(完整版)新北师大版八年级下册《三角形的证明》.pdf

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1、第 1 页 共 20 页 三角形的证明 【知识点一：全等三角形的判定与性质】 1判定和性质 一般三角形直角三角形 判定 边角边（ SAS ）、角边角（ ASA） 角角边（ AAS）、边边边（SSS ） 具备一般三角形的判定方法 斜边和一条直角边对应相等（HL） 性质 对应边相等，对应角相等 对应中线相等，对应高相等，对应角平分线相等 2证题的思路： ）找任意一边（ ）找两角的夹边（ 已知两角 ）找夹已知边的另一角（ ）找已知边的对角（ ）找已知角的另一边（ 边为角的邻边 ）任意角（若边为角的对边，则找 已知一边一角 ）找第三边（ ）找直角（ ）找夹角（ 已知两边 AAS ASA ASA AAS

2、 SAS AAS SSS HL SAS 【典型例题】 1 用 直 尺 和 圆 规 作 一 个 角 的 平 分 线 的 示 意 图 如 图 所 示 ， 则 能 说 明 AOC = BOC 的 依 据 是 （） A SSSB ASA C AASD 角 平 分 线 上 的 点 到 角 两 边 距 离 相 等 2下列说法中，正确的是（） A两腰对应相等的两个等腰三角形全等B两角及其夹边对应相等的两个三角形全等 C两锐角对应相等的两个直角三角形全等D面积相等的两个三角形全等 3如图， ABC ADE，若 B80 ， C30 ， DAC 35 ， 则 EAC 的度数为（） A40B35C30D25 4已知

3、：如图，在MPN 中， H 是高 MQ 和 NR 的交点，且MQNQ求证： HNPM. 第 2 页 共 20 页 5用三角板可按下面方法画角平分线：在已知AOB 的两边上，分别取OMON （如图57） ，再分别过点M、 N 作 OA、OB 的垂线，交点为P，画射线OP，则 OP 平分 AOB，请你说出其中的道理 图 5 7 【巩固练习】 1下列说法正确的是（） A一直角边对应相等的两个直角三角形全等B斜边相等的两个直角三角形全等 C斜边相等的两个等腰直角三角形全等D一边长相等的两等腰直角三角形全等 2 如 图 ， 在 ABC 中 ， D、 E 分 别 是 边 AC 、 BC 上 的 点 ， 若

4、 ADB EDB EDC ， 则 C 的 度 数 为 （） A 15B 20C 25D 30 3如图，已知ABC 的六个元素，则下面甲、乙、丙三个三角形中，和ABC 全等的图形是（） A甲和乙B乙和丙C只有乙D只有丙 4如图 4 9，已知 ABC ABC，AD、AD分别是 ABC 和 ABC的角平分线 （1）请证明 ADAD； （2）把上述结论用文字叙述出来； （3）你还能得出其他类似的结论吗? 图 49 第 3 页 共 20 页 5如图 4 10，在 ABC 中， ACB90 ，ACBC，直线 l 经过顶点 C，过 A、 B 两点分别作l 的垂线 AE、 BF，E、 F 为垂足 （1）当直线

5、l 不与底边AB 相交时，求证：EFAE BF 图 4 10 （2）如图 411，将直线l 绕点 C 顺时针旋转，使l 与底边 AB 交于点 D，请你探究直线l 在如下位置时，EF、AE、 BF 之间的关系 ADBD； ADBD； ADBD 图 411 【知识点二：等腰三角形的判定与性质】 等腰三角形的判定：有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边） 等腰三角形的性质： 等腰三角形的两底角相等（等边对等角）； 等腰三角形 “ 三线合一 ” 的性质：顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合； 等腰三角形两底角的平分线相等，两腰上的高、中线也相等 【典型例题】 1 等 腰 三 角 形 的

6、两 边 长 分 别 为 3 和 6， 则 这 个 等 腰 三 角 形 的 周 长 为 （） A 12 B 15 C 12 或 15 D 18 2 等 腰 三 角 形 的 一 个 角 是 80 ， 则 它 顶 角 的 度 数 是 （） A 80B 80 或 20C 80 或 50D 20 第 4 页 共 20 页 3 已 知 ABC 中 ， AB=AC =x， BC =6， 则 腰 长 x 的 取 值 范 围 是 （） A 0 x 3 B x 3 C 3 x 6 D x 6 4 如 图 ， MON =43 ， 点 A 在 射 线 OM 上 ， 动 点 P 在 射 线 ON 上 滑 动 ， 要 使

