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1、中考专题总复习全等三角形、轴对称 一、复习目标： 1、理解全等三角形概念及全等多边形的概念. 2、掌握并会运用三角形全等的判定和性质，能应用三角形的全等解决一些实际问题. 3、通过复习，能够应用所学知识解决一些实际问题，提高学生对空间构造的思考能力. 二、重难点分析： 1、全等三角形的性质与判定； 2、全等三角形的性质、判定与解决实际生活问题. 三、知识点梳理： 知识点一：全等三角形的概念能够完全重合的两个三角形叫全等三角形. 知识点二：全等三角形的性质. （ 1）全等三角形的对应边相等. （2）全等三角形的对应角相等. 知识点三：判定两个三角形全等的方法. （1）SSS （2）SAS （3）
2、ASA （4）AAS （5）HL （只对直角三形来说） 知识点四：寻找全等三形对应边、对应角的规律. 全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边. 全等三角形对应边所对的角是对应角，两个对应边所夹的角是对应角. 有公共边的，公共边一定是对应边. 有公共角的，公共角一定是对应角. 有对顶角的，对顶角是对应角. 全等三角形中的最大边（角）是对应边（角），最小边（角）是对应边（角）. 知识点五：找全等三角形的方法. （1）一般来说，要证明相等的两条线段（或两个角），可以从结论出发，看它们分别落在 哪两具可能的全等三角形中. （常用的办法） （2）可以从已知条件出发，看已知条件可以确
3、定哪两个三角形相等. （3）可以从已知条件和结论综合考虑，看它们能否一同确定哪两个三角形全等. （4）如无法证证明全等时，可考虑作辅助线的方法，构造成全等三角形. 知识点六：角平分线的性质及判定. （1）角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等. （2）角平分线的判定：在角的内部到角的两边距离相等的点在角平分线上. （3）三角形三个内角平分线的性质：三角形三条角平分线交于一点，且到三角形三边距离 相等 . 知识点七：证明线段相等的方法. （重点） （1）中点性质（中位线、中线、垂直平分线） （2）证明两个三角形全等，则对应边相等 （3）借助中间线段相等. 知识点八：证明角相等的方法.
4、（重点） （1）对顶角相等； （2）同角或等角的余角（或补角）相等； （3）两直线平行，内错角相等、同位角相等； （4）角平分线的定义； （5）垂直的定义； （6）全等三角形的对应角相等； （7）三角形的外角等于与它不相邻的两内角和. 知识点九：全等三角形中几个重要的结论. （1）全等三角形对应角的平分线相等； （2）全等三角形对应边上的中线相等； （3）全等三角形对应边上的高相等. 知识点十：三角形中常见辅助线的作法. （重难点） （1）延长中线构造全等三角形（倍长线段法）； （2）引平行线构造全等三角形； （3）作垂直线段（或高）； （4）取长补短法（截取法）. 四、例题精讲： 考点一：考
5、查全等三角形的性质定理及判定定理. 类型 1 下列三角形全等的判定中，只适用于直角三角形的是（） A 、 SSS B、 SAS C、ASA D、HL 类型 2 下列条件中，不能判定两个直角三角形全等的是（） A 、一锐角和一直角边对应用相等 B、两直角边对应相等 C 、两锐角对应相等 D、斜边、直角边对应相等. 类型 3 如图， AC 和 BD 相交于点 O，BO=DO，AO=CO，则图中的全等三角形共有多少对 （） A 、 1 对 B、2 对 C、3 对 D、4 对 考点二：考查全等三角形与垂直平分线的应用. 类型 1 在ABC中，ABcmBCAACAB，6120的垂直平分线交BC于点 M，
6、 交AB于E，AC的垂直平分线交BC于点N， 交AC于F， 求证：NCMNBM. O D C BA E C F N B M 120 A 类型2 如图所示，在ABC中，ACAB，BD平分ABC，ADBCBD， DEAB. （1）求A的度数； （2）求证：AEBE. 考点三：全等三角形与等边三角形的综合运用. 类型 1 已知ABC和 DEB为等边三角形，点BDA、 在同一直线上，如图1 所示 . （1）求证：AEDC； （2）若AEBNCDBM，垂足分别为NM、， 如图 2，求证：BMN是等边三角形 . E D C B A 图2图1 C A D B E A E D C B N M 类型 2 如图所
