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1、1 与球有关的切、接问题 1球的表面积公式：S4 R 2；球的体积公式 V4 3 R 3 2与球有关的切、接问题中常见的组合： (1)正四面体与球：如图，设正四面体的棱长为a，内切球的半径为r， 外接球的半径为R，取 AB 的中点为D，连接 CD，SE 为正四面体的高，在 截面三角形SDC 内作一个与边SD 和 DC 相切，圆心在高SE上的圆因为 正四面体本身的对称性，内切球和外接球的球心同为O.此时， COOSR， OEr，SE 2 3a，CE 3 3 a，则有 Rr 2 3a， R 2r2|CE|2a 2 3 ，解得 R 6 4 a，r 6 12 a. (2)正方体与球： 正方体的内切球：
2、截面图为正方形EFHG 的内切圆，如图所 示设正方体的棱长为a，则 |OJ|r a 2(r 为内切球半径 ) 与正方体各棱相切的球：截面图为正方形EFHG 的外接圆， 则|GO|R 2 2 a. 正方体的外接球：截面图为正方形ACC1A1的外接圆，则|A1O|R 3 2 a. (3)三条侧棱互相垂直的三棱锥的外接球： 如果三棱锥的三条侧棱互相垂直并且相等，则可以补形为一个正方 体， 正方体的外接球的球心就是三棱锥的外接球的球心即三棱锥A1-AB1D1 的外接球的球心和正方体ABCD-A1B1C1D1的外接球的球心重合如图，设 AA1 a，则 R 3 2 a. 如果三棱锥的三条侧棱互相垂直但不相
3、等，则可以补形为一个长方体，长方体的外 接球的球心就是三棱锥的外接球的球心R2 a 2 b2c2 4 l 2 4(l 为长方体的体对角线长 ) 角度一：正四面体的内切球 1(2015 长春模拟 )若一个正四面体的表面积为S1，其内切球的表面积为 S2，则 S1 S2 _. 2 解析： 设正四面体棱长为a，则正四面体表面积为S143 4 a 2 3a 2，其内切球半径 为正四面体高的 1 4，即 r 1 4 6 3 a 6 12 a，因此内切球表面积为S24 r 2 a 2 6 ，则 S1 S2 3a 2 6a 2 63 . 角度二：直三棱柱的外接球 2(2015 唐山统考 )如图，直三棱柱AB
4、C-A1B1C1的六个顶点都在半径 为 1 的半球面上， ABAC，侧面 BCC1B1是半球底面圆的内接正方形，则 侧面 ABB1A1的面积为 () A2B 1 C.2 D. 2 2 解析： 选 C由题意知， 球心在侧面BCC1B1的中心 O 上，BC 为截面 圆的直径， BAC90 ， ABC 的外接圆圆心N 是 BC 的中点，同理A1B1C1 的外心 M 是 B1C1的中心设正方形BCC1B1的边长为x，Rt OMC1中， OM x 2，MC 1 x 2，OC 1R1(R 为球的半径 )， x 2 2 x 2 21，即 x 2，则 ABAC1，S矩形 ABB1A1212. 角度三：正方体的
5、外接球 3一个正方体削去一个角所得到的几何体的三视图如图所示(图中 三个四边形都是边长为2 的正方形)，则该几何体外接球的体积为 _ 解析： 依题意可知，新的几何体的外接球也就是原正方体的外接球，要求的直径就是 正方体的体对角线；2R23(R 为球的半径 )，R3，球的体积 V 4 3 R 34 3. 答案： 43 角度四：四棱锥的外接球 4(2014 大纲卷 )正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2， 则该球的表面积为() 3 A. 81 4 B 16C9D. 27 4 解析： 选 A如图所示，设球半径为R， 底面中心为 O且球心为 O， 正四棱锥 P-ABCD 中 A
6、B2，AO2. PO 4，在 Rt AOO中， AO 2AO2OO2，R2 ( 2) 2(4R)2，解得 R 9 4，该球的表面积为 4 R 24 9 4 281 4 ，故选 A. 类题通法 “切”“ 接”问题的处理规律 1“ 切”的处理 解决与球的内切问题主要是指球内切多面体与旋转体，解答时首先要找准切点，通过 作截面来解决如果内切的是多面体，则作截面时主要抓住多面体过球心的对角面来作 2“ 接”的处理 把一个多面体的几个顶点放在球面上即为球的外接问题解决这类问题的关键是抓住 外接的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径 牛刀小试 1(2015 云南一检 )如果一个空间几何体的正视图、