7、 AOP 为 等 腰 三 角 形 ， 那 么 满 足 条 件 的 点 P 共 有 （） A 1 个B 2 个C 3 个D 4 个 5 如 图 ， 在 ABC 中 ， BO 平 分 ABC ， CO 平 分 ACB ， DE 过 O 且 平 行 于 BC ， 已 知 ADE 的 周 长 为 10cm， BC 的 长 为 5cm， 求 ABC 的 周 长 6、如下图，在ABC 中， B=90 ，M 是 AC 上任意一点（ M 与 A 不重合） MD BC，交 ABC 的平分线于点D，求 证： MD=MA. 【巩固练习】 1 如 图 ， 已 知 直 线 AB CD ， DCF =110 且 AE=A

8、F ， 则 A 等 于 （） A 30B 40C 50D 70 2 下 列 说 法 错 误 的 是 （） A 顶 角 和 腰 对 应 相 等 的 两 个 等 腰 三 角 形 全 等 B 顶 角 和 底 边 对 应 相 等 的 两 个 等 腰 三 角 形 全 等 C 斜 边 对 应 相 等 的 两 个 等 腰 直 角 三 角 形 全 等 D 两 个 等 边 三 角 形 全 等 3 如 图 ， 是 一 个 5 5 的 正 方 形 网 格 ， 网 格 中 的 每 个 小 正 方 形 的 边 长 均 为 1 点 A 和 点 B 在 小 正 方 形 的 顶 点 上 点 C 也 在 小 正 方 形 的 顶

9、 点 上 若 ABC 为 等 腰 三 角 形 ， 满 足 条 件 的 C 点 的 个 数 为 （） A 6 B 7 C 8 D 9 4 如 图 ， 在 ABC 中 ， ABC 和 ACB 的 平 分 线 交 于 点 E， 过 点 E 作 MN BC 交 AB 于 M， 交 AC 于 N， 若 BM +CN =9， 则 线 段 MN 的 长 为 （） 第 5 页 共 20 页 A 6 B 7 C 8 D 9 5如 图 ： E 在 ABC 的 AC 边 的 延 长 线 上 ， D 点 在 AB 边 上 ， DE 交 BC 于 点 F， DF =EF， BD =CE ，过D 作 DG AC 交 BC

10、 于 G 求 证 ： （ 1） GDF CEF ； （ 2） ABC 是 等 腰 三 角 形 【知识点三：等边三角形的判定与性质】 判定：有一个角等于60 的等腰三角形是等边三角形； 三条边都相等的三角形是等边三角形； 三个角都是60 的三角形是等边三角形； 有两个叫是60 的三角形是等边三角形 性质：等边三角形的三边相等，三个角都是60 【典型例题】 1 下 列 说 法 中 不 正 确 的 是 （） A 有 一 腰 长 相 等 的 两 个 等 腰 三 角 形 全 等 B 有 一 边 对 应 相 等 的 两 个 等 边 三 角 形 全 等 C 斜 边 相 等 、 一 条 直 角 边 也 相 等

11、 的 两 个 直 角 三 角 形 全 等 D 斜 边 相 等 的 两 个 等 腰 直 角 三 角 形 全 等 2 如 图 ， 在 等 边 ABC 中 ， BAD =20 ， AE=AD ， 则 CDE 的 度 数 是 （） A 10B 12.5 C 15D 20 3、如右图，已知ABC 和 BDE 都是等边三角形，求证：AE=CD. 【变式练习】 第 6 页 共 20 页 1 下 列 命 题 ： 两 个 全 等 三 角 形 拼 在 一 起 是 一 个 轴 对 称 图 形 ； 等 腰 三 角 形 的 对 称 轴 是 底 边 上 的 中 线 所 在 直 线 ； 等 边 三 角 形 一 边 上 的