7、示，ABC是边长为1 的等边三角形，120BDCCDBD，FE、 分别在ACAB、上，且60EDF，求AEF的周长 . 类型 3 如图所示，ABC是等边三角形，ADBQCDAE，于点Q BE交AD于点P， （1）求PBQ的度数； （2）请判断PQ与PB的数量关系，并说明理由； （3）若31PQPE，求AD的长 . E F D C B A Q A E B D C P 类型 4 如图所示，ABC为等边三角形，D为BC边上的一点， 且ACDFABDE， 若ABC的高为32，求 DFDE 的值 . 考点四：角平分线与全等三角形的综合运用. 类型 1 在ABC中，AD平分BAC，ADCE于E，求证：AC
8、EBECB. 类型 2 如图所示， 在ABC中，AD平分BAC，BC2， 求证：CDACAB. A BC F E D D A C B E A B D C 类型 3 如图所示， / /ABCD，BE平分ABC，CE平分BCD， 求证：BCABCD. 类型 4 如图所示，在ABC中，60C，BEAF ,分别为ABCCAB,的角平分线， AF交BC于点E，BE交AC于点F，BEAF ,相交于点G，求证：GFGE. 考点五：等腰三角形与全等三角形的综合运用. 类型 1 如图所示，ABC为等腰三角形，ABAC，点,D E分别在AB和AC的延长线 上，且BDCE，DE交BC于点G，求证：DGGE. D B
9、C A E F G E C BA D G A E B C 类型 2 如图所示，在ABC中，CDBD，21，求证：AD平分BAC. 类型 3 如图所示， 在ABCRt中，90ACB，BCAC，D为BC中点，ADCE 于E，交AB于F，连接 DF，求证：BDFADC . 类型 4 如图所示， 已知ABCEACBDACAB， 垂足分别为ED、，CEBD, 相交于点 F， 求证：CDBE. A B 2 1 C D F E D C B A F E D C BA 类型 5 已知ADEABC、是两个腰互不相等的等腰直角三角形， ，AEADACAB90DAEBAC，连结DC. （1）求证：CDBE；（ 2）求
10、证：CDBE. 考点六：考查中线与全等三角形的综合运用. 类型 1 如图所示， AD是ABC的中线，求证：ACABAD2 类型2 如图所示，CECB、分别是ABC，ADC的中线，且ABAC，求证： 2CDCE. CB D A E A B CD A B D C E 类型3 已知如图所示，在ABCRt中，90C，CD是ABCRt的中线，求证： CDBDAD. 考点七：考查全等三角形关于“质点运动”问题（通常与一次函数相结合）（难点） 类型1 已知直线AB的函数解析式为8xy，且与x轴、y轴分别交于BA、两点， 点O到直线AB的距离为24，动点Q从点B开始在线段BA上向点A移动， 同时动点P 从点A
11、开始向线段AO上向点O移动，两点速度均以 1个单位长度的速度移动， 设点Q、P 移动时间为 ts. （1）求出BA、两点的坐标 . （2）当t为何值时，APQ与OBQ全等 . （3）是否存在AOQ与OBQ全等？若存在，试求出此时t的取值 范围及线段OQ所在直线的函数解析式；若不存在，请说明理由. 考点八：旋转与全等三角形、等腰三角形、等边三角形的综合运用. 类型 1：如图所示， 点O是等边ABC内一点，aBOCAOB，110，将BOC绕 点C按顺时针方向旋转60得ADC，连接OD. （1）求证：COD是等边三角形； （2）当150a时，试AOD判断的形状，并说明理由； B D C A （3）探
12、究：当a为多少度时，AOD是等腰三角形？ 五、练习巩固. 1、如上图若105A，NFME、分别为ACAB、的垂直平分线，求MAN的度数 . 2、如图所示，在ABC中，ACAB，36A，BD平分ABC，ABDE， （1）图中有多少个等腰三角形，请写出来. （2）求证：ADBCBD； （3）若BDC的周长为24cm， 14AB cm，求ABC的周长 . A D B O C 110 E C F N B M 120 A 3、如图所示，在ABC中，AD平分BAC，CDACAB，求证：BC2 4、如图所示，在ABC中，BD DC，EDDF ，求证： BECFEF. 5、如图所示，在ABCRt中，45B，A