7、侧视图、俯视图都是半径等于5 的圆，那么这个空间几何体的表面积等于() A100B.100 3 C25 D.25 3 解析： 选 A易知该几何体为球，其半径为5，则表面积为S4 R2100 . 2(2014 陕西高考 )已知底面边长为1，侧棱长为2的正四棱柱的各顶点均在同一个 球面上，则该球的体积为() A. 32 3 B4C2D.4 3 解析： 选 D因为该正四棱柱的外接球的半径是四棱柱体对角线的一半，所以半径r 1 2 1 212 2 21，所以 V 球 4 3 1 34 3 .故选 D. 3已知正六棱柱的12 个顶点都在一个半径为3 的球面上，当正六棱柱的底面边长为 6时，其高的值为()
8、 4 A3 3 B.3C26 D23 解析： 选 D设正六棱柱的高为h，则可得 (6) 2h 2 4 3 2，解得 h 2 3. 4(2015 山西四校联考 )将长、宽分别为4 和 3 的长方形ABCD 沿对角线AC 折起， 得到四面体A-BCD，则四面体A-BCD 的外接球的体积为_ 解析： 设 AC 与 BD 相交于 O，折起来后仍然有OAOBOCOD，外接球的半径 r 3 2 42 2 5 2，从而体积 V4 3 5 2 3125 6 . 5一个圆锥过轴的截面为等边三角形，它的顶点和底面圆周在球O 的球面上，则该 圆锥的体积与球O 的体积的比值为_ 解析： 设等边三角形的边长为2a，则
9、V圆锥 1 3 a 2 3a 3 3 a 3；又 R2 a 2( 3a R) 2，所以 R2 3 3 a，故V球4 3 2 3 3 a 3 32 3 27 a 3 ，则其体积比为 9 32. 高考全国课标卷真题追踪 1 （15 课标 1 理）已知,A B是球O的球面上两点， 0 90AOB,C为该球面上的动点， 若OABC三棱锥体积的最大值为36，则球O的表面积为（ C ） (A)36 (B)64 (C)144 (D)256 2. （13 课标 1 理）如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器, 容器高8cm,将一个球放在容器口, 再向容器注水, 当球面恰好接 触水面时测得水深为6cm,如不
10、计容器的厚度, 则球的体积为 ( A ) （A） 3 cm 3 500 （ B） 3 cm 3 866 （C） 3 cm 3 1372 （D） 3 cm 3 2048 3.（12 课标理）已知三棱锥SABC的所有顶点都在球O的球面上 ,ABC是边长为1的 正三角形 ,SC为球O的直径 , 且2SC,则此棱锥的体积为（ A ） 5 (A) 2 6 (B) 3 6 (C) 2 3 （ D） 2 2 4. （12 课标文）平面截球O的球面所得圆的半径为1, 球心O到平面的距离为2, 则 此球的体积为（ B ） （A）6（B）43（C）46（D）63 5. （10 新课标理）设三棱柱的侧棱垂直于底面,
11、 所有棱长都为a, 顶点都在一个球面上, 则 该球的表面积为( B ) (A) 2 a(B) 27 3 a (C) 211 3 a(D) 2 5 a 6. （10 新课标文）设长方体的长、宽、高分别为2 , ,a a a, 其顶点都在一个球面上, 则该球 的表面积为 ( B ) （A） 2 3 a （ B） 2 6 a （C） 2 12 a （D） 2 24 a 7 （07 新课标文）已知三棱锥SABC的各顶点都在一个半径为r的球面上 , 球心O在 AB上,SO底面ABC,2ACr, 则球的体积与三棱锥体积之比是（） .2.3.4 8. （13 新课标 2 文）已知正四棱锥OABCD的体积为
12、3 2 2 , 底面边长为3, 则以O为 球心 ,OA为半径的球的表面积为 24 。 9. （13新课标 1文） 已知H是球O的直径AB上一点 ,:1: 2AH HB,AB平面,H为 垂足 ,截球O所得截面的面积为, 则球O的表面积为 _。 10. （ 11 新 课 标 理 ） 已 知 矩 形 ABCD的 顶 点 都 在 半 径 为 4 的 球O的 球 面 上 , 且 6,2 3ABBC, 则棱锥OABCD的体积为8 3. 11. （ 11 新课标文）已知两个圆锥有公共底面, 且两圆锥的顶点和底面的圆周都在同一球 面上 . 若圆锥底面面积是这个球面面积的 3 16 , 则这两个圆锥中, 体积较小者的高与体积较 6 大者的高的比值为 3 1 . 12. （ 08 新课标理）一个六棱柱的底面是正六边形, 其侧棱垂直底面. 已知该六棱柱的顶点 都在同一个球面上, 且该六棱柱的体积为 9 8 , 底面周长为3, 那么这个球的体积为 4 3