12、高 所 在 直 线 就 是 这 边 的 垂 直 平 分 线 ； 一 条 线 段 可 以 看 作 是 以 它 的 垂 直 平 分 线 为 对 称 轴 的 轴 对 称 图 形 其 中 错 误 的 有 （） A 1 个B 2 个C 3 个D 4 个 2 如 图 ， AC =CD =DA =BC=DE 则 BAE 是 BAC 的 （） A4 倍B3 倍 C2 倍D1 倍 3 如 图 ， 等 边 ABC 的 周 长 是 9， D 是 AC 边 上 的 中 点 ， E 在 BC 的 延 长 线 上 若 DE =DB ， 则 CE 的 长 为 4 如 图 ， 等 边 ABC 中 ， 点 D 、 E 分 别

13、为 BC 、 CA 上 的 两 点 ， 且 BD =CE， 连 接 AD 、 BE 交 于 F 点 ， 则 FAE + AEF 的 度 数 是 （） A 60B 110C 120D 135 5 如 图 ， 已 知 ： MON =30 ， 点 A1、 A2、 A3 在 射 线 ON 上 ， 点 B1、 B2、 B3 在 射 线 OM 上 ， A1B1A2、 A2B2A3、 A3B3A4 均 为 等 边 三 角 形 ， 若 OA1=1 ， 则 A6B6A7的 边 长 为 （） A 6 B 12 C 32 D 64 6.如 图 ， M、 N 点 分 别 在 等 边 三 角 形 的 BC、 CA 边

14、上 ， 且 BM =CN， AM 、 BN 交 于 点 Q （ 1） 求 证 ： BQM =60； （ 2） 如 图 ， 如 果 点 M 、 N 分 别 移 动 到 BC 、 CA 的 延 长 线 上 ， 其 它 条 件 不 变 ，（ 1） 中 的 结 论 是 否 仍 然 成 立 ? 若 成 立 ， 给 予 证 明 ； 若 不 成 立 ， 说 明 理 由 7如 图 ，C 为 线 段 BD 上 一 点（ 不 与 点 B，D 重 合 ），在 BD 同 侧 分 别 作 正 三 角 形 ABC 和 正 三 角 形 CDE ， AD 与 BE 交 于 一 点 F， AD 与 CE 交 于 点 H ， B

15、E 与 AC 交 于 点 G 第 7 页 共 20 页 （ 1） 求 证 ： BE=AD ； （ 2） 求 AFG 的 度 数 ； （ 3） 求 证 ： CG =CH 【知识点四：反证法】 反证法：先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、公理、已证定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命 题的结论一定成立这种证明方法称为反证法 【基础练习】 1、否定 “ 自然数 a、 b、c 中恰有一个偶数” 时的正确反正假设为（） Aa、b、 c 都是奇数Ba、b、c 或都是奇数或至少有两个偶数 Ca、b、 c 都是偶数Da、b、c 中至少有两个偶数 2、用反证法证明命题“ 三角形的内角中至少有一个不大于6

16、0”时，反证假设正确的是（） A假设三内角都不大于60B假设三内角都大于60 C假设三内角至多有一个大于60D假设三内角至多有两个大于60 3、证明：在一个三角形中至少有两个角是锐角 【知识点五：直角三角形】 1、直角三角形的有关知识 勾股定理 ：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方； 勾股定理的逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形； 在直角三角形中，如果一个锐角等于30 ，那么它所对的直角边等于斜边的一半 2、互逆命题、互逆定理 在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题 ，其 中一个命题称为另一

17、个命题的逆命题 . 第 8 页 共 20 页 如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理称为互逆定理 ，其中一个定理称为 另一个定理的 逆定理 . 【典型例题】 1、说出下列命题的逆命题，并判断每对命题的真假： （1）四边形是多边形；（2）两直线平行，同旁内角互补；（3）如果 ab=0，那么 a=0，b=0； （4）在一个三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边相等 2 使 两 个 直 角 三 角 形 全 等 的 条 件 是 （） A 一 个 锐 角 对 应 相 等B 两 个 锐 角 对 应 相 等 C 一 条 边 对 应 相 等D 两 条 边 对 应 相 等 3