13、D平分BAC，求证：CDACAB E D CB A A B D C F A B E D C 6、如图所示，90BC，M为BC的中点，AM平分DAB，求证：DM平分 ADC. 7、如图 (1) 所示，ABC沿着DE对折，使点A刚好落在点B上，如图 (2) 所示，将图 (2) A B D C D M C AB 再沿着()BF AF对折（图 (3) 所示），使点C刚好落在点D上，得到图 (4). 请问： (1) ABC中A的度数为 _；(2) 根据上述的折叠，图 (1) 中，有 _个等腰 三角形 . 8、 如 图 所 示 ， 在ABC中 ，AD是BAC的 角 平 分 线 ，ACDFABDE， 2 2
14、8cmS ABC ，cmAB20cmAC8，求DE的长 . 9、如图所示，已知ABCEADBD，垂足为E，CEBD,相交于点F， (4)(3)(2)(1) F E (C)D (A)B E D C(A)B E D C(A)B A BC D E F A E BDC F 求证：CDF为等腰三角形 . 10、如图所示， 在ABC中，CDAB，BDABAD，AE是ABD的中线 .求证： AEAC2. 11、如图所示，已知在ABC中，cmBCcmACAB810，点D为AB的中点， F E D C BA E C D B A （1）如果点P在线段BC上以scm/3的速度由点B向点C运动， 同时， 点Q在线段C
15、A上 由点C向点 A运动 . 若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1s后，BPD与CQP是否全等，请 说明理由； 若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使 BPD与CQP全等？ （2）若点Q以中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都 逆时针沿ABC三边运动， 求经过多长时间点P与点Q第一次在ABC的哪条边上相遇？ 12、如图1 所示，ABC和 DEB为等边三角形，EBA、 在同一条直线上，连接 A Q BC P D 图1 D F AB C E G 图2 D E B C A CEAD、分别交BDBC、于点FG、，连结GF. （1）求证：
16、CEAD. （2）求证：BGF是等边三角形 . （3）将 BDE绕点B按顺时针方向旋转90 ，其他条件不 变的情况下，在图2 中补出符合要求的条件，并判断第（1） （2）两小题的结论是否成立？ 13、如图所示，在ABCRt中，90BAC，ABAC，点DE、是直线AC上的 两动点，且ADCE，AMBD，垂足为M，延长AM交BC于点N，直线BD交直 线NE于点F. (1) 试探究EDF与DEF的大小关系； (2) 如图所示，若 DE、 运动到如图位置，其他条件不变，图中的 EDF 与 DEF的 大小关系还成立吗？若成立，请证明出来，若不存在，试说明理由. (3) 如图所示， 当DE运动到如图的位置
17、， 此时的 EDF与DEF的大小关系又是如何？ 请证明你的结论. 课前练习 F E D C B A M N N M A BC D E F 3 21 N M A B C D E F 1、如图所示，已知两个等边 ABC、CDE 有公共的顶点 C. (1) 如图， 当D在AC上，E在BC上时，AD与BE之间的数量关系为_. (2) 如图， 当BCD、 、共线时，连接ADBE、交于点M， 连接CM， 线段BM、AM、 CM之间有何数量关系？试说明理由. (3) 如图， 当BCD、 、不共线时， 线段BM、AM、CM之间有又何数量关系？不要求 证明 . 2、如图所示，已知四边形ABCD是正方形， (1) 如图，若M为BC的中点，AMMN，CN平分DCE并交MN于点N. 求证： AMMN (2) 如图，若M为BC边上的一点，其它条件不变，AMMN还能成立吗？若成立， 请证明；若不成立，请说明理由. 321 D E C B A M M A B C E D D E CB A 21 B EC D A N MM N A D CE B