0fx, 函数( )f x增; 在)4, 1(上，有( )0fx，函数( )fx减 函数在 1 1x a 有极小值，)4(), 1 1 ()( min f a fxf只需 4 4 )4( ) 1 1( ef e a f 得到 1417 12 1 3 a ea a ，因为 1, 112 1 3 a ea，所以1a 综上所述可得 4 ea 【思路点拨】根据导数的意义求出参数a，再根据单调性求出极值最值确定参数的范
19、围。 【题文】 22. （本小题满分12分） 已知函数( )lnf xx （1 ）若方程()f xax有且只有一个实数解，求a的值； （2）若函数 2 15 ( )( )() 22 g xf xxmx m的极值点 1212 ,()x xxx恰好是函数 2 ( )( )2h xf xxbx的 一 个 零 点 ， 记( )h x为 函 数( )h x的 导 函 数 ， 求 12 12 ()() 2 xx yxxh的最小值 . 【知识点】导数的应用B12 【答案解析】（1） 1（2） 87 10 （1） f（x）=lnx ， f（x+a）=ln （x+a）， x -a，且 x0， f（x+a ）=x
20、 有且只有一个实 数解， 分别画出函数y=f（ x+a）的图象和y=x 的图象， 如图所示， 当 y=f （x+a ）的图象和y=x 的图象相切时只有 一个实数解， 设切点为（ x0，x0）， k=f （x0+a）= 0 1 xa =1， x0=f（x0+a）=ln（x0+a）， 解得 a=1， （2） g（ x）=f（ x）+ 1 2 x 2-mx=lnx+ 1 2 x 2-mx ， g （x） = 1 x +x-m= 2 1xmx x ，令 g （ x）= 2 1xmx x =0，得 x 2-mx+1=0 ， 函数 g（x）=f（x）+ 1 2 x 2-mx （m 5 2 ）的极值点x1，
21、x2（x1x2） x1+x2=m，x1?x2=1， x1-x2=- 2 4m x1，x2（x1x2）恰好是函数h（x）=f（x）-2x 2-bx 的零点， 即 h（x）=f（x） -2x 2-bx=lnx-2x2-bx=0 由两个解分别为 x1，x2， h（x1）=lnx1-2x12-bx1=0， h（x2）=lnx2-2x2 2-bx 2=0，由 +得 lnx1-2x1 2 -bx1+lnx2-2x2 2 -bx2=0，整理得 2m 2+bm-4=0 ， 即 b=-2m+ 4 m h （x）为函数h（x）的导函数，h （x）= 1 x -4x-b ， h （ 12 2 xx ）= 12 2
22、xx -4（x1+x2） -b， y=（x1-x2）h （ 12 2 xx ）=- 2 4m?（ 2 m -4m-b ）=- 2 4m?（ 2 m -4m+2m- 4 m ） = 2 4m? （ 2m+ 2 m ） 设 F（m）= 2 4m，G（m）=2m+ 2 m ， G （m）= 2 2 2(1)m m ， m 5 2 ， G （m） 0，故 G（m）=2m+ 2 m 在 m 5 2 ，+）上为增函数， 又 F（m）= 2 4m在 m 5 2 ，+）上为增函数， y= 2 4m?（2m+ 2 m ）在 m 5 2 ， +）上为增函数， 当 m= 5 2 时， y 有最小值，最小值为ymin
23、= 25 4 4 ?（25 2 +2 2 5 ）= 87 10 【思路点拨】（1）利用数形结合的思想，根据导数的几何意义，设切点为（x0， x0），继而 求出 a 的值 （2）先根据函数g（x）=f（ x）+ 1 2 x 2-mx（m 5 2 ）的极值点x1，x2求得 x1+x2=m，x1?x2=1， 再根据极值点x1，x2（x1x2）恰好是函数h（x）=f（x）-2x 2-bx 的零点， 得到 b=-2m+ 4 m ， 再化简 y=（x1-x2）h （ 12 2 xx ）得到 y= 2 4m? （ 2m+ 2 m ）， 判断出在m 5 2 ， +）上为增函数，继而求出y 的最小值 版权所有：网(wwwcom)