18、等 腰 三 角 形 的 底 边 长 为 6， 底 边 上 的 中 线 长 为 4， 它 的 腰 长 为 （） A 7 B 6 C 5 D 4 4 如 图 ， 矩 形 纸 片 ABCD中 ， AB=4， AD =3 ， 折 叠 纸 片 使 AD 边 与 对 角 线 BD 重 合 ， 折 痕 为 DG ， 则 AG 的 长 为 （） A 1 B 4 3 C 3 2 D 2 5 如 图 ， 在 ABC 中 ， C=90 ， B=30 ， AD 是 BAC 的 平 分 线 ， 若 CD =2， 那 么 BD 等 于 （） A 6 B 4 C 3 D 2 6 如 图 ， 在 4 4 正 方 形 网 格

19、中 ， 以 格 点 为 顶 点 的 ABC 的 面 积 等 于 3， 则 点 A 到 边 BC 的 距 离 为 （） A3B2 2C 4 D 3 7 如 图 ， ACB 和 ECD 都 是 等 腰 直 角 三 角 形 ， A， C， D 三 点 在 同 一 直 线 上 ， 连 接 BD ， AE， 并 延 长 AE 交 BD 于 F （ 1） 求 证 ： ACE BCD ； （ 2） 直 线 AE 与 BD 互 相 垂 直 吗 ? 请 证 明 你 的 结 论 第 9 页 共 20 页 8 如 图 ， 在 每 个 小 正 方 形 的 边 长 均 为1 个 单 位 长 度 的 方 格 纸 中 有

20、一 个 ABC ， ABC的 三 个 顶 点 均 与 小 正 方 形 的 顶 点 重 合 （ 1） 在 图 中 画 BCD ， 使 BCD 的 面 积 = ABC 的 面 积 （ 点 D 在 小 正 方 形 的 顶 点 上 ） （ 2） 请 直 接 写 出 以 A、 B、 C、 D 为 顶 点 的 四 边 形 的 周 长 9 如 图 ， 把 矩 形 纸 片 ABCD沿 EF 折 叠 ， 使 点 B 落 在 边 AD 上 的 点 B 处 ， 点 A 落 在 点 A 处 ； （ 1） 求 证 ： B E=BF ； （ 2） 设 AE=a， AB=b， BF =c， 试 猜 想 a， b， c 之

21、间 的 一 种 关 系 ， 并 给 予 证 明 【变式练习】 1 利 用 基 本 尺 规 作 图 ， 下 列 条 件 中 ， 不 能 作 出 唯 一 直 角 三 角 形 的 是 （） A 已 知 斜 边 和 一 锐 角B 已 知 一 直 角 边 和 一 锐 角 C 已 知 斜 边 和 一 直 角 边D 已 知 两 个 锐 角 2 在 Rt ABC 中 ， C=90 ， AC =9， BC =12 ， 则 点 C 到 AB 的 距 离 是 （） A 36 5 B 12 25 C 9 4 D 3 3 4 3 如 图 是 一 株 美 丽 的 勾 股 树 ， 其 中 所 有 的 四 边 形 都 是 正

22、 方 形 ， 所 有 的 三 角形 都 是 直 角 三 角 形 ， 若 正 方 形 A、 B、 C、 D 的 面 积 分 别 为 2， 5， 1， 2 则 最 大 的正 方 形 E 的 面 积 是 4 已 知 Rt ABC 中 ， C=90 ， 且 BC = 1 2 AB， 则 A 等 于 （） 第 10 页 共 20 页 A 30B 45C 60D 不 能 确 定 5 已 知 ： 如 图 ， 在 ABC 中 ， A=30 ， ACB =90 ， M、 D 分 别 为 AB、 MB 的 中 点 求 证 ： CD AB 6 如 图 ， 在 5 5 的 方 格 纸 中 ， 每 一 个 小 正 方

23、形 的 边 长 都 为 1， BCD 是 不 是 直 角 ? 请 说 明 理 由 7正 方 形 网 格 中 的 每 个 小 正 方 形 边 长 都 是 1每 个 小 格 的 顶 点 叫 做 格 点 ，以 格 点 为 顶 点 分 别 按 下 列 要 求 画 三 角 形 ： （ 1） 在 图 1 中 ， 画 ABC ， 使 ABC 的 三 边 长 分 别 为 3、2 2、5； （ 2） 在 图 2 中 ， 画 DEF ， 使 DEF 为 钝 角 三 角 形 且 面 积 为 2 【提高练习】 1如 图 矩 形 纸 片 ABCD中 ，已 知 AD =8，折 叠 纸 片 使 AB 边 与 对 角 线 A

24、C重 合 ， 点 B 落 在 点 F 处 ， 折 痕 为 AE， 且 EF =3 则 AB 的 长 为 （） A 3 B 4 C 5 D 6 2如 图 ，直 线 l 上 有 三 个 正 方 形 a， b， c，若a， c 的 面 积 分 别 为 5 和 11，则 b 的 面 积 为 （） A 4 B 6 C 16 D 55 n 2 3 4 5 第 11 页 共 20 页 3 张 老 师 在 一 次 “ 探 究 性 学 习 ” 课 中 ， 设 计 了 如 下 数 表 ： （ 1） 请 你 分 别 观 察 a， b， c 与 n 之 间 的 关 系 ， 并 用 含 自 然 数 n（ n 1） 的

25、代 数 式 表 示 ： a= ， b= ， c= ； （ 2）猜 想 ：以a， b， c 为 边 的 三 角 形 是 否 为 直 角 三 角 形 并 证 明 你 的 猜 想 4 如 图 ， AC =BC=10 cm ， B=15 ， AD BC 于 点 D ， 则 AD 的 长 为 （） A 3cmB 4cm C 5cmD 6cm 5 如 图 ， 在 ABC 中 ， C=90 ， B=15 ， AB 的 垂 直 平 分 线 交 AB 于 E， 交 BC 于 D ， BD =8 ， 则 AC = 6图 1、图 2 分 别 是 10 8 的 网 格 ，网 格 中 每 个 小 正 方 形 的 边 长

26、 均 为 1，A、B 两 点 在 小 正 方 形 的 顶 点 上 ， 请 在 图 1、图 2 中 各 取 一 点 C（ 点 C 必 须 在 小 正 方 形 的 顶 点 上 ），使 以 A、 B、 C 为 顶 点 的 三 角 形 分 别 满 足 以 下 要 求 ： （ 1） 在 图 1 中 画 一 个 ABC ， 使 ABC 为 面 积 为 5 的 直 角 三 角 形 ； （ 2） 在 图 2 中 画 一 个 ABC ， 使 ABC 为 钝 角 等 腰 三 角 形 7 已 知 ， 如 图 ， ABC 为 等 边 三 角 形 ， AE=CD ， AD 、 BE 相 交 于 点 P （ 1） 求 证

27、 ： AEB CDA ； （ 2） 求 BPQ 的 度 数 ； a 2 2 1 32 1 42 1 52 1 b 4 6 8 10 c 2 2 +1 3 2+1 4 2+1 5 2+1 第 12 页 共 20 页 （ 3） 若 BQ AD 于 Q， PQ =6， PE=2 ， 求 BE 的 长 【知识点六：线段的垂直平分线】 线段垂直平分线上的点到这一条线段两个端点距离相等。 线段垂直平分线逆定理：到一条线段两端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 三角形的三边的垂直平分线交于一点，并且这个点到三个顶点的距离相等。 【典型例题】 1 如 图 ， 在 Rt ABC 中 ， C=90 ， B

28、=30 AB 的 垂 直 平 分 线 DE 交 AB 于 点 D， 交 BC 于 点 E， 则 下 列 结 论 不 正 确 的 是 （） A AE =BEB AC=BEC CE =DED CAE = B 2 如 图 ， 在 ABC 中 ， 分 别 以 点 A 和 点 B 为 圆 心 ， 大 于 2 1 AB 的 长 为 半 径 画 弧 ， 两 弧 相 交 于 点 M， N， 作 直 线 MN ， 交 BC 于 点 D ， 连 接 AD 若 ADC 的 周 长 为 10 ， AB=7， 则 ABC 的 周 长 为 （） A 7 B 14 C 17 D 20 3 三 角 形 内 有 一 点 到 三

29、 角 形 三 顶 点 的 距 离 相 等 ， 则 这 点 一 定 是 三 角 形 的 （） A 三 条 中 线 的 交 点B 三 边 垂 直 平 分 线 的 交 点 C 三 条 高 的 交 点D 三 条 角 平 分 线 的 交 点 4 如 图 ， 有 A、 B、 C 三 个 居 民 小 区 的 位 置 成 三 角 形 ， 现 决 定 在 三 个 小 区 之 间 修 建 一 个 购 物 超 市 ， 使 超 市 到 三 个 小 区 的 距 离 相 等 ， 则 超 市 应 建 在 （） 第 13 页 共 20 页 A 在 AC ， BC 两 边 高 线 的 交 点 处 B 在 AC ， BC 两 边

30、 中 线 的 交 点 处 C 在 AC ， BC 两 边 垂 直 平 分 线 的 交 点 处 D 在 A， B 两 内 角 平 分 线 的 交 点 处 5 如 图 ， AD 为 BAC 的 角 平 分 ， 线 段 AD 的 垂 直 平 分 线 交 AB 于 M， 交 AC 于 N， 试 说 明 MD AC 6如 图 所 示 ， ABC 中 ， AB=AC ， BAC =120 ， AC 的 垂 直 平 分 线 EF 交 AC 于 点 E，交BC 于 点 F求 证 ： BF =2CF 7 如 图 所 示 ， 在 Rt ABC 中 ， ACB =90 ， AC =BC ， D 为 BC 边 上 的

31、 中 点 ， CE AD 于 点 E， BF AC 交 CE 的 延 长 线 于 点 F， 求 证 ： AB 垂 直 平 分 DF 【变式练习】 1 如 图 ， 在 Rt ABC 中 ， B=90 ， ED 是 AC 的 垂 直 平 分 线 ， 交 AC 于 点 D ， 交 BC 于 点 E 已 知 BAE =10， 则 C 的 度 数 为 （） A 30B 40C 50D 60 2 如 图 ， 在 ABC 中 ， 已 知 AC =29 ， AB 的 垂 直 平 分 线 交 AB 于 点 D ， 交 AC 于 点 E BCE 的 周 长 等 于 50， 则 BC 的 长 为 （） A 2lB

32、22 C 23 D 24 第 14 页 共 20 页 3 如 图 ， 在 ABC 中 ， DE 垂 直 平 分 AB ， FG 垂 直 平 分 AC， BC=13 cm， 则 AEG 的 周 长 为 （） A 6.5 cmB 13cm C 26cmD 15 4 已 知 ： 如 图 ， ABC 的 A ABC ， 边 BC 的 垂 直 平 分 线 DE 分 别 交 AC， BC 于 D ， E， 则 AD +BD 与 BC 的 关 系 是 （） A 大 于B 小 于 C 等 于D 不 能 确 定 5 如 图 ， A、 B 表 示 两 个 仓 库 ， 要 在 A、 B 一 侧 的 河 岸 边 建

33、造 一 个 码 头 ， 使 它 到 两 个 仓 库 的 距 离 相 等 ， 码 头 应 建 在 什 么 位 置 ? 你 能 画 图 说 明 吗 ? 6如 图 ，在 ABC 中 ， AB= AC， D 是 AB 的 中 点 ，且DE AB， BCE 的 周 长 为 8cm，且AC BC =2cm， 求 AB 、 BC 的 长 【提高练习】 1 如 图 ， 在 ABC 中 ， DE 垂 直 平 分 AB ， 分 别 交 AB 、 BC 于 D 、 E 点 MN 垂 直 平 分 AC ， 分 别 交 AC 、 BC 于 M 、 N 点 （ 1） 若 BAC =100， 求 EAN 的 度 数 ； （

34、 2） 若 BAC =70， 求 EAN 的 度 数 ； （ 3） 若 BAC =（ 90） ， 直 接 写 出 用 表 示 EAN 大 小 的 代 数 式 第 15 页 共 20 页 2 如 图 2， 点 D 为 线 段 AB 与 线 段 BC 的 垂 直 平 分 线 的 交 点 ， A=35 ， 则 D 等 于 （） A 50B 65C 55D 70 3 如 图 3， 在 ABC 中 ， AB =a， AC=b， BC 边 上 的 垂 直 平 分 线 DE 交 BC、 BA 分 别 于 点 D 、 E， 则 AEC 的 周 长 等 于 （） A a+bB a bC 2a+bD a+2b 4

35、 如 图 有 一 块 直 角 三 角 形 纸 片 ， ACB =90 ， 两 直 角 边 AC =4 ， BC=8 ， 线 段 DE 垂 直 平 分 斜 边 AB ， 则 CD 等 于 （） A 2 B 2.5 C 3 D 3.5 5 如 图 ， ABC =50 ， AD 垂 直 平 分 线 段 BC 于 点 D ， ABC 的 平 分 线 交 AD 于 E， 连 接 EC ； 则 AEC 等 于 （） A 100B 105C 115D 120 【知识点七：角平分线】 角平分线上的点到角两边的距离相等。 角平分线逆定理：在角内部，如果一点到角两边的距离相等，则它在该角的平分线上。 三角形三条角

36、平分线交于一点，并且交点到三边距离相等，交点即为三角形的内心。 【典型例题】 1 如 图 ， POA = POB ， PD OA 于 点 D， PE OB 于 点 E， OP =13 ， OD =12 ， PD =5 ， 则 PE=（） A 13 B 12 C 5 D 1 第 16 页 共 20 页 2 三 角 形 内 有 一 点 ， 它 到 三 边 的 距 离 相 等 ， 则 这 点 是 该 三 角 形 的 （） A 三 条 中 线 交 点B 三 条 角 平 分 线 交 点 C 三 条 高 线 交 点D 三 条 高 线 所 在 直 线 的 交 点 3 如 图 ， Rt ABC 中 ， C=9

37、0 ， ABC 的 平 分 线 BD 交 AC 于 D， 若 CD =3cm， 则 点 D 到 AB 的 距 离 DE 是 （） A 5cmB 4cm C 3cmD 2cm 4 如 图 ， OP 平 分 AOB ， PA OA ， PB OB ， 垂 足 分 别 为 A， B 下 列 结 论 中 不 一 定 成 立 的 是 （） A PA =PBB PO 平 分 APB C OA = OBD AB 垂 直 平 分 OP 5 如 图 ， 直 线 a、 b、 c， 表 示 三 条 相 互 交 叉 的 公 路 ， 现 拟 建 一 个 货 物 中 转 站 ， 要 求 它 到 三 条 公 路 的 距 离

38、 都 相 等 ， 则 可 以 供 选 择 的 地 址 有 （） A 一 处B 四 处 C 七 处D 无 数 处 6 求 作 一 点 P， 使 PC=PD ， 且 点 P 到 AC ， AB 的 距 离 相 等 （ 要 求 保 留 作 图 痕 迹 ， 不 必 写 出 作 法 ） 7 （ 1） 班 同 学 上 数 学 活 动 课 ， 利 用 角 尺 平 分 一 个 角 （ 如 图 所 示 ） 设 计 了 如 下 方 案 ： （ ） AOB 是 一 个 任 意 角 ，将 角 尺 的 直 角 顶 点 P 介 于 射 线 OA、OB 之 间 ，移 动 角 尺 使 角 尺 两 边 相 同 的 刻 度 与

39、M、 N 重 合 ， 即 PM = PN ， 过 角 尺 顶 点 P 的 射 线 OP 就 是 AOB 的 平 分 线 （ ） AOB 是 一 个 任 意 角 ，在 边 OA 、 OB 上 分 别 取 OM =ON，将 角 尺 的 直 角 顶 点 P 介 于 射 线 OA 、 OB 之 间 ， 移 动 角 尺 使 角 尺 两 边 相 同 的 刻 度 与 M、 N 重 合 ， 即 PM =PN ， 过 角 尺 顶 点 P 的 射 线 OP 就 是 AOB 的 平 分 线 （ 1） 方 案 （ ） 、 方 案 （ ） 是 否 可 行 ? 若 可 行 ， 请 证 明 ； 若 不 可 行 ， 请 说

40、明 理 由 ； （ 2）在 方 案（ ） PM =PN 的 情 况 下 ，继 续 移 动 角 尺 ，同 时 使 PM OA ， PN OB此 方 案 是 否 可 行 ? 请 说 明 理 由 第 17 页 共 20 页 8如 图 ，AD 为 ABC 的 角 平 分 线 ，DE AB， DF AC ，垂 足 分 别 为 E，F，连 接 EF ，EF 交 AD 于 点 G、 试 判 断 线 段 AD 与 EF 的 位 置 关 系 ， 并 证 明 你 的 结 论 9如 图 ， ABC 中 ，O 是 BC 的 中 点 ，D 是 BAC 平 分 线 上 的 一 点 ，且 DO BC，过 点 D 分 别 作

41、 DM AB 于 M ， DN AC 于 N 求 证 ： BM =CN 第 18 页 共 20 页 【变式练习】 1 如 图 ， OP 平 分 MON ， PA ON 于 点 A， 点 Q 是 射 线 OM 上 的 一 个 动 点 ， 若 PA=2 ， 则 PQ 的 最 小 值 为 （） A 1 B 2 C 3 D 4 2 如 图 所 示 ， 点 E 是 AOB 的 平 分 线 上 一 点 ， EC OA， ED OB ， 垂 足 分 别 是 C、 D ， 若 OE =4 ， AOB =60， 则 DE = 3如 图 ，利 用 尺 规 求 作 所 有 点 P，使 点 P 同 时 满 足 下 列

42、 两 个 条 件 ： 点 P 到 A， B 两 点 的 距 离 相 等 ； 点 P 到 直 线 l1， l2的 距 离 相 等 （ 要 求 保 留 作 图 痕 迹 ， 不 必 写 出 作 法 ） 4已 知 ：如 图 所 示 ， ABC 中 ， C=90 ，AD 是 BAC 的 平 分 线 ，DE AB 于 E，F 在 AC 上 ，BD =DF 求 证 ： CF =EB 5 已 知 ： 如 图 ， B= C=90 ， M 是 BC 的 中 点 ， DM 平 分 ADC （ 1） 若 连 接 AM ， 则 AM 是 否 平 分 BAD ? 请 你 证 明 你 的 结 论 ； （ 2） 线 段 DM

43、 与 AM 有 怎 样 的 位 置 关 系 ? 请 说 明 理 由 第 19 页 共 20 页 【提高练习】 1 如 图 ， AOB =30 ， OP 平 分 AOB ， PC OB ， PD OB， 如 果 PC=6 ， 那 么 PD 等 于 （） A 4 B 3 C 2 D 1 2如 图 ，在 ABC 中 ， C=90 ， B=30 ，以A 为 圆 心 ，任 意 长 为 半 径 画 弧 分 别 交 AB 、 AC 于 点 M 和 N，再 分 别 以 M、 N 为 圆 心 ，大 于 2 1 MN 的 长 为 半 径 画 弧 ，两 弧 交 于 点 P，连 结 AP 并 延 长 交 BC 于 点

44、 D， 则 下 列 说 法 中 正 确 的 个 数 是 （） AD 是 BAC 的 平 分 线 ； ADC =60； 点 D 在 AB 的 中 垂 线 上 ； S D AC： SABC=1 ： 3 A 1 B 2 C 3 D 4 3 如 图 ， 锐 角 三 角 形 ABC 中 ， BC AB AC， 小 靖 依 下 列 方 法 作 图 ： （ 1） 作 A 的 角 平 分 线 交 BC 于 D 点 （ 2） 作 AD 的 中 垂 线 交 AC 于 E 点 （ 3） 连 接 DE 根 据 他 画 的 图 形 ， 判 断 下 列 关 系 何 者 正 确 ? （） A DE ACB DE ABC C

45、D =DED CD =BD 4如 下 图 左 ，在 矩 形 ABCD中 ，点P 在 AB 上 ，且PC 平 分 ACB 若PB=3， AC =10 ，则 PAC 的 面 积 为 5 已 知 ： 如 上 图 右 ， AB CD ， O 为 BAC 、 ACD的 平 分 线 的 交 点 ， OE AC 于 点 E， 若 两 平 行 线 间 的 距 离 为 6， 则 OE= 6 2011 年 4 月 21 日 是 重 庆 一 中 80 周 年 校 庆 日 ， 学 校 准 备 进 一 步 美 化 校 园 ， 在 校 内 一 块 四 边 形 草 坪 内 第 20 页 共 20 页 栽 上 一 棵 银 杏 树 如 图 ， 要 求 银 杏 树 的 位 置 点 P 到 边 AB、 BC 的 距 离 相 等 ， 并 且 P 到 点 A、 D 的 距 离 也 相 等 请 用 尺 规 作 图 作 出 银 杏 树 的 位 置 点 P（ 不 写 作 法 ， 保 留 作 图 痕 迹 ）